張 波，劉鶴飛，陳 興，郭洪亮

(1.云南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院昆明 650031；2.曲靖師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，云南 曲靖 655011）

0 引言

多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性及穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性是非參數(shù)密度估計(jì)的一個(gè)非常重要的研究方向，其中非參數(shù)概率密度核估計(jì)作為非參數(shù)密度估計(jì)的重要方法，受到越來越多的學(xué)者的重視。Hardel、Miiller、Silverman、Scott等都曾致力于多維密度核估計(jì)的研究，Schuster、Singh、Susan,Walter、陳桂景、趙林成、楊振海等人得到了較好的相合速度的結(jié)果。其中Loftsgarden和Qnesenberry提出了最近鄰估計(jì)，Devroye和Wagner討論了一種窗寬依賴于樣本的核估計(jì)。Gasser、Mammitzsch和Granorsky對(duì)最優(yōu)核理論做了廣泛的發(fā)展，F(xiàn)alrell、Hasminskii和Stone對(duì)核估計(jì)的最優(yōu)收斂速度做了研究，Loader、Hjort和Jones研究了核函數(shù)的局部似然估計(jì)，相依數(shù)據(jù)的核密度估計(jì)的早期工作者是Roussas和Rosenblatt，他們建立了局部漸近正態(tài)性，Claeskens和Hall研究了核密度估計(jì)的MISE、ISE。雖然非參數(shù)概率密度核估計(jì)的理論主要集中在大樣本上，且在應(yīng)用上需要大量的數(shù)據(jù)以及復(fù)雜的運(yùn)算過程，但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，非參數(shù)密度核估計(jì)的應(yīng)用也變的越來越廣泛，其應(yīng)用領(lǐng)域逐漸涉及社會(huì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域。本文將討論多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性，以及在大樣本情況下的穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性。

1 多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性

1.1 多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性的定義

1.2 幾個(gè)相關(guān)引理

引理1[1]若K(u)和f(X)滿足條件

引理2[1]若K(u)和f(X)滿足條件

引理4若K(u)和f(X)滿足條件

則對(duì)于多維密度核估計(jì)，具有如下公式：

將Berry-Esseen不等式推廣到n維則對(duì)于多維密度核估計(jì)有下式：

故引理得證。

1.3 多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性定理及證明

定理1若K(u)和f(X)滿足條件

2 多維密度核估計(jì)的穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性

本文將概率密度一維穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性的定義[3]推廣到多維密度核估計(jì)中，在一定條件下我們給出多維密度核估計(jì)的穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性定理，并證明此定理。

定理2若K(u)和f(X)滿足條件

則上式多維密度核估計(jì)是穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)的。

證明：首先將一維概率密度核估計(jì)的均方相合性定義[1]推廣到多維并應(yīng)用到本文所提的多維概率密度核估計(jì)中，來證明多維密度核估計(jì)的均方相合性。即：

再利用穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性的定義及其在多維上的推廣，并應(yīng)用到多維密度核估計(jì)的穩(wěn)健性漸進(jìn)正態(tài)性的證明中，即

3 結(jié)語

本文基于非參數(shù)密度估計(jì)尤其是非參數(shù)密度核估計(jì)的基本原理和統(tǒng)計(jì)方法將以往多維密度核估計(jì)文獻(xiàn)中的相關(guān)理論從一維推廣到多維，并證明了多維密度核估計(jì)的漸進(jìn)正態(tài)性和穩(wěn)健漸進(jìn)正態(tài)性。

[1]陳希孺.非參數(shù)統(tǒng)計(jì)[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1989.

[2]熊祖光，非參數(shù)核密度估計(jì)的空間聚類算法研究以及改進(jìn)[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，2008.

[3]鄭忠國(guó).Bootstrap方法和穩(wěn)健性[J].數(shù)學(xué)年刊，1986，7A(1).

[4]K.B.Athreya.Bootstrap of the Mean in the Infinite Variance Case[J].Ann Statist,1987,(15).

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