何正嘉，孫海亮，訾艷陽

(西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049)

1 前言

機械、運載、能源、冶金、石化、國防等國民經濟重要行業(yè)的關鍵機械設備，長期在重載、疲勞、腐蝕、高溫等復雜惡劣的工況下運行，設備中的核心零部件和重要機械結構不可避免地發(fā)生不同程度的故障。機械設備一旦出現事故，將帶來巨大的經濟損失和人員傷亡。在工程實踐中，為了對事故的發(fā)生做到防患于未然，因此必須開展對關鍵機械設備早期故障和復合故障診斷與預示的研究。為有效開展故障診斷，獲取機械設備運行過程中的狀態(tài)信息，提取信號特征是實現故障診斷的重要手段，其本質是信號變換和特征提取。

近年來工程中廣泛應用的小波變換和多小波變換等非平穩(wěn)信號處理方法，都是基于Hilbert空間的信號與不同“基函數”的內積變換。這些信號處理方法的本質都是探求信號中包含與“基函數”最相似或相關的分量，其關鍵在于構造和選擇與故障特征波形相匹配、且具有優(yōu)良性質的合適基函數，使所構造的自適應基函數與動態(tài)信號物理特征達到最佳匹配，獲得不同物理意義并符合工程實際的故障特征信息，實現科學、正確的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷［1］。

基于故障既是狀態(tài)(設備性能和狀況)又是過程(故障萌生和擴展)這一本質屬性，筆者深入研究機械故障動態(tài)信號處理的基函數選擇與內積變換原理，集中分析小波變換和多小波變換的內積變換表述，揭示它們的內積變換共性并探討其物理本質和關鍵問題。為提取運行狀態(tài)下微弱動態(tài)信號的特征，以解決復合故障診斷難題，基于兩尺度相似變換、頻域提升變換、對稱提升變換和時域提升變換自適應構造多小波基函數，闡述機械故障診斷的內積變換原理及其工程應用效果。設備出現早期損傷時，其微弱故障特征被強背景噪聲所淹沒，考慮小波變換系數間的相關性，深入研究平移不變多小波相鄰系數降噪、多小波滑動窗局部閾值降噪和多小波改進相鄰系數降噪方法，闡述運行狀態(tài)下微弱動態(tài)信號的特征提取及工程應用效果。

2 內積變換原理與基函數構造

在平方可積空間L2中的函數x(t)和y(t)，它們的內積定義為［2］

式(1)中，y*(t)是y(t)的共軛。設一個Ψ域中的信號x可以表示為以下展開形式:

其中，{ψn}n∈Z是 Ψ 域中的基本函數集。如果{ ψn}n∈Z是Ψ空間的完備序列，即Ψ域內的信號均可由式(2)表示，存在一個對偶函數集，使得其展開系數可由內積函數計算:

從式(3)可以看出，內積結果an越大，則表明x與對偶函數越接近。在上述內積變換中，對偶函數可視為一種“基函數”，則內積變換即為信號x與“基函數”關系緊密度或相似性的一種度量，其關鍵在于基函數的合理構造，使構造的基函數與機械設備運行過程的動態(tài)信號物理特征達到最佳匹配，獲得不同物理意義并符合工程實際的故障特征信息，實現科學、正確的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。

2．1 小波變換的內積表述

對信號x(t)進行小波變換，關鍵是選擇小波基函數ψa，b(t)，這里a是反映頻率變量的尺度因子，b是對信號進行掃描的時移因子。信號x(t)的小波變換 WTx(a，b)為

這一內積運算旨在探求信號x(t)中包含與小波基函數ψa，b(t)最相關或最相似的分量。因此，構造出一個小波基函數ψa，b(t)，就能夠進行一種小波變換。不同類型的機械故障在動態(tài)信號中往往表征為不同的特征波形，如果采用了不恰當的小波基函數，則會沖淡特征信息，給特征提取與故障診斷造成困難。同時，小波基函數的正交性、正則性、消失矩、緊支性、對稱性、相似性、冗余度等性質與信號特征提取直接有關。因此，小波變換的關鍵取決于構造和選擇與故障特征波形相匹配、且具有優(yōu)良性質的小波基函數。

