丁 陽 ，齊 麟，楊律磊，李忠獻(xiàn)

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津大學(xué)濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

設(shè)計(jì)單層網(wǎng)殼時(shí)須考慮結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷進(jìn)行荷載-位移全過程分析以計(jì)算結(jié)構(gòu)的極限承載力[1].目前計(jì)算初始幾何缺陷單層網(wǎng)殼極限承載力的方法有 2種[2]：①隨機(jī)缺陷模態(tài)法，利用正態(tài)隨機(jī)變量模擬節(jié)點(diǎn)安裝偏差，取一定樣本容量的缺陷模態(tài)進(jìn)行結(jié)構(gòu)荷載-位移全過程分析計(jì)算結(jié)構(gòu)極限承載力，取最小值作為設(shè)計(jì)極限承載力；②一致缺陷模態(tài)法，以最低階屈曲模態(tài)作為結(jié)構(gòu)最不利初始幾何缺陷形式．隨機(jī)缺陷模態(tài)法能真實(shí)反映結(jié)構(gòu)的工作性能，但計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定，依賴所選取的樣本；一致缺陷模態(tài)法只需進(jìn)行一次荷載-位移全過程分析，但該方法不適用于非線性效應(yīng)明顯的結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)椋呵B(tài)分析建立在線彈性假定的基礎(chǔ)上，最低階屈曲模態(tài)僅能反映加載最初階段結(jié)構(gòu)的變形趨勢(shì)，而隨著荷載的增加非線性結(jié)構(gòu)的變形趨勢(shì)不斷變化．有學(xué)者通過算例分析指出利用一致缺陷模態(tài)法不能得到網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的最小極限承載力[3]．目前對(duì)初始幾何缺陷單層網(wǎng)殼極限承載力的研究都沒有考慮桿件的失穩(wěn)效應(yīng)，認(rèn)為按照規(guī)范選取桿件截面時(shí)已考慮了桿件穩(wěn)定[2,4-5]．設(shè)計(jì)荷載作用下桿件不會(huì)失穩(wěn)，然而進(jìn)行荷載-位移全過程分析時(shí)結(jié)構(gòu)將承受高于設(shè)計(jì)荷載的作用，桿件可能失穩(wěn)．針對(duì)以上問題，本文建立了考慮失穩(wěn)效應(yīng)的桿件計(jì)算模型，提出了基于統(tǒng)一可靠度的設(shè)計(jì)極限承載力計(jì)算方法，并推導(dǎo)了其在一定置信水平下的誤差表達(dá)式．

1 考慮失穩(wěn)效應(yīng)的桿件計(jì)算模型

1.1 圓鋼管失穩(wěn)判別條件

單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)桿件主要為空間受力圓鋼管，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織根據(jù)大量試驗(yàn)總結(jié)出空間受力圓鋼管的失穩(wěn)判別條件[6]為

式中：cf F A= ，F(xiàn)和A分別為軸力與桿件橫截面積；eW為彈性抗彎截面模量，M1、M2分別為繞桿件截面 2個(gè)主軸的彎矩；

1L、2L為2個(gè)主軸平面內(nèi)桿件無支撐長度，1k、2k為2個(gè)主軸平面內(nèi)的計(jì)算長度系數(shù)，i為截面回轉(zhuǎn)半徑；cF、bF和ycF分別為軸壓力特征值、彎曲應(yīng)力特征值與局部失穩(wěn)應(yīng)力特征值，其表達(dá)式分別為

式中：sf為材料屈服強(qiáng)度；t、D分別為圓鋼管的壁厚與直徑；

1.2 桿件失穩(wěn)前的計(jì)算模型

失穩(wěn)前桿件采用 3節(jié)點(diǎn)塑性鉸單元模擬.將桿端位移增量分為彈性部分和塑性部分

桿件彈性部分采用 Euler-Bernoulli梁單元模擬.設(shè)桿件兩端編號(hào)為I、J，I端的平衡方程為

式中：iIF為 I端截面力分量；為單元彈性剛度矩陣中的元素；分別為 J端節(jié)點(diǎn)總位移分量與J端節(jié)點(diǎn)塑性位移分量.

