石凱凱，蔡力勛，黃學(xué)偉，姚 迪

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引 言

疲勞壽命一直是疲勞研究的核心問(wèn)題之一。20世紀(jì)60年代斷裂力學(xué)進(jìn)入工程領(lǐng)域以來(lái)，疲勞裂紋擴(kuò)展規(guī)律的描述公式以Paris模型為代表

式中：a——裂紋長(zhǎng)度；

N——循環(huán)次數(shù)；

ΔK——應(yīng)力強(qiáng)度因子幅；

C，m——材料常數(shù)。

試驗(yàn)研究和數(shù)值模擬是目前研究材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率的主要途徑。試驗(yàn)方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究了不同載荷比R、卸載和過(guò)載等對(duì)材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率的影響[1-3]。數(shù)值模擬方面，其研究主要表現(xiàn)為：用材料的疲勞裂紋擴(kuò)展速率規(guī)律預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的疲勞裂紋擴(kuò)展[4-6]；基于多軸本構(gòu)關(guān)系、臨界損傷，預(yù)測(cè)了材料的疲勞裂紋擴(kuò)展速率[7]。因數(shù)值模擬中采用多軸本構(gòu)模型，故在模擬計(jì)算時(shí)有較多人為可調(diào)參數(shù)，所以對(duì)該方法的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度和可靠性還需要進(jìn)一步研究。該文應(yīng)用材料低周疲勞（low cycle fatigue，LCF）試驗(yàn)獲得的Manson-Coffin律，通過(guò)有限元分析方法（finite element analysis，F(xiàn)EA）實(shí)現(xiàn)了材料疲勞裂紋擴(kuò)展（fatigue crack growth，F(xiàn)CG）性能的數(shù)值模擬，該模擬方法稱為L(zhǎng)FF（LCF-low cycle fatigue+FCP-fatigue crack propagation+FEA-finite element analysis）方法。

該文結(jié)合Cr2Ni2MoV轉(zhuǎn)子材料、TA12合金和TC4合金材料的單軸低周疲勞性能數(shù)據(jù)，通過(guò)LFF法和CT試樣對(duì)材料疲勞裂紋擴(kuò)展行為進(jìn)行分析，將模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[8]中的疲勞裂紋擴(kuò)展數(shù)據(jù)比對(duì)，說(shuō)明LFF法的可行性；之后通過(guò)數(shù)值模擬給出了N18合金材料不同溫度下I型裂紋的疲勞擴(kuò)展行為。

1 LFF方法

1.1 LFF方法的機(jī)理

描述材料疲勞裂紋擴(kuò)展速率的Paris公式與低周疲勞Manson-Coffin（M-C）律表征的都是材料塑性疲勞的固有特性，且二者都是基于比例加載獲得；同時(shí)在裂紋擴(kuò)展過(guò)程中，裂紋尖端區(qū)附近處于小范圍屈服，因此疲勞裂紋的擴(kuò)展可以認(rèn)為是材料局部的塑性疲勞造成的，即基于材料低周疲勞試驗(yàn)獲得M-C律與疲勞裂紋擴(kuò)展試驗(yàn)獲得的Paris律應(yīng)有互通性。鑒于此，文獻(xiàn)[10]提出了LFF方法。

LFF法思路：（1）通過(guò)材料低周疲勞試驗(yàn)獲得相應(yīng)材料的低周疲勞臨界損傷關(guān)系，利用有限元方法得到裂尖塑性區(qū)的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)；（2）基于疲勞裂紋擴(kuò)展模型預(yù)測(cè)下一次裂紋的擴(kuò)展方向、擴(kuò)展尺寸以及相應(yīng)的循環(huán)次數(shù)，完成一次疲勞裂紋擴(kuò)展；（3）根據(jù)新裂紋的擴(kuò)展方向以及尺寸，生成新的有限元網(wǎng)格模型進(jìn)行下次的疲勞裂紋擴(kuò)展，依此連續(xù)循環(huán)，最終獲得表征裂紋擴(kuò)展速率規(guī)律的a-N、da/dN-ΔK曲線。