2．2 多小波變換的內積表述

多小波變換是小波理論的新發(fā)展，它是由兩個或兩個以上的函數作為尺度函數生成的小波。多小波分析也是建立在內積變換的基礎上，多小波兩尺度關系可以表述為

利用式(5)對矢量輸入信號x進行內積運算，得到多小波分解表達:

對于 Φj，k與 Φj－1，n和 Ψj－1，n有基函數分解關系

這里符號*表示共軛轉置。

與單小波不同，多小波是矢量運算，濾波器均為多維向量。由于多小波可以兼?zhèn)鋯涡〔ㄋ荒芡瑫r滿足的優(yōu)良性質［3］，有助于基函數在內積匹配過程中更加準確地提取微弱故障特征，在早期故障診斷方面具備優(yōu)勢;多小波擁有多個小波基函數，可以同時匹配信號中的多個故障特征，從而實現復合故障耦合特征的一次性分離與識別。

3 自適應多小波基函數構造方法

為了實現基函數的按需構造，使得多小波擁有自適應能力，研究基于兩尺度相似變換、頻域提升變換、對稱提升變換和時域提升變換的自適應多小波基函數構造，以及針對不同應用對象的基函數優(yōu)選準則，增強在強噪聲背景下的早期、微弱和復合故障特征提取和識別能力。

3．1 基于兩尺度相似變換的自適應多小波基函數構造

逼近階是刻畫尺度函數對原始函數逼近性能或分析精度的重要特征之一。V Strela博士引入兩尺度相似變換［4］，可以改變多尺度函數的逼近階，從而構造具有優(yōu)良特性的多小波基函數。隨后，F Keinert研究了m重的兩尺度相似變換理論［5］，并給出了基于兩尺度相似變換的雙正交多小波構造方法，完善了兩尺度相似變換理論。

在眾多多小波中，GHM多小波是最常用的2重多小波［6］，它具有緊支性、對稱性、正交性及2階逼近階。文章基于兩尺度相似變換的轉換矩陣M1(ω)對GHM多小波進行改造，構造具有階逼近階的雙正交多小波，且保持多尺度函數的緊支性和對稱性。

式(9)中，參數a和b為非零常數;e為自然常數。

在多小波基函數逼近階提高為3時，對偶多小波基函數的逼近階降低為1，為改善其逼近階特性，用式(10)的兩尺度相似變換轉換矩陣M2(ω)，將其逼近階提升為 2［7］。式(10)中，參數c，d和e均為非零常數。

某煉油廠重油催化裂化裝置由煙機、風機、齒輪箱、電機組成，結構如圖 1所示。機組轉速為5850 r/min(轉頻為97．656 Hz);齒輪箱傳動比為5745/1484，低速軸轉頻為25．22 Hz。監(jiān)測系統(tǒng)采用電渦流傳感器對煙機1#瓦、煙機2#瓦、風機3#瓦、風機4#瓦和齒輪箱5#瓦的垂直和水平方向共10個測點進行實時監(jiān)測。采樣頻率為2 kHz。

采集齒輪箱5#瓦的振動信號，利用兩尺度相似變換自適應構造多小波基函數，分析結果如圖2所示。圖2中，每兩個沖擊I2和一個幅值較大沖擊的I1交替出現。沖擊I2之間的平均間隔約為0．01 s，與機組高速軸轉頻接近。而沖擊I1的時間間隔約等于沖擊I2的3倍，剛好對應于高速軸轉頻的1/3。該1/3次諧波成分說明機組存在碰摩故障。經現場驗證，該碰摩是由于壓縮機與齒輪箱之間的膜片式離合器因補償對中不良而引起的錯動所致［7］。

圖1 催化裂化裝置結構圖Fig．1 The structural scheme of a heavy oil catalytic cracking unit

圖2 齒輪箱5#瓦振動信號的自適應基函數分析結果Fig．2 The result decomposed by multiwavelet constructed for the signal of 5#bearing bush in the gearbox

