彭立軍，何靈敏，楊小兵

（中國計量學(xué)院 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310018）

聚類分析是一種數(shù)據(jù)劃分的方法，是一種重要的非監(jiān)督分類方法.由于非監(jiān)督的分類方法不具有分類的確定性，隨著模糊理論的提出，C均值（C－means）模糊聚類算法成為一種分類效果很好的分類方法.本文通過對圖像像素點灰度的模糊隸屬度函數(shù)的分析，將像素空間映射到其灰度直方圖空間，減少了傳統(tǒng)FCM在迭代過程中的計算量，提高了算法的收斂速度.在小波變換的多尺度的分析中，小尺度下，圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息豐富，但是容易受到噪聲的干擾；大尺度下，圖像的邊緣信息穩(wěn)定，但是邊緣信息精度差.所以可以利用小波變換在多尺度上進行模糊聚類，對圖像進行分割，以提高分割結(jié)果的準(zhǔn)確性和抗噪性.

1 模糊聚類與小波變換

1.1 灰度值模糊聚類

式（1）中，b＞1是可以控制的聚類模糊程度的常數(shù)，在不同的隸屬度定義下最小化式的損失函數(shù)，就得到不同的模糊聚類的方法［1］.FCM模糊聚類要求樣本對于各個聚類的隸屬度和為1，即

通常在式子（1）下求（2）式的極小值，Jf對mj和μj（xi）的求偏導(dǎo)數(shù)，令其偏導(dǎo)數(shù)為0，可得

i＝1，2，…，c，j＝1，2，…，c，然后用迭代方法求解（1）式和（2）式即得模糊C均值算法.

通常模糊聚類在分類的過程中通過迭代優(yōu)化，反復(fù)計算mj，uj直到算法收斂.下文通過將圖像從像素空間映射到其灰度直方圖特征空間提高算法的收斂速度.

設(shè)圖像大小為M×N，f（m，n）值是圖像在像素點（m，n）的灰度值，f（m，n）∈｛0，1，2，…，｝，L是圖像的灰度級值，圖像的一維灰度值統(tǒng)計函數(shù)是 H（l），定義為

通過上述對圖像處理，可以減少傳統(tǒng)FCM聚類計算量，提高圖像分類分割的速度，但是這種方法依然不能減少噪聲在聚類過程中的影響［2］.

1.2 多尺度小波變換

噪聲圖像在經(jīng)過小波變化后在多尺度的空間中信號和噪聲的模極大值傳播行為有很大的不同，這就是小波方法應(yīng)用于信號去噪的重要理論依據(jù)，可以利用多尺度重建算法恢復(fù)圖像，抑制噪聲對模糊聚類的影響.

若小波函數(shù)φ（x）是實函數(shù)且連續(xù)可微，并具n有階消失矩（n∈Z＋），f（x）∈L2（R），則函數(shù)f（x）在x0處具有Lipschitz指數(shù)α，當(dāng)且僅當(dāng)具有常數(shù)K，當(dāng)?x∈Bx0，其小波變換滿足｜W2jf（x）｜≤K2jα

設(shè)x0是函數(shù)f（x）局部突變點（奇異點），則在改點處f（x）的小波變換取模極大值.上述定理表明，若α＞0，隨著尺度的減小，小波變化后系數(shù)模的極大值也減?。沪粒?則隨著尺度的減小，小波變化后的系數(shù)模的極大值反而增大，它表明信號比不連續(xù)（且有界，α＝0）更加奇異，這就是噪聲對應(yīng)的情況.

Hj表示在H 的濾波器系數(shù)之間插入2j－1個0.S2j表示尺度s＝2j下的平滑圖像.小波變換可以將圖像分解為各個尺度上的子帶圖像.小波變化分析過程中，小尺度多用于邊緣精定位，大尺度用以提高抗噪性，在對圖形進行了灰度值得模糊聚類后再進行小波變換的多尺度檢測，因此將低頻系數(shù)進行放大，高頻系數(shù)進行縮小，以達到去除噪聲、增強圖像輪廓的目的，提高圖像分割的準(zhǔn)確性和抗噪性.

