陳永亮，劉 雙，王漢濤，張 健，顧佩華

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072 2. 汕頭大學(xué)工學(xué)院，汕頭 510063)

機(jī)械機(jī)構(gòu)的材料特性、結(jié)構(gòu)參數(shù)以及所受載荷等的不確定性將導(dǎo)致其性能產(chǎn)生波動(dòng)．為進(jìn)一步提高機(jī)械結(jié)構(gòu)的性能，需要引入穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法[1-3]，達(dá)到既提高產(chǎn)品質(zhì)量，又可降低成本的目的．

分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法[4-6]是一種分析研究系統(tǒng)穩(wěn)健性的方法，設(shè)計(jì)者可以根據(jù)產(chǎn)品的功能需求，建立不確定因素、設(shè)計(jì)參數(shù)以及結(jié)構(gòu)特性與產(chǎn)品功能特性之間的映射關(guān)系，對(duì)系統(tǒng)敏感性進(jìn)行分析，并且按照所提供的優(yōu)化模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而得到穩(wěn)健的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案．不僅如此，該理論能夠建立相應(yīng)的穩(wěn)健靈敏性矩陣，這就使系統(tǒng)敏感性問(wèn)題得以量化解決．

分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)需要有明確的公式來(lái)反映功能需求及性能約束與設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題可以直接得到解析公式，而復(fù)雜工程問(wèn)題難以直接建立公式，則須通過(guò)“采樣-試驗(yàn)-擬合”的方式來(lái)構(gòu)造代理模型(也稱(chēng)元模型，近似模型)．代理模型技術(shù)主要包含2方面的內(nèi)容：①構(gòu)造模型的樣本點(diǎn)如何選取，這與代理模型的取樣策略有關(guān)，屬于試驗(yàn)設(shè)計(jì)的范圍；②數(shù)據(jù)擬合與預(yù)測(cè)模型的建模，這是代理模型的主體，在數(shù)學(xué)上屬于近似方法的范圍．所有代理模型的建模都是圍繞這2方面內(nèi)容展開(kāi)的，如響應(yīng)曲面模型、徑向基函數(shù)、Kriging模型和非參數(shù)雙響應(yīng)曲面法[7]等．

Kriging模型是一種估計(jì)方差最小的無(wú)偏估計(jì)模型，它通過(guò)相關(guān)函數(shù)的作用，具有局部估計(jì)的特點(diǎn)，可對(duì)區(qū)域化變量求最優(yōu)、線性、無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)值，具有平滑效應(yīng)及估計(jì)方差最小的統(tǒng)計(jì)特征．由于Kriging建模技術(shù)可以提供最佳的無(wú)偏差預(yù)測(cè)法，所以它作為近似確定計(jì)算機(jī)模型越來(lái)越受到歡迎．同時(shí)，基于Matlab的Kriging工具箱——DACE[8]的開(kāi)發(fā)，為使用Kriging提供極大的方便．目前Kriging模型已經(jīng)成為多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化中比較有代表性的一種代理模型近似方法． Kriging方法已被廣泛用于許多近似模擬確定的計(jì)算機(jī)模型響應(yīng)．謝延敏[9]在其博士論文中將Kriging模型和灰色關(guān)聯(lián)分析應(yīng)用于板料成形工藝穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中；瓦西姆拉扎和光永金[10]用Kriging建模技術(shù)對(duì)線裝燃料組件進(jìn)行形狀優(yōu)化；黃風(fēng)立等[11]將關(guān)聯(lián)度和 Kriging代理模型應(yīng)用于注塑成型的穩(wěn)健設(shè)計(jì)中；高月華等[12]將雙重Kriging 代理模型和多點(diǎn)加點(diǎn)準(zhǔn)則結(jié)合進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)．

本文主要研究基于Kriging代理模型的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，采用 Kriging代理模型法，開(kāi)發(fā)基于DACE的符號(hào)計(jì)算功能，擬合動(dòng)靜剛度對(duì)各個(gè)設(shè)計(jì)變量的關(guān)系公式，建立方差穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型，并進(jìn)行穩(wěn)健性分析和優(yōu)化，最后以數(shù)控圓柱內(nèi)齒輪銑齒機(jī)主軸箱穩(wěn)健設(shè)計(jì)為例進(jìn)行驗(yàn)證．