3．2 基于頻域提升變換的自適應多小波基函數構造

提升方法［8］(lifting scheme)是由貝爾實驗室W Sweldens提出的一種構造小波及其濾波器組的強有力工具，基本思想是在雙正交小波和完全重構濾波器組的理論基礎上，通過設計不同的提升算子改變原有小波濾波器的特性，得到不同性質的雙正交小波。研究人員嘗試將提升方法引入到多小波的構造中，并成功構造出了多小波的實例。

定理［9］:給定一個初始多小波濾波器組，則新的多小波濾波器組為:

其中，S(z)和T(z)均為有限階，T(z)的行列式為單項式。它與單小波的提升框架式是類似的，不同之處在于這里的濾波器均為矩陣形式，且在Gnew(z)的表達中多了一項T(z2)。

利用多小波兩尺度關系及式(8)可得:

提升框架可以改造現有多小波，使多小波函數具有任意階消失矩，從而構造出具有理想特性的自適應多小波基函數。提升框架實現的關鍵是矩陣S(z)和 T(z)的設計［10］。

某煉鋼廠連鑄連軋機組的精軋機機架的主傳動系統(tǒng)為單級減速器，齒數比為Z22/Z65。機組運行時該機架主減速器高速軸靠電機側有明顯異響，但在其例行檢測中，機組振動值處于正常范圍。該側軸承為雙列短圓柱軸承，型號為SKF316077A，和以往軸承滾動體為實心圓柱體不同，該軸承為柱銷式焊接保持架結構，滾動體中空，套裝在柱銷軸上，軸承參數見表1。在主減速器外側安裝加速度傳感器對其進行監(jiān)測，采樣頻率為2560 Hz。

表1 高速軸輸入側軸承參數Table 1 The bearing parameters of input side of high speed shaft

基于三次Hermite多小波，利用局部故障域譜熵最小原則得到具有7階消失矩的自適應多小波基函數。分解結果中，最敏感頻帶是三層多小波包分解的第四頻帶第一分支，其平方包絡及其頻譜見圖3。

圖3 主減速器振動信號的自適應基函數分析結果Fig．3 The result decomposed by customized multiwavelets for signals of the main reducer

由圖 3(b)可以看出，譜線 1．875 Hz、11．88 Hz及25．63 Hz在包絡譜中占優(yōu)，分別接近于保持架故障特征頻率2．05 Hz(即保持架自轉頻率)、滾動體通過頻率半頻及滾動體通過頻率26．34 Hz(即滾動體自轉頻率)。由于軋鋼過程的非平穩(wěn)性，這三個明顯譜線并不是嚴格對應于相應特征頻率。鑒于滾動體自轉頻率的半頻分量為11．88 Hz，而半頻等次諧波成分是典型的碰摩故障特征，經現場驗證，如圖4所示，該柱銷式焊接保持架滾動軸承發(fā)生保持架脫焊失效，導致了套裝在柱銷上的滾動體在運行中出現碰摩故障［2］。

圖4 軸承保持架結構及損壞狀況圖Fig．4 The structural scheme of rolling bearing cage and its defects

3．3 基于對稱提升變換的自適應多小波基函數構造

根據第3．2節(jié)中多小波提升變換基礎理論，本節(jié)介紹一種基于對稱提升變換的自適應多小波基函數構造方法。對稱性可以保證濾波器具有線性相位或廣義線性相位，能夠有效地避免重構誤差;其次對稱性有利于多小波運算時的邊界處理，利用對稱擴展的方式可以減少邊界畸變。如果初始的多尺度函數與多小波函數均為對稱或反對稱，若要構造出的新多小波函數也是對稱的，則要求初始多尺度函數與多小波函數的平移必須滿足對稱條件。為確保提升過程的對稱性，使用提升過程的“對稱選擇”方法，來選擇用于修正多小波的其他函數的平移量［11］。

某空氣分離壓縮機(簡稱空分機)大修后開機，發(fā)現齒輪箱振動劇烈，并伴隨尖叫聲。需要通過對其進行詳細地檢測與診斷來查清故障。使用便攜式診斷儀對該機組進行了全面測試。軸承座振動用加速度傳感器測量，采樣頻率為15 kHz。