塑性位移由塑性位移增量累加得到，J端節(jié)點(diǎn)塑性位移增量為

式中：ΔλJ為比例系數(shù)；SJ= FJ?αJ，αJ為J端截面背應(yīng)力向量；ΦJ為J端的屈服面函數(shù).

1.3 桿件失穩(wěn)后的力學(xué)性能和計(jì)算模型

如圖 1所示，桿件失穩(wěn)后力學(xué)性能的變化可通過 Chen等[7]對(duì)圓鋼管的軸向循環(huán)加載試驗(yàn)說明，桿件在 B點(diǎn)失穩(wěn)，失穩(wěn)后桿件承載力迅速下降而變形繼續(xù)增加，在桿件中部截面形成塑性鉸．從C點(diǎn)開始卸載，至D點(diǎn)卸載完畢并對(duì)桿件施加拉力，桿件中部截面在拉力與附加彎矩作用下再次產(chǎn)生塑性鉸．隨著拉力的增大，桿件在G-H階段被重新拉直．可見失穩(wěn)后桿件的力學(xué)性能有明顯變化．

圖1 軸向受力圓鋼管受力全過程Fig.1 Full-range behavior of steel tube subject to axial force

失穩(wěn)后桿件采用 Marshall模型[8]模擬．Marshall模型是對(duì)圖1所示曲線的數(shù)學(xué)描述，其實(shí)質(zhì)是如圖2所示的彈塑性桿件的滯回包絡(luò)線，桿件的變形只能發(fā)生在包絡(luò)線內(nèi)或包絡(luò)線上．當(dāng)桿件受拉產(chǎn)生塑性變形時(shí)，包絡(luò)線沿橫軸平移，平移距離與產(chǎn)生的塑性變形相同．圖2中系數(shù)ξ=0.02，κ=0.28，η = 0 .03+ 0 .004LmD，Lm為桿件長度.彈性極限荷載為

圖2 Marshall模型包絡(luò)線Fig.2 Marshall buckling envelope

采用由兩端鉸接圓鋼管循環(huán)加載試驗(yàn)總結(jié)出的Marshall模型模擬失穩(wěn)后桿件，桿件計(jì)算長度最長，相同受力條件下最容易失穩(wěn)，是對(duì)桿件穩(wěn)定承載力的保守估計(jì)，是偏安全的．

2 結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷分析方法

2.1 基本假定

節(jié)點(diǎn)安裝偏差是多種獨(dú)立影響因素的綜合作用，每個(gè)因素所起的作用都比較小，由概率理論可知節(jié)點(diǎn)安裝偏差服從正態(tài)分布[9]．假定節(jié)點(diǎn)安裝偏差的均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為允許安裝誤差的1/2[2]，允許安裝誤差為 L/300(L為跨度)[1]，因此節(jié)點(diǎn)安裝偏差服從N(0，(L/600)2)，取值范圍[－L/300，L/300]．假定各個(gè)節(jié)點(diǎn)安裝偏差相互獨(dú)立，則結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷為相互獨(dú)立的多維隨機(jī)變量．

2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

以跨度為15 m、矢跨比為1/2、長寬比為1.4的對(duì)邊支承三向網(wǎng)格單層柱面網(wǎng)殼為算例，結(jié)構(gòu)平面如圖 3所示．桿件采用 Φ114×3.0、Φ127×3.5和Φ140×4.5三種圓鋼管．

圖3 結(jié)構(gòu)平面Fig.3 Plane view of the structure

根據(jù)第2.1節(jié)的假定，生成200個(gè)多維隨機(jī)變量與理想結(jié)構(gòu)坐標(biāo)疊加，形成 200個(gè)初始幾何缺陷結(jié)構(gòu)．采用考慮失穩(wěn)效應(yīng)的桿件計(jì)算模型模擬桿件計(jì)算結(jié)構(gòu)的極限承載力．