1.2 基于平均損傷假設(shè)的Manson-Coffin損傷律

根據(jù)Miner線性損傷累計(jì)理論，每循環(huán)1周的損傷為D=1/Nf，臨界損傷D0＝1，即當(dāng)裂尖累計(jì)損傷達(dá)到臨界損傷D0時(shí)，判定裂尖失效。由斷裂力學(xué)知道，疲勞裂尖存在應(yīng)力奇異性，單純根據(jù)裂尖的損傷來(lái)判定尖端失效是不合理的[10]。

因此，基于有限元計(jì)算分析，得到每個(gè)加載循環(huán)下裂尖塑性區(qū)裂紋擴(kuò)展方向上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的Δε1/2和σ1m，然后結(jié)合考慮了平均應(yīng)力σm和損傷D的M-C律（式（2）），得到每個(gè)加載循環(huán)下裂尖塑性區(qū)裂紋擴(kuò)展方向上的損傷分布，這便是LFF方法的理論依據(jù)。

圖1給出了TA12合金CT試樣在初始裂紋a0=12 mm、載荷P=6kN下的裂尖塑性擴(kuò)展方向上的損傷分布，其中橫坐標(biāo)r表示到裂紋尖端的距離。由圖1可以看出，距離裂尖越近，損傷越大。

圖1 裂尖塑性區(qū)裂紋擴(kuò)展方向上的損失分布

式中：A——塑性損傷區(qū)的面積?

定義平均損傷為；rp（a）——裂紋長(zhǎng)度為a時(shí)裂紋擴(kuò)展方向上塑性區(qū)的尺寸。

結(jié)合Miner線性損傷累計(jì)理論，裂紋長(zhǎng)度從a擴(kuò)展到a+rp（a）需要的循環(huán)次數(shù)N為

通過(guò)有限元數(shù)值模擬和分析，獲得CT試樣ai+1-Ni+1數(shù)據(jù)組，獲得a-N曲線；通過(guò)割線法數(shù)據(jù)處理后，即可得到a-da/dN曲線；然后計(jì)算得到每個(gè)裂紋長(zhǎng)度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅ΔK，進(jìn)而建立用來(lái)描述材料穩(wěn)定階段裂紋擴(kuò)展速率的Paris式（1）。

斷裂力學(xué)中，I型裂紋是最主要、最危險(xiǎn)的裂紋存在形式，且I型疲勞裂紋擴(kuò)展方向沿裂尖最大主應(yīng)變垂直方向擴(kuò)展。

2 CT有限元模型

采用ANSYS11.0版本有限元軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。由8節(jié)點(diǎn)PLANE82號(hào)單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分的平面有限元模型如圖2所示，網(wǎng)格模型共生成了約25 000個(gè)單元。由于該文重點(diǎn)關(guān)注含I型裂紋CT試樣的疲勞擴(kuò)展行為，考慮到試樣具有對(duì)稱性，故只需對(duì)CT試樣的一半建立數(shù)值網(wǎng)格模型。如圖2所示，CT試樣的上圓孔頂部施加X(jué)方向的位移約束，載荷P在垂向上加到上半弧各個(gè)節(jié)點(diǎn)上。圖3給出了模型裂尖處的單元細(xì)化情況。

3 LFF法預(yù)測(cè)Paris律的有效性

3.1 氣輪機(jī)轉(zhuǎn)子材料Cr2Ni2MoV鋼（常溫）

圖2 CT試樣分網(wǎng)情況

圖3 裂紋尖端分網(wǎng)情況

通過(guò)MTS試驗(yàn)機(jī)，獲得轉(zhuǎn)子材料（常溫）的單軸拉伸力學(xué)行能：E=215 000 MPa、Rp0.2=860 MPa、Rm=978MPa。