利用對稱提升方法自適應構造多小波基函數，分解結果如圖5所示，第一個分量(圖5(a))清晰地表示出與4．7 ms對應的周期性沖擊特征，對應于空分機齒輪箱高速軸的轉頻(213 Hz)。第二個分量(圖5(b))中的高頻振蕩則較為突出，這種特征同樣具有周期性，且為4．7 ms。對圖5中的信號取其能量，如圖6所示，該圖中的周期性沖擊更加明顯。在圖5中所觀察到的多小波輸出的兩個分支的結果有所不同，是因為多小波的兩個小波基函數各不相同，同時提取出沖擊和調制的故障特征。診斷為由于大修過程中安裝不善，導致齒輪箱止推夾板和大齒輪端面接觸部位由于相對運動產生撞擊和摩擦。經開箱驗證，診斷結論正確［11］。

圖5 空分機信號多小波分解結果Fig．5 The result decomposed by multiwavelet constructed for the signals of an air compressor

圖6 空分機信號多小波分解結果的能量Fig．6 The power of the result decomposed by multiwavelet constructed for the signals of an air compressor

3．4 基于時域提升變換的自適應多小波基函數構造

與第二代小波變換相類似，多小波的時域提升框架(為了區(qū)別于前面的頻域提升原理，將其命名為時域提升框架)主要包含剖分、預測和更新三個步驟，所不同的是多小波提升框架都是矩陣運算，同時在多小波整體提升框架變換中還有前處理和后處理過程。基于時域提升框架的2重多小波分解過程和重構過程如圖7所示。

圖7 時域提升變換的多小波分解和重構過程Fig．7 The decomposition and reconstruction of multiwavelet constructed using lifting scheme in time domain

信息熵是描述信號概率分布均勻性的有力工具。在此選用最小熵原則來選取與給定信號最佳匹配的多小波基函數。在此過程中，選擇對第一層分解的細節(jié)信號進行最小熵約束，由此可以得到時域提升框架中最優(yōu)的自由參數及其相應的自適應多小波基函數。

該方法和滑動窗降噪相結合應用于精軋機齒輪箱復合故障診斷。

4 多小波降噪方法研究

在機械設備運行過程中，所采集的動態(tài)信號往往受到背景噪聲干擾。因此，如何提高信號信噪比，突出并提取有用的微弱故障特征信息是故障診斷的一個關鍵環(huán)節(jié)。

設含噪信號x(t)是所關心的特征信號f(t)和噪聲信號r(t)的疊加，通常表示為

其中，r(t)為單位方差、零均值的高斯白噪聲;σ為噪聲信號的方差。對信號進行降噪的目的就是抑制信號中的噪聲部分，從含噪信號x(t)中恢復真實特征信號f(t)。

傳統(tǒng)的小波閾值降噪方法存在以下不足:a．由于小波基函數是由母小波函數經伸縮和平移得到，該平移是非一致性取樣，引起信號在奇異點(突變、尖點等不規(guī)則的瞬變結構)附近產生的急劇振蕩的Gibbs現象;b．采用“逐點比較”方式，忽略了小波系數之間的相關性;c．采用全局閾值設定方式，將過扼殺同一尺度下相對較小的信號幅值，導致微弱故障特征信息的丟失。

4．1 平移不變多小波相鄰系數降噪方法

結合多小波和平移不變方法的優(yōu)勢，平移不變多小波降噪方法［12］利用時域平移運算獲得與輸入信號具有一定相位差的新信號，改變原始數據結構中奇異點的位置，從而降低或消除因奇異點位置特殊性所引起的Gibbs現象。對于一個給定信號，通過選擇最佳平移量可以實現由Gibbs現象引起的異常振幅的最小化。為了解決最佳平移量問題，采用對一定范圍的平移量做循環(huán)平移運算，再平均所獲得的結果，可以更好地保持信號的光滑性且具有優(yōu)越的降噪性能。相鄰系數降噪方法將若干緊鄰的多小波系數組合，進行局部閾值設定，當多小波系數之間存在較強的相關性時，相鄰系數降噪方式明顯優(yōu)于逐點比較的傳統(tǒng)閾值處理方式，它能在濾去噪聲的同時更加有效地保留信號的局部特征信息。

