楊明明，劉大明，連麗婷，張朝陽(yáng)

（海軍工程大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院電磁系，湖北 武漢 430033）

0 引言

艦船定位是實(shí)施艦船磁場(chǎng)檢測(cè)、進(jìn)而評(píng)估艦船磁性狀態(tài)的首要步驟［1］。目前主要的定位方式可以分為以下兩類(lèi)：1）間接定位——在預(yù)知傳感器與某固定參考點(diǎn)的相對(duì)位置后，再借助其他輔助設(shè)備（如DGPS［2］等）確定艦船與該參考點(diǎn)的相對(duì)位置，由此可以推算傳感器與艦船的相對(duì)位置；2）磁定位——將艦船磁場(chǎng)用若干個(gè)磁源來(lái)等效，由測(cè)量數(shù)據(jù)反演磁源的磁矩和運(yùn)動(dòng)軌跡，從而確定各采樣時(shí)刻傳感器與目標(biāo)的相對(duì)位置［3－8］。從上面的分析不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)論采用何種定位方式，都需要預(yù)知傳感器位置的先驗(yàn)知識(shí)：磁定位為傳感器之間的相對(duì)位置，而間接定位為傳感器與某參考點(diǎn)的相對(duì)位置。

文獻(xiàn)［9］將艦船磁場(chǎng)等效為單個(gè)磁極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)，在磁矩和傳感器離水面的垂直距離已知的基礎(chǔ)上，由磁場(chǎng)測(cè)量值和水深值來(lái)確定傳感器與偶極子的相對(duì)位置的水平分量，即實(shí)現(xiàn)了傳感器定位。然而，若無(wú)法準(zhǔn)確獲取磁矩，則該方法的定位效果急劇變差，而對(duì)磁矩實(shí)施精準(zhǔn)測(cè)量是非常困難的。因此，本文提出采用位于海面的圓形載流線圈作為磁偶極子源來(lái)確定海底矢量磁傳感器位置的方法。

1 傳感器定位原理和優(yōu)化算法

如圖1所示，I為位于海面的圓形載流線圈，線圈半徑為R，線圈匝數(shù)為N，電流為I，矢量傳感器P位于海底。對(duì)傳感器P進(jìn)行定位的任務(wù)就是由傳感器的磁場(chǎng)測(cè)量值來(lái)確定傳感器自身相對(duì)于線圈中心的相對(duì)位置（xP，yP，zP）。在實(shí)際使用中，為了監(jiān)測(cè)艦船磁場(chǎng)檢測(cè)過(guò)程中水深的變化，一般在磁傳感器上加裝水深傳感器，所以傳感器離水面的垂直距離zP是可以利用的已知條件，因此定位的任務(wù)只需要確定傳感器與磁偶極子相對(duì)位置的水平分量（xP，yP）。

圖1 海底矢量磁傳感器的定位原理圖Fig.1 Localization schematic of the undersea vector magnetic sensor

以線圈圓心為原點(diǎn)O′，x′和y′軸沿半徑分別指向地磁北和地磁東，建立的右手坐標(biāo)系稱(chēng)磁源坐標(biāo)系O′-x′y′z′，見(jiàn)圖2。磁源坐標(biāo)系下，線圈所圍范圍外的任意場(chǎng)點(diǎn)r（xPyP，zP）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為［10］：

式（1）中，rs為源點(diǎn)矢徑，n為面S與線圈電流成右手螺旋關(guān)系的法線方向，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，μ為介質(zhì)的磁導(dǎo)率。

圖2 磁偶極子源模型Fig.2 magnetic dipole source model

采用海面磁偶極子源定位海底矢量傳感器的基本原理為：在場(chǎng)點(diǎn)r處測(cè)量得到線圈通電后產(chǎn)生的磁場(chǎng)，由式（1）計(jì)算傳感器與磁源的相對(duì)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)傳感器定位。