1 Kriging代理模型與分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)集成過(guò)程

如圖1所示，利用代理模型進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)首先需要根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定設(shè)計(jì)參數(shù)(各個(gè)結(jié)構(gòu)尺寸等)及響應(yīng)變量(變形、質(zhì)量、頻率等)，建立參數(shù)化有限元模型．然后設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，得到各組試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值后，便可建立 Kriging代理模型．利用代理模型求解各個(gè)響應(yīng)變量的均值及方差，構(gòu)建穩(wěn)健性分析模型，這是穩(wěn)健設(shè)計(jì)的關(guān)鍵．進(jìn)而可以進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化獲取優(yōu)化解．當(dāng)然，最終的優(yōu)化解需要多次重復(fù)以上過(guò)程并對(duì)比結(jié)果才能得到．由于最終的解是利用擬合公式(代理模型)優(yōu)化而來(lái)，并不一定能很好地反映實(shí)際模型在最優(yōu)值處的情況，所以最后需要對(duì)優(yōu)化解進(jìn)行有限元驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果與優(yōu)化結(jié)果相差較大時(shí)，須重新設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，或提高擬合公式的精度．

由于所建立的代理模型公式表達(dá)式的復(fù)雜性，利用 DACE工具箱和自行開(kāi)發(fā)的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)工具箱，已實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的有機(jī)集成．

圖1 基于Kriging模型的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)流程Fig.1 Flow chart of analytical robust design based on Kriging model

1.1 參數(shù)化有限元模型及正交試驗(yàn)

設(shè) X為設(shè)計(jì)參數(shù)向量，X =[x1, x2,… ,xn]；設(shè)Y為響應(yīng)參數(shù)向量，Y =[y1, y2,… , yn]T．

根據(jù)正交試驗(yàn)原理，采用均勻采樣的方式將所有設(shè)計(jì)參數(shù)分為若干水平，組合得到若干組試驗(yàn)，然后利用建立好的參數(shù)化模型進(jìn)行有限元計(jì)算，得出每組試驗(yàn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值．

設(shè)正交試驗(yàn)組合中總樣本個(gè)數(shù)為 n， Xi、 Yi(i=1 ,2,…,n )分別表示第 i個(gè)樣本的變量參數(shù)和響應(yīng)值，則 Xs=[X1, X2, … ,Xn]T、Ys=[Y1, Y2,… ,Yn]T表

示全體樣本的變量集合和響應(yīng)值集合.

1.2 Kriging代理模型

當(dāng)系統(tǒng)的響應(yīng)參數(shù)只有 1個(gè)時(shí)，此處假設(shè)為 y，Kriging模型的表達(dá)式為

式中：()?y x為要估計(jì)的未知函數(shù)；f(x)是已知的回歸模型，本文采用二階多項(xiàng)式函數(shù)；γ?為一常數(shù)矩陣；β? 為回歸模型多項(xiàng)式的系數(shù)．r(x)是通過(guò)量化采樣點(diǎn)與高斯相關(guān)點(diǎn)的相關(guān)性創(chuàng)建的一個(gè)局部偏差；R是一個(gè)相關(guān)矩陣．

在 Matlab環(huán)境下通過(guò)定義符號(hào)變量，利用DACE工具箱對(duì)正交試驗(yàn)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即可得到基于Kriging代理模型的響應(yīng)參數(shù)和設(shè)計(jì)參數(shù)之間的擬合公式．

1.3 模型精度檢驗(yàn)

精度檢驗(yàn)是判斷代理模型是否可信的關(guān)鍵，若精度滿(mǎn)足要求，則該代理模型可以替代原優(yōu)化模型中的精確分析模型；否則需要修改試驗(yàn)設(shè)計(jì)，更換近似技術(shù)，或者調(diào)整設(shè)計(jì)變量、設(shè)計(jì)范圍等，重新構(gòu)建代理模型．

檢驗(yàn)代理模型精度時(shí)，可以取設(shè)計(jì)空間中除建立代理模型用到的樣本點(diǎn)以外的其他一些樣本點(diǎn)作為檢驗(yàn)點(diǎn)，計(jì)算相對(duì)均方根誤差R，根據(jù)R值的大小判斷模型精度是否滿(mǎn)足要求，R值越小，模型精度越高．

R的計(jì)算公式為

式中：yi和y?i分別為設(shè)計(jì)空間上各點(diǎn)的真值和響應(yīng)面的估計(jì)值；nt為設(shè)計(jì)空間上檢驗(yàn)點(diǎn)的數(shù)量．

1.4 考慮噪聲變量的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型

將代理模型代入式(3)和(4)，即可得到待設(shè)計(jì)模型功能需求的均值、方差及靈敏度，進(jìn)而可以建立方差穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型為