為了驗證機車軸承輕微剝落故障，在型號為552732QT的滾動軸承外圈上加工如圖8所示的長形小凹槽損傷。將該故障軸承裝配到某型客運電力機車，并在機車走行部軸承箱安裝加速度傳感器對其進行頂輪測試，如圖9所示。軸承相關參數見表2。采樣頻率為 12．8 kHz，機車車軸的轉速為650 r/min，即10．833 Hz。根據滾動軸承故障特征頻率計算得到，機車滾動軸承外圈損傷的特征頻率fo=78．169 Hz。

圖8 機車滾動軸承外圈損傷Fig．8 The defect in outer ring of the locomotive rolling bearing

圖9 機車滾動軸承頂輪試驗Fig．9 The test rig of the locomotive rolling bearing

表2 機車滾動軸承參數Table 2 The parameters of an locomotive rolling bearing

降噪結果中可以看出平移不變多小波相鄰系數降噪方法可以全面、準確地提取出所有周期性沖擊特征，其周期約為12．8 ms，即78．125 Hz(見圖10)，與滾動軸承外圈損傷特征頻率相符［13］。

圖10 頂輪測試信號的平移不變多小波相鄰系數降噪結果Fig．10 The denoising result for signals of the test rig using translation invariant multiwavelet denoising with improved neighboring coefficients

4．2 多小波滑動窗局部閾值降噪方法

滑動窗截斷技術如圖11所示，可見如果采用傳統(tǒng)的全局閾值處理，第二個和第四個微弱沖擊信號很容易被過扼殺，造成微弱故障信息的丟失。滑動窗截斷技術處理保證每個故障特征被獨立、完整地保留到相應子信號中，采用局部閾值設定，以高階統(tǒng)計量［14］作為優(yōu)化目標，對降噪結果進行盲解卷積處理［15］。

圖11 采用滑動窗截斷技術的數據分割Fig．11 The data partition using sliding window truncation

某煉鋼廠連鑄連軋機組的精軋機機架的主傳動系統(tǒng)為單級減速器，齒數比為Z22/Z65。對該精軋機機架進行監(jiān)測的過程中，發(fā)現其主傳動系統(tǒng)振動發(fā)生異常。在齒輪箱外部安裝速度傳感器，以采集其運行動態(tài)信號，其采樣頻率為5120 Hz，高速軸小齒輪的轉頻為4．54 Hz，低速軸大齒輪的轉頻為1．54 Hz。

采用多小波滑動窗局部閾值降噪方法提取信號特征。由于信號中除了間隔0．22 s的沖擊外，其他振動信號沒有明顯的奇異點，并且信號點間相關性較強，因此局部閾值處理方法采用的是相鄰系數局部降噪技術。選擇GHM多小波基函數，分解層數選為5層，重復采樣的前處理方式，滑動窗窗口寬度由小齒輪轉頻fr=4．54 Hz確定。多小波滑動窗相鄰系數降噪結果如圖12所示。圖12中交替出現了兩種強弱不等的周期沖擊I1和I2。在多小波滑動窗相鄰系數降噪后，采用基于峭度指標的最優(yōu)盲解卷積技術以充分突顯故障特征。滑動窗相鄰系數降噪信號的最優(yōu)盲解卷積分析結果如圖13所示，更加清晰地顯示出周期性交替出現兩類沖擊I1和I2，故可以確定該齒輪箱小齒輪存在兩處損傷程度不同的局部故障。并且，大沖擊I1反映嚴重損傷和小沖擊I2反映較嚴重損傷的兩處故障的時間間隔約為小齒輪旋轉周期的1/3，說明兩處局部故障相距約為小齒輪圓周的1/3，即相隔約8個齒［16］。

圖12 軋機振動信號的多小波滑動窗相鄰系數降噪結果Fig．12 The denoising result for signals of the rolling mills using multiwavelet sliding window

圖13 軋機振動信號多小波滑動窗相鄰系數降噪和最優(yōu)盲解卷積分析結果Fig．13 The denoising result for signals of rolling mills using multiwavelet sliding window and optimal blind deconvolution