2.3 結(jié)構(gòu)極限承載力的分布規(guī)律

200個(gè)初始幾何缺陷結(jié)構(gòu)的極限承載力均值為6.265,kN/m2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.422,kN/m2．首先進(jìn)行直方圖初步檢驗(yàn)．如圖 4所示，直方圖兩邊低，中間高，左右近似對(duì)稱，因此可假設(shè)結(jié)構(gòu)極限承載力服從正態(tài)分布．進(jìn)一步進(jìn)行非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，本文采用 K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)方法．

圖4 樣本數(shù)據(jù)Fig.4 Sample data

設(shè)樣本累積頻數(shù)分布函數(shù)為 gn(x)，gn(x)服從理論分布函數(shù) g ( x)，K-S檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

式中：ix為樣本中第i個(gè)數(shù)據(jù)；n為樣本數(shù)據(jù)總數(shù).

K-S檢驗(yàn)步驟為：①建立零假定0H，樣本累積頻數(shù)分布函數(shù) gn(x)服從理論分布函數(shù) g ( x)；②基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算 Tn值；③采用顯著性水平α作為檢驗(yàn)水準(zhǔn)；④基于理論分布函數(shù) g ( x)計(jì)算抽樣得到這樣大的 Tn值，以及更大 Tn值的概率p；⑤進(jìn)行判斷，如果p＜α，根據(jù)小概率反證法，認(rèn)為基于理論分布函數(shù) g ( x)在一次抽樣中不應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)檢驗(yàn)樣本這樣的結(jié)果，拒絕接受零假定 H0；反之，接受零假定 H0.

以 0.05為檢驗(yàn)水準(zhǔn)，對(duì)極限承載力分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)．Tn= 0 .051，p= 0 .679，p ＞ 0 .05，因此結(jié)構(gòu)極限承載力服從正態(tài)分布．

采用極大似然法以樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體的均值μ與方差σ2，結(jié)構(gòu)極限承載力的概率密度函數(shù)為

式中x為隨機(jī)變量，在此為極限承載力.

構(gòu)造似然函數(shù)

建立方程組

解方程組(13)得到μ、2σ估計(jì)量?μ、2?σ的表達(dá)式為

算例結(jié)構(gòu)極限承載力總體的均值μ與方差2σ的估計(jì)量分別為6.265與0.177.

2.4 基于統(tǒng)一可靠度的設(shè)計(jì)極限承載力

任意結(jié)構(gòu)極限承載力為 Pcr，令 b =(Pcr?μ ?)/ σ? ，則 Pcr為最小極限承載力的概率，即將 Pcr作為設(shè)計(jì)極限承載力的可靠度為

定義初始幾何缺陷結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)極限承載力crdP 為總體均值估計(jì)量減去2倍的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)量，即

由式(15)可算出crdP 的可靠度為0.977.

隨機(jī)缺陷模態(tài)法所取的設(shè)計(jì)極限承載力為 200個(gè)極限承載力中的最小值 5.012,kN/m2，可靠度為0.998．本文隨機(jī)生成另外 200個(gè)缺陷結(jié)構(gòu)，按隨機(jī)缺陷模態(tài)法得到的極限承載力為 5.410,kN/m2，對(duì)應(yīng)的可靠度為 0.979．隨機(jī)缺陷模態(tài)法確定的設(shè)計(jì)極限承載力依賴于節(jié)點(diǎn)安裝偏差樣本，采用不同樣本計(jì)算出的數(shù)值不同，對(duì)應(yīng)的可靠度也不同，無法得到穩(wěn)定的、可靠度統(tǒng)一的設(shè)計(jì)極限承載力．不考察可靠度僅取最小值的方法在工程設(shè)計(jì)中不經(jīng)濟(jì).