按照GB/T 15248-2008《金屬材料軸向等幅低循環(huán)疲勞試驗(yàn)方法》，獲得汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子材料Cr2Ni2MoV鋼室溫下的低周疲勞ε-N曲線，如圖4所示。圖中，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，應(yīng)變幅Δε與倍壽命2Nf之間滿足線性關(guān)系。根據(jù)GB/T 15248-2008分別對(duì)lgεe-lg2Nf曲線和lgεp-lg2Nf曲線進(jìn)行冪率擬合，得到Manson-Coffin 模型的疲勞參數(shù)：σ′f=903，b=-0.0404，ε′f=1.101，c=-0.6787。其中 b，σ′f，c 和ε′f分別表示材料的疲勞強(qiáng)度指數(shù)、疲勞強(qiáng)度系數(shù)、疲勞塑性指數(shù)和疲勞塑性系數(shù)。試驗(yàn)獲得的Manson-Coffin模型的疲勞參數(shù)是LFF法模擬計(jì)算的必要數(shù)據(jù)。

圖4 Cr2Ni2MoV鋼室溫低周疲勞ε-N曲線

根據(jù)文獻(xiàn)[11]提供的標(biāo)準(zhǔn)CT試樣構(gòu)形，采用R=0.1，對(duì)轉(zhuǎn)子材料Cr2Ni2MoV（CNMV）鋼分別建立CT試樣有限元模型。

圖5為試驗(yàn)結(jié)果與LFF法模擬結(jié)果在常溫下轉(zhuǎn)子材料的疲勞裂紋擴(kuò)展行為即Paris公式的比較圖。為了更直觀地描述數(shù)值模擬的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，圖6給出了疲勞裂紋擴(kuò)展過(guò)程中有限元方法對(duì)循環(huán)次數(shù)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，圖6中的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都是基于相同的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度得到的。由圖6可以看出，數(shù)值模擬的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度基本在1.2倍安全線內(nèi)。由此可見(jiàn)，LFF方法對(duì)于汽輪機(jī)轉(zhuǎn)子材料的裂紋擴(kuò)展的預(yù)測(cè)有合理準(zhǔn)確度。通過(guò)數(shù)據(jù)處理，得到Paris公式的模擬參數(shù)為 C=3.77×10-8，m=2.32。

圖5 Paris律的試驗(yàn)與LFF方法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

圖6 數(shù)值模擬循環(huán)次數(shù)的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度

3.2 TA12和TC4合金的疲勞裂紋擴(kuò)展行為模擬有限元結(jié)果討論

文獻(xiàn)[8]提供了TA12合金和TC14合金材料常溫下的屈服強(qiáng)度σp0.2（RP0.2）和抗拉強(qiáng)度σb（Rm），見(jiàn)表1。

表1 TA12和TC4合金材料單拉力學(xué)性能參量

TA12與TC4合金常溫低周疲勞實(shí)驗(yàn)結(jié)果可根據(jù)文獻(xiàn)[8]查詢。表2給出了根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸得到的M-C參數(shù)。

表2 TA12和TC4合金低周疲勞性能

圖7給出了TA12與TC4合金的低周疲勞倍壽命2Nf與應(yīng)變幅Δε/2的關(guān)系曲線。由圖可見(jiàn)，在高應(yīng)變水平下，TA12與TC4鈦合金的低周疲勞損傷程度有較大差別；同時(shí)文獻(xiàn)[8]還提供了2種合金材料的疲勞裂紋擴(kuò)展的Paris律也存在較大差異，由此可推論出高應(yīng)變水平的低周疲勞損傷差異會(huì)對(duì)Paris律有一定影響。該文基于LFF方法來(lái)實(shí)現(xiàn)2種材料Paris律預(yù)測(cè)，并將數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[8]提供的Paris律進(jìn)行比對(duì)，以驗(yàn)證LFF方法預(yù)測(cè)Paris律的有效性。

圖7 TA12、TC4低周疲勞性能曲線

通過(guò)查閱文獻(xiàn)[8]和LFF數(shù)值模擬獲得TA12和TC4合金材料疲勞裂紋擴(kuò)展Paris相應(yīng)參數(shù)，見(jiàn)表3。通過(guò)LFF法對(duì)TA12、TC4合金進(jìn)行數(shù)值模擬，其模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果分別見(jiàn)圖8、圖9。從表3和圖8、圖9可以看出，LFF法在模擬材料疲勞裂紋擴(kuò)展Paris律時(shí)，其模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合性好，因此LFF方法在數(shù)值模擬材料疲勞裂紋擴(kuò)展方面是有效的。