停機檢修后發(fā)現，該齒輪箱的高速軸小齒輪存在兩處損傷，損傷照片見圖14，高速軸小齒輪存在兩處局部磨損和膠合故障，且兩處故障大概相距1/3個圓周，圖14(a)為在齒寬范圍內的局部故障，(b)為在整個齒寬范圍內的故障。小齒輪的故障位置和損傷狀況與以上分析結論十分吻合。

4．3 改進的相鄰系數降噪方法

圖14 精軋機齒輪箱損傷照片Fig．14 The defects on the pinion of the fine rolling mills

傳統(tǒng)多小波相鄰系數降噪方法采用的是固定的鄰域范圍，即對于不同小波分解尺度，其鄰域范圍是固定不變的，這與多小波分解的特點不能準確吻合，影響了多小波相鄰系數的降噪效果。為此，提出一種改進的相鄰系數降噪方法［17］，在考慮相鄰的多小波系數相關性的基礎上，根據多小波分解的特點，構造了隨分解層變化的鄰域格式，對多小波分解的細節(jié)信號進行閾值處理，并進行重構以提純故障信號。

行星齒輪箱結構尺寸小、輸出扭矩大、傳動比大、效率高、性能安全可靠，作為核心零部件廣泛應用于風力發(fā)電、重載起重機、直升機和航天測量船等國民經濟重要行業(yè)的關鍵設備中。針對船載衛(wèi)星通信地球站機械傳動機構，測試圖15所示的行星齒輪箱(減速器)振動信號，采樣頻率為12．8 kHz，驅動電機為永磁同步交流電機，轉速為255 r/min。

行星減速器第一級傳動的嚙合頻率可由以下公式計算得到:

式(14)中，f嚙合為行星減速器第一級傳動的嚙合頻率;N輸入為太陽輪輸入軸轉速;N輸出為行星輪系桿輸出軸轉速;Z中心輪為中心輪齒數。根據結構參數，可以計算出行星減速器第一級傳動的嚙合頻率為太陽輪輸入軸轉頻的10．5倍。

圖15 行星減速器第一級傳動機構Fig．15 The first transmission device of the planetary gearbox

圖16 行星減速器齒面損傷振動信號Fig．16 The collected signals of the planetary gearbox with defects

圖16(a)和(b)分別是采集到的振動信號時域波形及其頻譜，圖16(c)是多小波改進相鄰系數的降噪結果，太陽輪旋轉一個周期，交替出現三組類似沖擊波形A、B和C，表明太陽輪輪齒存在損傷。每組均包含兩個鄰近的沖擊波形，其平均間距約為0．023 s，即43 Hz，約為第一級行星傳動太陽輪轉頻(4．25 Hz)的10．5倍，和行星減速器第一級行星傳動的嚙合頻率接近，表明太陽輪上兩個鄰近的輪齒出現損傷而引發(fā)沖擊波形。經開箱驗證，情況屬實，見圖17。

圖17 行星減速器太陽輪齒損傷Fig．17 The defect in the sun gear of the planetary gearbox

5 結語

深入研究機械故障動態(tài)信號處理的基函數選擇與內積變換原理，集中分析小波變換和多小波變換的內積變換表述，揭示它們的內積變換共性和物理本質，指出構造與故障特征相匹配的基函數是機械故障成功診斷的關鍵。

基于兩尺度相似變換、頻域提升變換、對稱提升變換和時域提升變換自適應構造多小波基函數，可準確提取運行狀態(tài)下微弱動態(tài)信號的特征，成功診斷出重油催化裂化裝置、連鑄連軋機組、空分機等裝備的碰摩、保持架脫焊、撞擊和摩擦等多類故障。

所研究的平移不變多小波相鄰系數降噪、滑動窗局部閾值降噪和多小波改進相鄰系數降噪等方法，準確提取出電力機車、連鑄連軋機組和船載衛(wèi)通站傳動系統(tǒng)在運行狀態(tài)下，滾動軸承外圈輕微剝落、齒輪局部磨損和膠合、行星減速器齒輪早期損傷等多種故障，實現了微弱動態(tài)信號特征增強和復合故障特征提取。

致謝:感謝袁靜、王曉冬、李臻、陳雪峰、張周鎖、李兵和曹宏瑞等為本文做出的貢獻。

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