式中：0f為功能需求 f的期望值；[g]為約束函數(shù)g的允許值；,lbid 、,ubid 分別表示第 i個(gè)設(shè)計(jì)變量的下限和上限．

穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型建好以后，采用優(yōu)化算法對(duì)穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型進(jìn)行優(yōu)化求解．

1.5 穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果的有限元驗(yàn)證

用所得的穩(wěn)健優(yōu)化解作為設(shè)計(jì)參數(shù)值代入?yún)?shù)化模型重建，并進(jìn)行有限元分析，將所得響應(yīng)值與穩(wěn)健優(yōu)化所得值進(jìn)行校對(duì)，有限元驗(yàn)證值與優(yōu)化結(jié)果相差較大時(shí)，需重新設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)，或提高擬合公式的精度，進(jìn)而重新進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計(jì)．

2 主軸箱穩(wěn)健設(shè)計(jì)實(shí)例

2.1 主軸箱的參數(shù)化有限元分析模型

高速銑齒機(jī)床主軸箱[1]是機(jī)床的關(guān)鍵部件，孔系緊湊，結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，受載不均勻．主軸箱體結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)態(tài)特性及其參數(shù)優(yōu)化等是機(jī)床設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，它們直接影響整機(jī)的靜剛度和動(dòng)態(tài)特性．主軸箱結(jié)構(gòu)及與工件的位置關(guān)系如圖2所示．圖2中L1為主軸箱橫梁長(zhǎng)度，L2為主軸箱豎梁長(zhǎng)度，DW為齒輪毛坯內(nèi)孔直徑，HW為毛坯壁厚，BW為毛坯厚度．

圖2 主軸箱外形尺寸及與工件的幾何關(guān)系Fig.2 Dimensions of the headstock and its geometry relation with the workpiece

圖3(a)為橫梁截面，外壁和內(nèi)壁厚度分別為b0、b1，兩內(nèi)壁之間間隙為 d1，截面寬度為 B，高度為 H1．圖 3(b)為豎梁截面，外壁和內(nèi)壁厚度分別為 b0、b2，兩內(nèi)壁之間間隙為d2，截面寬度為B，高度為H2．

圖3 梁截面Fig.3 Beam sections

根據(jù)以上對(duì)主軸箱結(jié)構(gòu)的分析，選取橫梁高度、豎梁高度、外壁厚度、內(nèi)壁厚度以及梁寬度為設(shè)計(jì)變量，如表 1所示．彈性模型 E為噪聲變量，E＝2.0×105,MPa，其標(biāo)準(zhǔn)差為 6,000．設(shè)計(jì)變量和噪聲變量統(tǒng)一定為設(shè)計(jì)參數(shù)．X方向變形δx(μm)、Z方向變形δz(μm)、質(zhì)量 m(kg)以及一階固有頻率 f0(Hz)為響應(yīng)參數(shù)．

表1 設(shè)計(jì)變量Tab.1 Design variables

2.2 正交試驗(yàn)

將各個(gè)變量參數(shù)在規(guī)定范圍內(nèi)劃分為4個(gè)水平，如表2所示，并組合為4水平正交表L32(49)可得32組試驗(yàn)．

表2 變量參數(shù)的4個(gè)水平劃分Tab.2 Four-level variable demacration

每次取4水平正交表L32(49)中的一組變量參數(shù)，在ansys中建立主軸箱的有限元模型，施加邊界條件和載荷，經(jīng)有限元計(jì)算后可得到32組試驗(yàn)結(jié)果．

綜上所述，相較于常規(guī)骨科護(hù)理模式，在骨科護(hù)理中應(yīng)用臨床護(hù)理路徑效果極好，有利于縮短患者的住院時(shí)間，提高患者的健康知識(shí)掌握程度，降低患者的并發(fā)癥發(fā)生幾率，患者的護(hù)理滿(mǎn)意度更高。所以臨床護(hù)理路徑可以在骨科臨床護(hù)理上推廣應(yīng)用。

2.3 主軸箱代理模型建立及其精度檢驗(yàn)

以 32組試驗(yàn)數(shù)據(jù)為樣本點(diǎn)，利用自行開(kāi)發(fā)的Robust Design 穩(wěn)健設(shè)計(jì)軟件中的 DACE模塊構(gòu)建Kriging代理模型．選用二次回歸函數(shù) regpoly2，高斯校正函數(shù)corrgauss(如圖4所示)進(jìn)行計(jì)算，即可構(gòu)建δx、δz、m 及 f1的擬合公式.