由傳感器定位的原理，不難看出傳感器定位本質(zhì)就是從R2空間中尋找一個(gè)合適的位置矢量（xP，yP），使得從該矢量由式（1）正向推演的磁感強(qiáng)度（B）有效擬合測(cè)量值（Bc），屬于無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題。適用求解該問(wèn)題的方法有步長(zhǎng)加速法、Powell法［3，8］、Gauss-Newton法和 Levenberg-Marquardt（L-M）算法［11－12］等。L-M 算法能克服雅可比矩陣非滿(mǎn)秩時(shí)，其他算法不穩(wěn)定的困難，適合本問(wèn)題的求解。因此本文選用L-M算法來(lái)求解位置矢量。

2 傳感器定位方法

由上節(jié)的分析，可以發(fā)現(xiàn)：傳感器定位方法的難點(diǎn)在于：如何計(jì)算線圈磁感應(yīng)強(qiáng)度以及采用何種優(yōu)化算法來(lái)求解位置參數(shù)，下面對(duì)其進(jìn)行分別闡述。

2.1 磁感應(yīng)強(qiáng)度的計(jì)算

由積分中值定理，式（1）可以化為：

式（2）中，re為面S內(nèi)的矢徑，me＝IS ne為等效磁矩，ne為該點(diǎn)處的法線，S為線圈所圍面積。分析式（2）可以知道，當(dāng)線圈尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離時(shí)（至少15倍），則re的影響可以忽略，此時(shí)載流線圈的磁效應(yīng)可以用位于線圈中心的單個(gè)磁偶極子來(lái)等效。如直接采用式（2）來(lái)定位傳感器，則要求線圈半徑R較小，考慮到實(shí)際使用時(shí)盡量增大電流和增加線圈匝數(shù)，磁源等效磁矩仍太小，造成傳感器接收到的磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)非常弱的信號(hào)（幾十納特，甚至幾納特），這對(duì)傳感器的探測(cè)能力（分辨率、精度和穩(wěn)定度）和環(huán)境噪聲都提出了較高的要求。

由于等效磁矩是隨線圈尺寸的二次方變化，因此適當(dāng)增大線圈尺寸能夠較大幅度地增大等效磁矩。考慮到此種情況，本文采用如下的計(jì)算方法：將線圈所圍區(qū)域S劃分為N個(gè)單元，且對(duì)每個(gè)單元保證場(chǎng)點(diǎn)距該單元中心的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于單元的線度（具體的劃分規(guī)則如圖2，其中ΔR ≤zP／15，RΔθ≤zP／15），則載流線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度為N個(gè)磁偶極子的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和：

式（3）中，mi＝ISini為第i個(gè)單元等效磁矩；rpi為第i個(gè)單元中心到場(chǎng)點(diǎn)的矢徑，其模為rpi。寫(xiě)成矩陣的形式為：

式（4）中，M ＝ ［（m1）T，（m2）T，…，（mN）T］T為等效磁矩向量，Bc為地磁坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)測(cè)量值，E＝（Ep1，Ep2，…，EpN）為聯(lián)系等效磁矩與磁場(chǎng)測(cè)量值的觀測(cè)矩陣。

2.2 L-M算法求解位置參數(shù)

在選擇了合適的磁場(chǎng)計(jì)算方法后，實(shí)現(xiàn)傳感器定位的關(guān)鍵在于如何計(jì)算傳感器位置。從上面的分析，采用L-M算法求解位置參數(shù)具有較明顯的優(yōu)勢(shì)，因此本文選用L-M算法來(lái)求解位置矢量。而采用L-M算法求解位置的難點(diǎn)在于，確定合適的目標(biāo)函數(shù)和迭代初始點(diǎn)，為此本文提出如下的確定方法。

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)

傳感器在觀測(cè)磁偶極子源磁感應(yīng)強(qiáng)度的過(guò)程中，不可避免地會(huì)引入測(cè)量誤差，對(duì)于同一矢量傳感器的不同分量，誤差水平往往是不一樣的。如果直接求解式（4）的非線性最小二乘解（L MS），則沒(méi)有區(qū)分不同分量的測(cè)量誤差對(duì)擬合的影響。在某個(gè)分量測(cè)量誤差較大的情況下，可能出現(xiàn)對(duì)該分量的過(guò)度擬合，依此推算的位置也會(huì)出現(xiàn)偏差。因此本文采用加權(quán)最小二乘法（WL MS）來(lái)求解位置參數(shù)，對(duì)誤差較大的分量給予較小的權(quán)值，對(duì)誤差較小的分量給予較大的權(quán)值，目標(biāo)函數(shù)為：