圖8 da/dN-ΔK曲線的有限元結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比

圖9 da/dN-ΔK曲線的有限元結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比

表3 TA12和TC4合金材料試驗(yàn)Paris公式參數(shù)

4 LFF方法的應(yīng)用實(shí)例

4.1 轉(zhuǎn)子材料不同溫度下的疲勞裂紋擴(kuò)展行為

對(duì)轉(zhuǎn)子材料疲勞行為研究除了常溫之外，還應(yīng)考慮轉(zhuǎn)子高溫情況下材料的疲勞裂紋擴(kuò)展行為。圖10給出了轉(zhuǎn)子材料常溫（20℃）與高溫（300℃）下的本構(gòu)關(guān)系。從圖10可以看出轉(zhuǎn)子材料在高溫300℃下材料的屈服應(yīng)力Rp0.2以及抗拉強(qiáng)度Rm都有不同程度的下降。

圖10 Cr2Ni2MoV鋼單軸拉伸曲線與R-O模型

圖11 轉(zhuǎn)子材料常溫與高溫疲勞行為

圖11給出了轉(zhuǎn)子材料常溫與高溫情況下材料的疲勞擴(kuò)展行為?？梢钥闯觯瑴囟鹊纳邥?huì)加快轉(zhuǎn)子材料的裂紋擴(kuò)展。轉(zhuǎn)子材料Cr2Ni2MoV鋼在300℃下的 Paris律的參數(shù)：C=5.24E-08，m=2.573。

4.2 Zr-Sn-Nb合金不同溫度下的疲勞裂紋擴(kuò)展行為

Zr-Sn-Nb合金（N18鋯合金，用于核反應(yīng)堆燃料包殼材料）材料在不同溫度下的疲勞行為有重要工程意義。限于試驗(yàn)條件，高溫下N18材料的裂紋擴(kuò)展行為的試驗(yàn)成果在國(guó)內(nèi)尚無(wú)報(bào)道。該文通過(guò)LFF方法完成了轉(zhuǎn)子材料、N18合金的疲勞裂紋擴(kuò)展模擬，給出了Paris律，供工程參考。

圖12給出了LFF方法對(duì)N18合金在不同溫度下的疲勞裂紋擴(kuò)展速率與應(yīng)力強(qiáng)度因子幅度的模擬關(guān)系。從圖12可以看出，N18合金在不同溫度下材料的疲勞裂紋擴(kuò)展行為存在差異，在20℃和200℃下疲勞裂紋擴(kuò)展速率比較接近（溫度200℃時(shí)的循環(huán)變形特性與室溫相同[12]），但在400℃（鋯合金包殼在水冷動(dòng)力堆中的工作溫度）、450℃和500℃的高溫情況下疲勞裂紋的擴(kuò)展速率卻表現(xiàn)出明顯差異，溫度越高擴(kuò)展速率提高越顯著。表4給出了5種溫度工況下N18的Paris公式的參數(shù)。

圖12 N18不同溫度下疲勞裂紋Paris律

表4 5種溫度下N18鋯合金Paris模型參數(shù)

5 結(jié)束語(yǔ)

LFF方法對(duì)TA12鈦合金、TC4鈦合金和轉(zhuǎn)子材料Cr2Ni2MoV鋼的Paris律有良好的模擬準(zhǔn)確度，證明了LFF方法的有效性。

應(yīng)用LFF方法模擬了Cr2Ni2MoV鋼和N18鋯合金在高溫下的I型裂紋Paris模型參數(shù)，可以看出溫度對(duì)2種材料的疲勞裂紋擴(kuò)展速率有一定影響，且隨著溫度的升高，其材料的疲勞裂紋擴(kuò)展速率增大。

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