●姜坤崇 (楊浦區(qū)彰武路同濟(jì)新村224號(hào)甲 上海 200092)

性質(zhì)1 如圖1，設(shè)P是橢圓E1上的任意一點(diǎn)，E1在點(diǎn)P處的切線交橢圓E于點(diǎn)A，B，橢圓 E 在點(diǎn) A，B 處的切線交于點(diǎn) Q，記 kOA，kOB分別

為直線OA，OB(O為E的中心，以下同)的斜率，則

圖1

(2)點(diǎn) Q 在 E2上，且∠AQB=90°;

(3)AB⊥PQ.

證明設(shè) P(x0，y0)，Q(x'，y')，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由點(diǎn) P 在 E1上知

切線AB的方程為

兩邊同除以x2，可得

(2)由AQ，BQ分別為橢圓E過(guò)點(diǎn)A，B的切線知其方程分別為

由點(diǎn)Q(x'，y')分別在2條切線上得

從而橢圓E的切點(diǎn)弦AB的方程為

又知AB的方程為式(2)，由直線重合的條件可得

這表明點(diǎn)Q在E2上.以下證明∠AQB=90°.

(3)當(dāng) x0y0≠0 時(shí)，由式(5)，式(6)得

當(dāng)x0y0=0時(shí)，不難證明亦有AB⊥PQ，此處從略.

性質(zhì)2 如圖2，設(shè)P是橢圓E上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引橢圓E1的2條切線，切點(diǎn)分別為 A，B，直線 PA，PB分別交橢圓E于另一點(diǎn)C，D.記 kPA，kPB分別為直線PA，PB 的斜率，則

(1)點(diǎn) C，O，D 共線;

圖2

證明(1)當(dāng)點(diǎn)P不在2條坐標(biāo)軸上時(shí)，直線OP的斜率存在且不為0.因?yàn)橹本€PC，PD分別切橢圓E1于點(diǎn)A，B，故由性質(zhì)1的結(jié)論知

從而點(diǎn)C，O，D共線.

當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)P為(0，b)，此時(shí)由性質(zhì)1的證明過(guò)程知2條切線PA，PB的方程為±bx+ay-ab=0，從而點(diǎn)C，D在 x軸上，故點(diǎn)C，O，D 共線.

同理可證，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，亦有點(diǎn)C，O，D共線.

(2)設(shè) P(x0，y0)，C(x1，y1)，則

由第(1)小題的結(jié)論可知點(diǎn) C，O，D共線，于是D(-x1，-y1).

證明設(shè) P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

圖3

切線AB的方程為

上式整理后2邊同除以x2，得

性質(zhì)4 如圖4，設(shè)P是圓E2上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引橢圓E的2條切線，切點(diǎn)分別為 A，B.記kOA，kOB分別為直線 OA，OB 的斜率，則

圖4

(1)∠APB=90°;

(2)直線AB與橢圓E1相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，有AB⊥PQ;

證明(1)當(dāng)點(diǎn)P不在2條坐標(biāo)軸上時(shí)，直線OP的斜率存在且不為0.設(shè)直線PA，PB分別交E2于點(diǎn)C，D，由于PC，PD分別和橢圓E相切于A，B，故由性質(zhì)3的結(jié)論得

于是kOC=kOD，即 CD過(guò)中心 O，CD為圓 E2的直徑，從而∠APB=∠CPD=90°.

(2)設(shè) P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

由PA，PB為橢圓E過(guò)A，B所引的2條切線知其方程分別為

由P分別在2條切線上得

從而橢圓E的切點(diǎn)弦AB的方程為

當(dāng)y0≠0時(shí)，由式(10)得

代入E1的方程整理得(用到式(9))

設(shè)關(guān)于x的二次方程(11)根的判別式為Δ，注意到式(9)，有

從而直線AB與橢圓E1相切.設(shè)切點(diǎn)為Q(x'，y')，則由方程(11)、(10)及式(9)可得

(3)當(dāng) x0≠ ±a 時(shí)，y0≠ ±b，由第(2)小題的證明過(guò)程可知

又由第(1)小題的結(jié)論知∠APB=90°，所以

當(dāng)x0=±a時(shí)，不妨設(shè)x0=a，則y0= ±b，此時(shí)過(guò)點(diǎn)P所引橢圓E的2條切線方程為x=a，y=b(或y=-b)，2個(gè)切點(diǎn)在 2條坐標(biāo)軸上，顯然∠AOB=90°.

［1］ 姜坤崇.相似橢圓的性質(zhì)又探［J］.數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2011(4)：36-37.