式中ε表示校正項(xiàng)．

圖4 穩(wěn)健設(shè)計(jì)軟件的DACE模塊Fig.4 DACE module of the robust design software

另選取 4水平表(表 2)中各個(gè)元素相鄰元素之間的數(shù)建立3水平表，如表3所示．

表3 變量參數(shù)的3個(gè)水平劃分Tab.3 Three-level variable demacration

建立L18(37)正交表，將各組試驗(yàn)值代入式(6)～式(9)，并重新進(jìn)行有限元分析，對(duì)比二者結(jié)果．根據(jù)式(2)求得相對(duì)均方根誤差為

可見(jiàn)，各個(gè)響應(yīng)變量的代理模型相對(duì)均方根誤差最大為5.89%，滿(mǎn)足工程問(wèn)題的精度要求．

2.4 多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)定主軸箱的x方向和z方向變形為功能需求，以功能需求的方差為目標(biāo)函數(shù)，功能需求期望值為等式約束，主軸箱的質(zhì)量固有頻率和結(jié)構(gòu)布局為性能約束，建立多目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化模型為

2.5 穩(wěn)健優(yōu)化及結(jié)果分析

設(shè)定 2個(gè)目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重分別為 0.8、0.2，代入穩(wěn)健優(yōu)化模型，借助自行開(kāi)發(fā)的穩(wěn)健設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化．穩(wěn)健優(yōu)化迭代曲線如圖 5所示，從圖中可看出優(yōu)化收斂性良好．

優(yōu)化結(jié)果如表 4所示．優(yōu)化解使得主軸箱在滿(mǎn)足基本性能約束的條件下，滿(mǎn)足了基本功能需求，即使變形穩(wěn)定在一個(gè)固定值上，且功能需求的方差最?。€(wěn)健優(yōu)化的目的還在于降低功能需求對(duì)各個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，從而降低加工成本．

圖5 優(yōu)化迭代曲線Fig.5 Optimized iteration curve

表4 優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization results

圓整分析值是將優(yōu)化值圓整后重新進(jìn)行穩(wěn)健分析而來(lái)的結(jié)果，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，圓整后結(jié)果的穩(wěn)健性基本未發(fā)生變化，可以將此組圓整值視為最終的優(yōu)化值應(yīng)用．

圖6為穩(wěn)健設(shè)計(jì)軟件界面，軟件采用模塊化思想，按功能分為數(shù)據(jù)編輯模塊、項(xiàng)目管理模塊、穩(wěn)健處理模塊、數(shù)據(jù)交換模塊和DACE模塊等．以上表格中的變量數(shù)據(jù)及優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)均可以在數(shù)據(jù)編輯區(qū)中直接查詢(xún)讀?。?/p>

圖6 穩(wěn)健設(shè)計(jì)軟件界面Fig.6 Interface diagram of the robust design software

2.6 優(yōu)化結(jié)果中性能變量的有限元驗(yàn)證

噪聲變量值取 E＝2×105,MPa，設(shè)計(jì)變量取優(yōu)化結(jié)果的圓整值，重新構(gòu)建有限元分析模型進(jìn)行分析，得性能變量驗(yàn)證值．比較穩(wěn)健優(yōu)化與有限元驗(yàn)證所得性能變量結(jié)果，如表5所示．

表5 穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果的有限元驗(yàn)證Tab.5 Finite element validation of robust optimization results

由表5可以看出，優(yōu)化值處以δx的誤差最大，為7.268%．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)際偏差滿(mǎn)足要求，可作為最終結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際工程中去．

3 結(jié) 論

(1) 建立了基于Kriging代理模型的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，即“確定參數(shù)-正交試驗(yàn)-代理模型-穩(wěn)健優(yōu)化-驗(yàn)證”的設(shè)計(jì)過(guò)程．利用 DACE工具箱和自行開(kāi)發(fā)的分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)工具箱，已實(shí)現(xiàn)上述過(guò)程的有機(jī)集成．

(2) 基于Kriging代理模型建立了考慮噪聲變量的多目標(biāo)分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)模型．

(3) 基于Kriging代理模型的主軸箱分析性穩(wěn)健優(yōu)化結(jié)果表明，各個(gè)響應(yīng)變量的代理模型最大相對(duì)均方根誤差5.89%；優(yōu)化結(jié)果在滿(mǎn)足各個(gè)性能約束的基礎(chǔ)上，使得功能需求方差最?。?/p>

(4) 有限元驗(yàn)證結(jié)果表明基于 Kriging代理模型-分析性穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法可以得到與實(shí)際情況吻合的穩(wěn)健分析及優(yōu)化結(jié)果．

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