孫 露，項明寅

（黃山學院 數(shù)學系，安徽 黃山 245041）

數(shù)學文化融于微積分教學的實踐與思考

孫 露，項明寅

（黃山學院 數(shù)學系，安徽 黃山 245041）

數(shù)學文化是大學生文化素養(yǎng)的重要組成部分，如何在大學數(shù)學教學中融入數(shù)學文化尤為重要。微積分作為變量數(shù)學中的重要內容，討論其中蘊含哪些數(shù)學文化以及怎樣在其教學中滲透數(shù)學文化，不僅能幫助學生很好的領悟微積分的基本概念和思想方法，而且有助于培養(yǎng)學生科學、理性的思維方式和交流表達能力，提高整體文化素養(yǎng)。

數(shù)學文化；微積分；數(shù)學素養(yǎng)

1引 言

傳統(tǒng)的《高等數(shù)學》教學重視的是數(shù)學嚴密的邏輯性、系統(tǒng)性，注重定理的證明、公式的推導和解題的演練，給不少大學生造成了數(shù)學課枯燥、抽象、缺乏應用的印象，致使不少學生失去了學習數(shù)學的興趣和積極性,因而在課堂上常出現(xiàn)教師滔滔不絕，學生漠然視之的現(xiàn)象。如何才能最大限度調動學生學習數(shù)學積極性，激發(fā)學生的學習興趣，從而達到最佳教學效果呢？筆者通過幾年“微積分”課程的教學實踐，深切體會到適時恰當?shù)娜谌霐?shù)學文化元素，既能激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性又可以使學生受益終身。

2 數(shù)學文化融入高等數(shù)學教學的必要性

日本學者米山國藏曾說過，“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！盵1]由此我們需要“從文化的角度理解數(shù)學”，高等數(shù)學作為一門重要的公共基礎課，絕不該只是由一大堆的符號、概念、定理、公式和做不完的題目堆砌而成，而應是傳播和普及數(shù)學文化的重要橋梁，擔負著幫助學生獲得所學專業(yè)及進一步發(fā)展所需的數(shù)學知識、思想方法及其應用技能的功能，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

3 數(shù)學文化融于微積分教學的探索

3.1 揭示數(shù)學語言的文化背景，加深對數(shù)學的理解

數(shù)學是一種簡約、抽象的科學語言，它作為數(shù)學思維的載體是進行有效數(shù)學交流的前提。在微積分教學中，我們幾乎無時無刻不與數(shù)學語言打交道，但若是在知識的傳授和應用中忽視數(shù)學語言的產生背景和其內涵的討論，面對抽象的數(shù)學語言一些學生只能是“死記硬背”，甚至對其產生一定的誤解，并感受到數(shù)學的枯燥和抽象。

例如，作為微積分的重要組成部分，積分運算是學生重點練習的對象，但不少同學對積分符號“∫”的了解卻少之甚少。這雖對演練習題沒有什么影響，但不利于學生理解和掌握積分思想。因而教師可以在不定積分教學中先對符號的背景做一簡單介紹，即由德國數(shù)學家萊布尼茲引入，是求和一詞“Sum”的字頭S的拉長。并拋出疑問“為什么是求和一詞的字頭S拉長”為后面的定積分學習打下伏筆。事實上，萊布尼茲正是從求曲線所圍面積的積分概念引入此符號，由此可以指出歷史上首先出現(xiàn)的是定積分，而這種歷史與邏輯間的差異使得學生能夠對所學內容有更深的認識，從而激發(fā)學習的熱情和興趣。

3.2 展現(xiàn)知識的形成過程，把握數(shù)學的思想方法

數(shù)學知識的產生離不開人類的實踐活動和對已知概念、對象的再認識，而數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學精神等一些數(shù)學文化的精髓都依附在知識發(fā)生發(fā)展的過程中。因此教學的重要任務之一，就是要將結論的發(fā)生過程“返璞歸真”的交給學生，讓學生親自參與“知識再發(fā)現(xiàn)”的過程，從中汲取更多的思想營養(yǎng)。

例如，“極限”是微積分中一個最重要且最難懂的概念，如何讓學生對“無限趨近……”的概念有更好的理解？教師可以在引入極限概念之前，引用莊子《天下篇》中的“一尺之椎，日取其半，萬世不竭”和劉徽利用圓內正多邊形來推算圓面積的方法——“割圓術”作為引例，引導學生在“取”與“割”的過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)量的無限變化過程與發(fā)展趨勢，充分體會到極限思想方法的精髓。又如，擺線又稱旋輪線是數(shù)學中眾多迷人的曲線之一，不少學生由于不了解它的形成過程而混淆參數(shù)方程中t,x,y的含義給解題帶來了困難。因此，教師需要借助多媒體演示的方式向學生展示擺線的形成過程，即動圓在基線上滾動時動圓上一點所形成的軌跡，并引導學生借助圓形硬紙片自己繪制擺線，在動手操作中探尋 “滾動角t”與“定點位置(x,y)”之間的對應關系，在欣賞數(shù)學美的同時形成并掌握對應的數(shù)學思想方法。

3.3 挖掘生活中的教學素材，體會數(shù)學的應用之美

數(shù)學的文化意義不僅在于知識本身和它的內涵，更由于它的應用價值，從這個角度講，數(shù)學應用教學是數(shù)學科學與數(shù)學文化的最佳契合點。因此，教師應將學生的生活與數(shù)學學習結合起來，讓學生熟知、親近的生活進入數(shù)學課堂，在解決實際問題過程中培養(yǎng)學生的應用能力。

