高磊磊，夏新濤，樊雎，孫小超

(河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003)

滾動軸承的振動水平是軸承動態(tài)性能質(zhì)量的重要反映[1]，因此一直受到相關(guān)工程與學術(shù)界的重視。文獻[2-3]基于軸承振動信號數(shù)據(jù)分別用時域特征和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法進行軸承故障的診斷處理。文獻[4]對軸承振動信號數(shù)據(jù)進行光譜分析等處理并用于軸承的故障診斷。文獻[5]用灰自助法對軸承振動數(shù)據(jù)進行了動態(tài)評估與診斷。文獻[6]提出了基于Hilbert-Huang變換的軸承振動特性分析的新方法。現(xiàn)有的研究大多尚未關(guān)注乏信息系統(tǒng)領(lǐng)域。乏信息是指研究對象所表現(xiàn)出的屬性特征信息不完整與不充分。乏信息系統(tǒng)的參數(shù)估計，目前是信息科學與系統(tǒng)科學領(lǐng)域的前沿與熱點之一，具有重要的理論意義和實用價值。

乏信息系統(tǒng)的相空間重構(gòu)理論是分析研究非線性動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)，相空間是描述系統(tǒng)演化與運動最有力的工具。用混沌理論進行相空間重構(gòu)，能使軸承振動時間序列的原始動力學特征得到最優(yōu)恢復(fù)。

研究表明，軸承振動具有不確定的明顯波動和趨勢變化，屬于概率分布和趨勢規(guī)律都未知的乏信息系統(tǒng)。下文基于乏信息相空間，用最大熵自助法[7-8]分別建立當前樣本和先驗樣本的概率密度函數(shù)，然后結(jié)合Bayes統(tǒng)計理論，建立軸承振動特征參數(shù)的動態(tài)Bayes后驗概率密度函數(shù)，最后對特征參數(shù)進行點估計、區(qū)間估計及趨勢估計等，從而為軸承性能的非線性動力學特征演變評估奠定新的理論基礎(chǔ)。

1 乏信息數(shù)學模型

針對軸承振動特征參數(shù)的評估，用乏信息系統(tǒng)理論進行相空間重構(gòu)，并結(jié)合最大熵自助法和Bayes統(tǒng)計理論構(gòu)建數(shù)學模型進行參數(shù)估計。

1.1 相空間重構(gòu)

設(shè)軸承振動信號的時間序列為

X=(x(1),x(2),…,x(k),…,x(N));k=1,2,…,N；

(1)

式中：x(k)為第k個數(shù)據(jù)；N為時間序列X中數(shù)據(jù)的個數(shù)。

重構(gòu)相空間[9]，得到一組新的向量序列

X(t)=(x(t),x(t+τ),…,x(t+(k-1)τ),…,x(t+(m-1)τ))；t=1,2,…,M;k=1,2,…,m;

(2)

M=N-(m-1)τ；

(3)

式中：x(t)為t時刻的觀測值；x(t+(m-1)τ)為延遲值；m為嵌入維數(shù)；τ為延遲時間；M為相點個數(shù)。

(1)式是由觀測值x(t)和延遲值x(t+(m-1)τ)所構(gòu)成的m維乏信息相空間，其與原始的狀態(tài)空間微分同構(gòu)。

至此，乏信息過程的原始動力學特征得到最優(yōu)恢復(fù)。選定當前時刻t，將此刻的相軌跡作為中心軌跡。從當前時刻t往前隔(τ-1)個數(shù)據(jù)取一個，得到一個含有m個數(shù)據(jù)的樣本X1，即為基于中心軌跡的當前樣本。先驗樣本就是當前時刻t以前的歷史軌跡，從時刻(t-1)往前隔(τ-1)個數(shù)據(jù)取一個，得到一個含有m個數(shù)據(jù)的樣本。讓t依次往前滾動遞減，重復(fù)以上步驟，即可得到多個含有m個數(shù)據(jù)的樣本序列Xi。

借鑒混沌預(yù)測的思想，從樣本序列Xi中找出與當前樣本X1最相似的樣本X2，即為基于歷史軌跡的先驗樣本。因為樣本序列Xi中很多樣本信息對于當前時刻的參數(shù)估計已經(jīng)沒有太大價值，應(yīng)予以剔除。用2-范數(shù)法來確定Xi與X1的相似度，

(4)