式（5）中，ΣB為測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量誤差協(xié)方差陣，可以在線圈通電前對(duì)地磁場(chǎng)進(jìn)行觀測(cè)后計(jì)算得到。

2.2.2 迭代初始點(diǎn)

合適的初始迭代點(diǎn)不但能夠保證從初始點(diǎn)出發(fā)穩(wěn)定地收斂到全局最優(yōu)解，而且可以有效減少迭代次數(shù)，縮短運(yùn)行時(shí)間。由于磁矩都沿z軸方向（實(shí)際情況下，可以近似認(rèn)為磁矩都沿z軸方向），下面分幾種情況來(lái)確定迭代初始點(diǎn)（xp0，yp0）：

從式（6）和式（7）可以看出：如果磁矩沿z軸方向，測(cè)量誤差是乘性噪聲且各分量的信噪比一致，則迭代初始點(diǎn)與真解的距離不會(huì)超過(guò)線圈半徑。在確定了目標(biāo)函數(shù)和迭代初始點(diǎn)后，我們就可以利用LM算法來(lái)求解傳感器位置，有關(guān)L-M算法的實(shí)現(xiàn)可以參考文獻(xiàn)［12］，這里不再贅述。

綜上所述，傳感器定位方法的主要步驟為：在線圈接通電源之前，首先多次采樣地磁背景，確定測(cè)量誤差協(xié)方差陣ΣB；其次由水深測(cè)量值將載流線圈劃分為N個(gè)單元，計(jì)算N個(gè)等效磁偶極子的位置，并根據(jù)線圈匝數(shù)和線圈電流確定各磁偶極子的等效磁矩；再次由傳感器輸出值（磁場(chǎng)測(cè)量值）確定迭代初始點(diǎn)；最后由該迭代初始點(diǎn)出發(fā)采用L-M算法計(jì)算傳感器位置，完成自身定位。

3 模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和定位影響因素仿真

3.1 模型實(shí)驗(yàn)

如圖3，磁偶極子源參數(shù)：線圈共計(jì)50匝，線圈半徑R＝0.07 m，線圈電流I＝3 A。在磁偶極子源的下方共布設(shè)9個(gè)矢量磁傳感器，測(cè)量平面距磁源中心的高度為0.59 m；地磁坐標(biāo)系下9個(gè)傳感器的坐 標(biāo) 場(chǎng) 點(diǎn) 為：p1（0.4，0.4，0.59），p2（0，0.4，0.59），p3（－0.4，0.4，0.5 9），p4（0.4，0，0.5 9），p5（0，0，0.59），p6（－0.4，0，0.59），p7（0.4，－0.4，0.59），p8（0，－0.4，0.59），p9（－0.4，－0.4，0.59）。

圖3 模型實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.3 Schematic diagram of model experi ment

實(shí)驗(yàn)的主要步驟為：1）線圈接通電源前，測(cè)量系統(tǒng)以采樣周期T＝1 s采集地球磁場(chǎng)，共獲得的地磁樣本為100×9組數(shù)據(jù)（傳感器數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)×傳感器個(gè)數(shù)）；2）對(duì)每個(gè)傳感器，以這100個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的均值作為該傳感器測(cè)量得到的地磁背景，并由此推算每個(gè)傳感器坐標(biāo)與地磁坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣A1，估計(jì)每個(gè)傳感器在傳感器坐標(biāo)下的協(xié)方差矩陣Σe，由此可以的磁場(chǎng)，減去地球磁場(chǎng)后再將其轉(zhuǎn)換到地磁坐標(biāo)系記為Bc；4）利用上面介紹的方法定位每個(gè)傳感器的位置（zp為已知量）。

圖4給出了9個(gè)傳感器的實(shí)際位置、迭代初始點(diǎn)和定位結(jié)果。從圖中可以看出：迭代初始點(diǎn)靠近傳感器實(shí)際位置，說(shuō)明迭代初始點(diǎn)的挑選方法是合適的；計(jì)算得到的位置與實(shí)際位置差別較小，驗(yàn)證了定位方法的有效性。定義定位的相對(duì)誤差Re：