以前10階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷分布形式計(jì)算結(jié)構(gòu)極限承載力，節(jié)點(diǎn)最大安裝偏差仍取 L/300，計(jì)算出的極限承載力及相應(yīng)的可靠度如表1所示．

表1 以屈曲模態(tài)為缺陷形式算出的極限承載力與可靠度Tab.1 Ultimate bearing capacities and reliabilities of structures with geometrical imperfections of buckling models

由表1可看出，采用一致缺陷模態(tài)法不能計(jì)算出結(jié)構(gòu)最小極限承載力．采用1～10階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷分布形式算出的結(jié)構(gòu)極限承載力無規(guī)律可循，因此無法通過一次計(jì)算確定結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)極限承載力．這是由于采用了考慮失穩(wěn)效應(yīng)的桿件模型，桿件失穩(wěn)前后力學(xué)性能顯著變化，結(jié)構(gòu)的非線性效應(yīng)顯著，結(jié)構(gòu)變形趨勢(shì)與加載初期有很大不同，與一致缺陷模態(tài)法的理論基礎(chǔ)完全不同．

2.5 設(shè)計(jì)極限承載力的誤差

如果所取的結(jié)構(gòu)初始幾何缺陷模態(tài)無窮多，理論上可算出可靠度為 0.977的設(shè)計(jì)極限承載力的真實(shí)值craP ．實(shí)際計(jì)算所取的樣本容量是有限的，考慮計(jì)算成本，樣本容量也不可能非常大，因此需要確定以有限容量樣本算出的設(shè)計(jì)極限承載力與真實(shí)值之間的誤差是否滿足工程設(shè)計(jì)的要求．

已知結(jié)構(gòu)極限承載力服從 N (μ, σ2)，則樣本平均數(shù)則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (0,1)N ．假定結(jié)構(gòu)極限承載力的方差與方差估計(jì)量相同，當(dāng)置信水平為1α?時(shí)，可靠度為0.977的設(shè)計(jì)極限承載力的誤差為

式中10.5uα?為分位數(shù)，使的概率為1α?.

由式(17)可知，設(shè)計(jì)極限承載力的誤差與樣本容量算術(shù)平方根的倒數(shù)成正比．本文算例的設(shè)計(jì)極限承載力在0.95的置信水平下相對(duì)誤差僅為0.461%．

3 桿件失穩(wěn)對(duì)設(shè)計(jì)極限承載力的影響

由式(16)計(jì)算出算例結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)極限承載力為5.423,kN/m2，5.423,kN/m2作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖 5所示，虛線代表失穩(wěn)桿件．可見承載極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)部分桿件發(fā)生失穩(wěn)．

圖5 結(jié)構(gòu)變形示意(放大10倍)Fig.5 Deformation of the structure(magnified 10 diameters)

采用不考慮失穩(wěn)效應(yīng)的梁單元模擬結(jié)構(gòu)桿件，計(jì)算第 2.2節(jié)中200個(gè)初始幾何缺陷結(jié)構(gòu)的極限承載力．計(jì)算得到可靠度為 0.977的設(shè)計(jì)極限承載力為13.729,kN/m2，服從 N(14.695，0.233)，明顯大于考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)計(jì)算的數(shù)值．不考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)，則桿件承載力的降低完全由材料屈服引起，導(dǎo)致計(jì)算出的結(jié)構(gòu)極限承載力明顯大于實(shí)際情況．因此計(jì)算結(jié)構(gòu)極限承載力時(shí)應(yīng)考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)．

4 結(jié) 論

(1) 采用不同的計(jì)算模型模擬桿件失穩(wěn)前后的力學(xué)性能，建立了考慮失穩(wěn)效應(yīng)的桿件計(jì)算模型．

(2) 采用正態(tài)分布隨機(jī)變量描述單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷，考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)，計(jì)算初始幾何缺陷結(jié)構(gòu)的極限承載力．假設(shè)初始幾何缺陷單層網(wǎng)殼的極限承載力服從正態(tài)分布，通過非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，利用極大似然估計(jì)法推導(dǎo)了該正態(tài)分布的均值與方差估計(jì)量的表達(dá)式．

(3) 提出了基于統(tǒng)一可靠度的單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)極限承載力計(jì)算方法，并推導(dǎo)了其在一定置信水平下的誤差表達(dá)式．

(4) 承載極限狀態(tài)下單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)部分桿件發(fā)生失穩(wěn)，不考慮桿件失穩(wěn)效應(yīng)會(huì)高估結(jié)構(gòu)承載力．

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