例如舉世聞名的趙州橋，這座跨度達37m的大石拱橋，系用一條條長方形條石砌成，可為什么我們看到卻是一整條弧形曲線的拱橋呢？其實這就是微積分中“以直代曲”基本思想的生動原型。[2]又如導數(shù)概念產生于非常樸實具體的實際問題，同樣它在生活中的應用也極為廣泛。因此在導數(shù)應用教學中，教師可以讓學生思考為什么可口可樂等飲料罐是如此的形狀？熟悉的生活情境將抽象的極值問題“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形容器，問應當如何設計，才能使用料最省？”變得生動有趣，這不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣，也培養(yǎng)他們在解決問題過程中學會用數(shù)學的觀點解釋生活中的現(xiàn)象，體會數(shù)學的應用之美。

3.4 融入豐富的數(shù)學史料，感受數(shù)學的理性精神

克萊因指出，“數(shù)學是一種理性的精神，正是這種精神，鼓舞、激發(fā)和驅使人類的思維達到最完善的程度?！盵3]微積分的萌芽、產生和發(fā)展，經歷了一個漫長的時期，而這期間常常伴隨著困難和克服困難的勇氣，無數(shù)數(shù)學家們用自己的故事書寫著數(shù)學艱辛的發(fā)展歷程。例如，牛頓的老師——巴羅在對無窮小分析中已察覺到切線問題與求積問題的互逆關系，但執(zhí)著于幾何思維妨礙他進一步逼近微積分的基本定理。雖然牛頓，萊布尼茲創(chuàng)立微積分是一項劃時代的科學成就，但其中也存在邏輯上的問題，如對無窮小概念理解的模糊性，則引起了貝克萊主教對其近百年的責難。適時的向學生介紹數(shù)學家生平等數(shù)學史料，能讓學生感受到數(shù)學家們平凡而偉大的人格魅力，從中體會到他們從事數(shù)學研究的苦樂與甘辛，以及對數(shù)學執(zhí)著的追求精神，并從中獲得鼓舞和激勵，在學習中正確對待自己遇到的各種困難，培養(yǎng)勇于進取、堅忍不拔的拼搏精神。

3.5 捕捉內容中的數(shù)學美，激發(fā)學生的學習興趣

我國數(shù)學家徐利治先生認為：“數(shù)學教育與教學目的之一，應當讓學生獲得對數(shù)學的審美能力，從而既有利于激發(fā)他們對數(shù)學的愛好，也有助于增長他們的創(chuàng)造發(fā)明能力?！盵4]因而，在教學中，教師要向學生展示微積分的美，引導學生隨時隨刻的發(fā)現(xiàn)和捕捉數(shù)學美，在潛移默化中受到美的熏陶，激發(fā)學生的學習興趣。

例如，在進行無窮小量概念的教學中，引用李白的詩句“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”來理解極限的動態(tài)過程，使得抽象的數(shù)學概念自然的融合在優(yōu)美的詩意之中。又如，牛頓——萊布尼茲公式它就如“一橋飛架南北，天塹變通途”的橋梁巧妙的將對立的微分和積分統(tǒng)一起來，讓人只能用“妙”字來描繪心中的感受。[5]再如，在分部積分公式的應用中，積分在兩次應用公式后，競出現(xiàn)循環(huán)，如此奇異的美麗讓學生在解題過程中體會到柳暗花明又一村的快樂感覺。

4 小 結

數(shù)學不僅是一門科學，也是一門文化；數(shù)學不僅是一些知識，也是一種素質。當數(shù)學文化的魅力真正滲入到課堂，融入到教學之中時，數(shù)學的文化教育功能才會得以真正的體現(xiàn)。正如張奠宙先生所強調，“數(shù)學文化必須走進課堂，在實際數(shù)學教學中使得學生在學習數(shù)學中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數(shù)學的文化品位和世俗的人情味”。[6]因而，教師要主動挖掘微積分中所蘊含的數(shù)學文化元素，并巧妙選擇切入點，主動、自然的寓數(shù)學文化于課堂教學之中，發(fā)揮數(shù)學文化的內在魅力，使學生在學習、掌握知識的同時，汲取數(shù)學精神、理解數(shù)學思維，了解數(shù)學思想，掌握數(shù)學方法以此提高數(shù)學文化素養(yǎng)。

[1]米山國藏．數(shù)學的精神、思想和方法[M]．成都：四川教育出版社，1986:11．

[2]朱家生．數(shù)學史[M]．北京：高等教育出版社，2004:9．

[3]M·克萊因．數(shù)學與文化[M]．北京：北京大學出版社，1990:1．

[4]徐利治．科學文化人與審美意識[J]．數(shù)學教育學報．1997，(2)：1-6．

[5]張奠宙．微積分教學：從冰冷的美麗到火熱的思考（續(xù)）[J]．高等數(shù)學研究,2006，（3）：2-10．

[6]張奠宙，梁紹君,金家梁．數(shù)學文化的一些新視角[J]．數(shù)學教育學報,2003，(12)：37-40．

Practice and Thought of Integrating Mathematical Culture into the Teaching of Calculus

Sun Lu，Xiang Mingyin
(Department of Mathematics,Huangshan College,Huangshan 245041,China)

Mathematical culture is an important part of cultural literacy of college students.Therefore,it is critically significant to integrate mathematical culture into mathematics teaching in university.Calculus is the most important content of the whole variable mathematics.This paper deals with mathematical culture contained in calculus,and ways to penetrate mathematical culture in calculus teaching of higher education,which not only enables the students to learn the basic conceptions and ideas of calculus,but also help them develop scientific and rational thinking modes and the ability of communication,and overall cultural literacy.

mathematical culture;calculus;mathematical quality

G642

A

1672-447X（2011）03-0095-003

2010-09-06

安徽省教育廳教學研究項目（20100994）

孫露（1982-），安徽歙縣人，黃山學院數(shù)學系助教，研究方向為數(shù)學課程與教學。

胡德明