李軍成

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基于參數(shù)樣條插值的同坡曲面構造方法

李軍成

（湖南人文科技學院數(shù)學系，湖南婁底 417000）

傳統(tǒng)的同坡曲面構造方法都是在導線方程為已知的前提下進行的。然而在實際工程中，導線方程往往是很難得到的，只能通過測量得知導線通過一列數(shù)據(jù)點。針對這一問題，給出了一種實際工程中同坡曲面的構造方法，該法首先根據(jù)測量數(shù)據(jù)點，利用三次參數(shù)樣條曲線插值方法構造出同坡曲面的導線方程，然后再從同坡曲面的形成原理入手建立其參數(shù)方程，最后通過實例表明該方法是可行有效的。

計算機應用；同坡曲面；參數(shù)樣條曲線；插值；包絡面

同坡曲面是水利、土建及其它工程設計中一種常見的特殊坡面，它在工程中有著非常重要的作用，因此建立同坡曲面的方程是非常有理論與實際意義的。文獻[1]從同坡曲面的特性入手，提出了建立這類坡面數(shù)學模型的方法；文獻[2]通過對遞推圓弧樣條曲線的研究，探討了構造同坡曲面等高線的方法和相關問題；文獻[3-4]則對同坡曲面的形成作了分析，給出了更為一般的同坡曲面的方程等。這些文獻雖然都從某種角度討論了同坡曲面的方程，但都是以同坡曲面的導線方程有準確表達式為前提。事實上，在實際工程中，同坡曲面的導線方程的準確表達式往往是很難得到的，而只能通過測量得到導線上的一組數(shù)據(jù)點，為解決這個問題，本文利用三次參數(shù)曲線的構造方法，首先構造出插值于這些數(shù)據(jù)點的導線參數(shù)方程，再從同坡曲面的形成原理入手建立同坡曲面的方程，以符合實際工程的需要。

1 同坡曲面的形成原理[5]

正圓錐的軸線始終垂直于水平面，錐面上所有素線對水平面的傾角都相等，當直母線沿著一條空間曲導線移動，母線對水平面的傾角始終保持不變時，所形成的曲面稱為同坡曲面。

如圖1所示，轉(zhuǎn)彎斜坡道邊是一條空間導線，過所作的同坡曲面可以看成是公切于一組正圓錐面的包絡面，且這些正圓錐頂點都在導線上，素線與水平面的傾角都相等。顯然，同坡曲面上的每條素線（也稱為坡度線）都是這個曲面與圓錐面的切線，也為圓錐面上的母線。也就是說，同坡曲面上所有坡度線與水平面的傾角都相等。若用水平面截割同坡曲面和圓錐面，截得同坡曲面上的等高線（也稱同坡曲線）和圓錐面上的等高線（水平圓）一定相切，且切點必在坡度線上。

圖1 同坡曲面的形成原理

2 同坡曲面的構造

2.1 導線的參數(shù)方程

要建立同坡曲面的參數(shù)方程，首先必需知道導線的參數(shù)方程。實際工程中，導線的方程往往很難得到，只能通過測量得到導線上的一組數(shù)據(jù)點，其中,。此時可以通過參數(shù)樣條插值方法構造出通過這些數(shù)據(jù)點的導線方程。

當所測數(shù)據(jù)點分布比較均勻時，可用Ferguson方法構造插值曲線，其表達式可寫為

但當所測數(shù)據(jù)點分布不均時，用Ferguson方法構造的插值曲線會出現(xiàn)波動，此時可以應用累加弦長參數(shù)樣條曲線方法構造插值曲線。

參數(shù)方程(2)可作為同坡曲面的導線方程。需要說明的是，在構造導線的參數(shù)方程時，也可采用B-樣條方法構造插值曲線。若所測數(shù)據(jù)點分布均勻時，可用均勻B-樣條插值；而當所測數(shù)據(jù)點分布不勻時，則可用非均勻B-樣條插值。這里由于篇幅有限，不再贅述。