圖4 9個(gè)傳感器的定位結(jié)果Fig.4 Localization results of 9 sensors

表1給出了選用不同目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的定位誤差。從表中可以看出：在本次實(shí)驗(yàn)中，不管采用最小二乘或是加權(quán)最小二乘法作為目標(biāo)函數(shù)來(lái)求解傳感器位置都具有較高的精度（相對(duì)誤差不大于4%）；加權(quán)最小二乘的定位結(jié)果略好于最小二乘法的定位結(jié)果，但是誤差分布并沒(méi)有充分反映加權(quán)最小二乘法的優(yōu)勢(shì)，主要原因是模型實(shí)驗(yàn)采用的測(cè)磁系統(tǒng)的精度較高，傳感器各分量的誤差水平相當(dāng)（方差都在10 n T附近），有理由相信實(shí)際使用中加權(quán)最小二乘法可有效處理各分量誤差水平差別較大的情形。

表1 定位相對(duì)誤差表Tab.1 localization relative error %

3.2 定位影響因素仿真分析

將本文中的方法應(yīng)用于實(shí)際，則應(yīng)當(dāng)考慮磁偶極子源的布置問(wèn)題。圓形導(dǎo)航浮標(biāo)在移動(dòng)磁性檢測(cè)站的投放、維護(hù)、指引艦船正確通過(guò)和數(shù)據(jù)傳遞中發(fā)揮著廣泛的作用［1］。如果在浮標(biāo)上安裝線圈和適當(dāng)?shù)碾娫?，就可以?gòu)成磁偶極子源，也就可以將本文中的方法應(yīng)用于實(shí)際。由于浮標(biāo)錨泊在海上，容易受到風(fēng)、浪、涌、流等海洋環(huán)境載荷的作用，會(huì)產(chǎn)生六個(gè)自由度的搖蕩運(yùn)動(dòng)，即橫搖、縱搖、平搖、縱漂、橫漂和升沉運(yùn)動(dòng)［13］。由于平搖、縱漂和橫漂不具有恢復(fù)力，多通過(guò)錨泊系統(tǒng)來(lái)對(duì)其約束；并且各個(gè)傳感器的采樣時(shí)刻是同步的，所以這三種運(yùn)動(dòng)對(duì)定位結(jié)果的影響影響可以不必考慮。而水深的變化可以由水深傳感器測(cè)量得到，則升沉運(yùn)動(dòng)的影響也可以忽略。對(duì)于圓形浮標(biāo)而言，橫搖和縱搖可以視為同種形式的運(yùn)動(dòng)，它們作用的結(jié)果就是使得線圈平面偏離地磁坐標(biāo)系的x Oy平面，即磁源坐標(biāo)系與地磁坐標(biāo)系不再重合，如圖5所示。

圖5 磁源坐標(biāo)系與地磁坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.5 geo magnetic and magnetic source coor dinates

本文對(duì)不同的θ和β仿真結(jié)果見(jiàn)表2，其中仿真參數(shù)設(shè)置為：R＝2 m，I＝5 A，n＝50匝；選取三個(gè)場(chǎng)點(diǎn)p1（0，0，20），p2（10，10，20）和p3（－10，10，20）作為考核點(diǎn)；三個(gè)場(chǎng)點(diǎn)的磁場(chǎng)計(jì)算值疊加20 d B的隨機(jī)噪聲后作為磁場(chǎng)測(cè)量值；利用本文介紹的方法求解考核點(diǎn)的位置，按式（8）計(jì)算這三個(gè)場(chǎng)點(diǎn)的均方根誤差作為考核誤差。

表2 不同的θ和β對(duì)應(yīng)的誤差分布Tab.2 Error distribution of differentθandβ

從表中可以看出，當(dāng)θ和β小于5°時(shí)，定位的誤差可以控制在5%以?xún)?nèi)。同時(shí)本文還采用上節(jié)的模型對(duì)縱搖和橫搖的影響進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，當(dāng)θ＝β＝7°時(shí)，9個(gè)傳感器的最大定位誤差為5.777 3%。