2 基于FWFCM的圖像分割算法

傳統(tǒng)的FCM算法在分割圖像中需要計算每個圖像灰度，然后根據(jù)聚類準(zhǔn)則進行模糊分割，對于諸如遙感圖像等彩色的信息量大的圖像，由于計算量巨大會影響到聚類的速度.在聚類過程中難免會受到圖像中噪聲點的影響使得圖像的分割產(chǎn)生過多的錯分點，圖像分割后的邊緣不夠清楚.提出了基于小波變換的快速模糊聚類（FWFCM，based on fast walvet fuzzy C－means method）分割的圖像的方法，利用圖像灰度直方圖，將圖像像素空間投影到灰度直方圖空間，可減少其在模糊聚類過程中的計算量，加快聚類收斂速度，并且利用小波的多分辨率特性，抑制噪聲點對聚類結(jié)果的影響，達到去除噪聲的目的.FWFCM圖像分割算法如下：

1）給定c，m，ε，v（0），初始迭代時b＝0，利用上述的基于像素灰度的FCM對圖像進行分割；

2）根據(jù)上式計算像素點的隸屬度uil和聚類中心vi；

3）進行迭代運算，若‖vb＋1－vb‖≤ε，則停止聚類，否則轉(zhuǎn)向步驟（2），b＝b＋1；

4）對步驟（3）聚類后的圖像進行小波變換，對聚類結(jié)果進行標(biāo)準(zhǔn)的線性插值擴展，用小波將圖像分解到最小尺度；

5）去模糊化，采用最大隸屬度函數(shù)法去模糊，用表示k個樣本的所屬類別，則有Ck＝arg｛max（μik）｝；

3 實驗結(jié)果與分析

為了驗證本文提出的FWFCM算法在分割圖像中分割速度快和抑制噪聲的特點，實驗編程用matlab 7.0實現(xiàn)，分別比較傳統(tǒng)的FCM方法，F(xiàn)WFCM方法在圖像分割中的結(jié)果.算法中設(shè)置m＝2，ε＝0.0001，實驗圖像選擇256×256圖像，共65536個像素點.

圖像1選擇含有5%高斯噪聲的圖像，分割類別為c＝3，圖2為傳統(tǒng)FCM方法的分割結(jié)果，圖3為本文FWFCM算法在大尺度下分割后的結(jié)果.

從圖中可以看出傳統(tǒng)的FCM在分割的圖像過程中不僅不能抑制噪聲，而且圖像明暗灰度分割界限不清楚；在大尺度下的FWFCM下雖然部分地抑制了噪聲，但是明暗灰度分割界限依然不清楚；在小尺度下的FWFCM分割下，圖像很好地抑制全圖的噪聲，具有良好的濾除噪聲的能力，并且圖像灰度的明暗程度明顯，對圖像具有正確的分割結(jié)果.

表1列出了傳統(tǒng)的FCM方法和本文提出的FWFCM方法圖像分割性能的比較.從表中可以看出，F(xiàn)WFCM算法不僅提高了傳統(tǒng)的FCM算法的分割速度，而且對噪聲點有很好的抑制，提高了圖像分割的精度.

表1 FCM算法和FWFCM分割性能的比較Table 1 FCM algorithm and FWFCM segmentation performance comparison

4 結(jié) 語

本文提出的基于小波變換的快速模糊聚類的分割圖像方法，在基于圖像灰度直方圖的聚類分析的基礎(chǔ)上，運用小波變換的多分辨率分析，有效地提高了圖像分割的速度，提高了分割方法對圖像噪聲的控制.通過實驗的分析，改進后的分割算法相當(dāng)有效，對圖像噪聲有較強的魯棒性，改進后的算法優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的FCM算法.

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