導線方程建立后，由同坡曲面的形成原理可知，要得到同坡曲面的方程，需首先建立一組正圓錐面的方程，再求出公于該組圓錐面的包絡面即可。

2.2 正圓錐面的參數(shù)方程

（3）

（5）

2.3 同坡曲面的參數(shù)方程

由于同坡曲面可以看成是公切于一組正圓錐面的包絡面，因此，中的每一個圓錐都有一條直母線在同坡曲面上，例如在上由，決定的直母線在上；在上有，決定的直母線在上，……，在上由，決定的直母線也在上。由此可知與之間必存在某種規(guī)律，不妨設。于是，的參數(shù)方程可寫為

另一方面，根據(jù)包絡面的定義可知，與沿接觸線相切，于是它們在上有公共法向量，即沿上每點的法向量也為沿上每點的法向量。

，

于是有

上式計算整理得

（7）

3 應用實例

圖2 插值于各數(shù)據(jù)點的導線

圖3 導線為插值曲線時的同坡曲面

4 結 論

本文根據(jù)實際工程的需要，當同坡曲面的導線方程沒有準確表達式時，首先利用三次參數(shù)樣條插值方法構造出插值于各測量數(shù)據(jù)點的導線方程，然后再從同坡曲面的形成原理入手建立同坡曲面的方程。需要指出的是，當所的數(shù)據(jù)點分布比較均勻時，可用三次Ferguson曲線插值構造導線效果較好；但當所測數(shù)據(jù)點分布不均時，采用累加弦長三次參數(shù)樣條插值曲線來構造導線會達到滿意的效果。

[1] 陳永喜. 同坡曲面的數(shù)學模型及計算機輔助幾何設計[J]. 工程圖學學報, 1998,(1): 48-54.

[2] 屈振生. 圓弧樣條曲線在道路工程圖中的應用[J]. 遼寧工程技術大學學報(自然科學版), 2000, 19(6): 622-625.

[3] Hu jianguo, Chen yueping. Mathematical model of the identical slope surface [J]. Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2002, 7(1): 54-58.

[4] 劉青科, 毛 君. 同坡曲面的方程及其在彎斜路面邊坡設計和繪圖中的應用[J]. 武漢大學學報(工學版), 2006, 39(4): 111-114.

[5] 方 慶, 徐約素, 等. 畫法幾何及水利工程制圖(第2版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978. 178-180.

[6] Ferguson J C. Multivariable curve interpolation [J]. Journal ACM, 1964, 11(2): 221-228.

[7] 朱心雄, 等. 自由曲線曲面造型技術[M]. 北京: 科學出版社, 2000. 44-145.

[8] 蘇步青, 劉鼎元. 計算幾何[M]. 上海: 上海科學技術出版社, 1981. 78-88.

[9] 復旦大學數(shù)學系《曲線與曲面》編寫組. 曲線與曲面[M]. 北京: 科學出版社, 1977. 162-167.

A Method for Constructing Identical Slope Surface Based on Parametric Spline Interpolation

LI Jun-cheng

( Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi Hunan 417000, China )

The traditional method for constructing identical slope surface is under the premise that exact expression of lead curve is known. But in practical engineering, the exact expression of lead curve is hard to obtain, and only some measured data points of the lead curve are given. For solving that problem, a method of constructing the identical slope surface in engineering is presented in this paper. Firstly, cubic parametric spline interpolation curve is constructed according to the measured data points, which is regarded as the lead curve. Then, the parametric equation of identical slope gradient surface is constructed based on the forming principle of that surface. Lastly, an example is presented to show the method is feasible and effectual.

computer application; identical slope surface; parametric spline curve; interpolation; envelope surface

O 182；TP 391

A

1003-0158(2011)01-0026-05

2009-07-03

李軍成（1982-），男，湖北漢川人，講師，碩士，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。