4 結(jié)論

本文提出了一種利用海面的磁偶極子源來(lái)定位海底傳感器的方法。在確定合適的磁源參數(shù)（線圈半徑、電流和線圈匝數(shù)）后，傳感器定位方法的主要步驟為：在線圈接通電源之前，首先多次采樣地磁背景，確定測(cè)量誤差協(xié)方差陣ΣB；其次由水深測(cè)量值將載流線圈劃分為N個(gè)單元，計(jì)算N個(gè)等效磁偶極子的位置，并根據(jù)磁源參數(shù)確定各磁偶極子的等效磁矩；再次由傳感器輸出值（磁場(chǎng)測(cè)量值）確定迭代初始點(diǎn)；最后由該迭代初始點(diǎn)出發(fā)采用L-M算法計(jì)算傳感器位置，完成自身定位。從模型實(shí)驗(yàn)和仿真分析可以看出：采用L-M算法確定海底傳感器位置具有較高的精度，當(dāng)風(fēng)浪引起線圈平面與地磁坐標(biāo)系的偏轉(zhuǎn)角小于5°時(shí)，該方法仍然可以用于對(duì)海底傳感器的定位。在實(shí)際中檢驗(yàn)該方法，將θ和β視為參變量利用多個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)同時(shí)實(shí)現(xiàn)傳感器定位和角度觀測(cè)是下一步要研究的重點(diǎn)。

［1］John S Kay.Equip ment develop ment for t he measurement of under water multi-influence fields［J］.IPENZ Transactions，1997，24（1）：48-60.

［2］江南，孫少華.DGPS技術(shù)在水中兵器試驗(yàn)中的應(yīng)用研究［J］.昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版），2003，28（1）：67-69.JIANG Nan，SUN Shaohua.Applicative study on DGPS technology in under water weapon test［J］.Journal of Kunming University of Science and Technology（Science and Technology），2003，28（1）：67-69.

［3］林春生，龔沈光.艦船物理場(chǎng)［M］.北京：兵器工業(yè)出版社，2007.

［4］林春生.艦船磁場(chǎng)信號(hào)檢測(cè)與磁性目標(biāo)定位［D］.武漢：海軍工程學(xué)院，1996.

［5］胡海濱.磁性目標(biāo)探測(cè)與定位研究［D］.武漢：海軍工程大學(xué)，2003.

［6］胡海濱，林春生，龔沈光.基于母函數(shù)正交化的模型化磁性物體矢量探測(cè)和定位［J］.探測(cè)與控制學(xué)報(bào)，2006，28（3）：5-8.HU Haibin，LIN Chunsheng，GONG Shenguang.A modelization method of magnetic object detection and localization based on ort hogonalization mother f unctions［J］.Journal of Detection ＆ Control，2006，28（3）：5-8.

［7］隗燕琳，肖昌漢.基于艦船矢量磁場(chǎng)的定位方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，43（8）：1 216-1 221.WEI Yanlin，XIAO Changhan.A new magnetic localization method based on vessel＇s vectorial magnetic field［J］.Jour nal of Shanghai Jiaotong University，2009，43（8）：1 216-1 221.

［8］蔣敏志，林春生.船舶水下被動(dòng)磁定位研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（信息與管理工程），2003，25（6）：168-170.JIANG Minzhi，LIN Chunsheng.Research on vessel location by under water passive magnetic signature［J］.Jour nal of Wuhan University of Technology（inf or mation ＆ management engineering），2003，25（6）：168-170.

［9］Jonas Call mer，Martin Skoglund，F(xiàn)redrik Gustafsson.Silent localization of under water sensors using magneto meters［J］.Eurasip Jour nal on Advances in signal pr ocessing，2009：1-8.

［10］馮慈璋，馬西奎.工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［11］Hu Chao，Meng Max Qinghu，Mandal Mrinal.Efficient magnetic localization and orientation technique for capsule endoscopy［C］／／ Engineering in Medicine and Biology 27thAnnual Conference，Shanghai：IEEE，2005：7 143-7 146.

［12］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［13］任貴永，孟玿瑛.海洋大型導(dǎo)航浮標(biāo)研究［J］.海洋學(xué)報(bào)，1993，14（4）：114-121.REN Guiyong，MENG Zhaoying.Study of Large-scale marine navigation buoys［J］.Acta Oceanologica Sinica，1993，14（4）：114-121.