式中：xij為Xi的第j個元素；x1j為X1的第j個元素。

通過計算，找出(4)式值最小的樣本，即為先驗樣本X2。

由于樣本X1和X2中數(shù)據(jù)較少，還須用自助法抽樣，以便建立基于當前樣本和先驗樣本的最大熵概率密度函數(shù)。

1.2 自助樣本

從X中等概率可放回地抽樣，抽取m個數(shù)據(jù)，得到一個樣本Xb，共抽取B次，得到B個自助樣本，

Xb=(xb(1),xb(2),…,xb(k),…,xb(m));b=1,2,…,B；

(5)

式中：Xb為第b個自助樣本；xb(k)為第b個自助樣本的第k個數(shù)據(jù)，k=1,2,…,m。

求自助樣本Xb的均值為

(6)

從而得到一個樣本含量為B的自助樣本

XBootstrap=(X1,X2,…,Xb,…,XB)。

(7)

用自助法[10]分別對當前樣本X1和先驗樣本X2進行抽樣處理，得到當前自助樣本X1Bootstrap和先驗自助樣本X2Bootstrap。

1.3 最大熵概率密度函數(shù)

根據(jù)最大熵原理，最無主觀偏見的概率密度函數(shù)應(yīng)滿足熵最大，即

(8)

式中：R為積分空間。約束條件為各階原點距，

(9)

式中：k為原點距數(shù)；wk為第k階原點距；w為所用到的最高價原點距的階次，一般w=3～8，常用w=5。

在約束條件下調(diào)節(jié)f(x)可使熵最大，這是約束優(yōu)化問題，用Lagrange乘子法可求出f(x)的表達式，

(10)

式中：ck為第k個Lagrange乘子，k=1,2,…,w。第1個Lagrange乘子c0為

(11)

其他w個乘子滿足

(12)

將上式用向量表示為

G=G(c)=(gk;k=1,2,…,w)T=0,

(13)

且有

c=(ck;k=1,2,…,w)T，

(14)

式中：c為Lagrange乘子列向量?？捎肗ewton法求解Lagrange乘子向量c，即有

cj+1=cj-G′(cj)-1G(cj) (j=0,1,…) ，

(15)

式中：G′(cj)為迭代到第j步的Jacobi矩陣。迭代收斂的范數(shù)準則為

‖Gj+1-Gj‖1≤ε，

(16)

式中：ε為收斂誤差，一般取ε=10-12。

上述求解中，第k階原點距由前面得到的自助樣本XBootstrap確定。

用最大熵法分別對當前自助樣本X1Bootstrap和先驗自助樣本X2Bootstrap進行處理，得到當前樣本的最大熵概率密度函數(shù)f1(x)和先驗樣本的最大熵概率密度函數(shù)f2(x)。最后再結(jié)合Bayes統(tǒng)計理論，得到基于相空間的軸承振動特征參數(shù)的Bayes后驗概率密度函數(shù)。

1.4 Bayes概率密度函數(shù)

Bayes統(tǒng)計[11]認為，任何一個未知量θ都可以看成隨機變量，應(yīng)用一個概率分布去描述對θ的未知狀況。這個概率分布是在抽樣前就有的關(guān)于θ的先驗信息的概率陳述，其稱為先驗分布。為了在小子樣下獲得好的參數(shù)估計，就必須利用參數(shù)的歷史資料即先驗信息。Bayes統(tǒng)計認為，后驗分布綜合了先驗和樣本的信息，可對參數(shù)做出較先驗分布更合理的估計。

Bayes公式的概率密度函數(shù)形式為

(17)

式中：θ為統(tǒng)計推斷參數(shù)；Θ為參數(shù)空間，Θ={θ}；x為總體分布產(chǎn)生的一個樣本，x=(x1,x2,…,xn)；f(θ|x)為在樣本x給定下θ的條件分布，即后驗分布；h(x|θ)為總體指標X的條件分布；f(θ)為先驗分布。

根據(jù)當前樣本的概率密度函數(shù)f1(x)和先驗樣本的概率密度函數(shù)f2(x),再結(jié)合Bayes統(tǒng)計原理，得出Bayes后驗概率密度函數(shù)為

(18)

式中：x為樣本均值。

2 特征參數(shù)估計

基于Bayes概率密度函數(shù)進行參數(shù)估計。

估計真值X0為

(19)

設(shè)顯著水平α∈[0,1]，估計區(qū)間的下邊界值XL應(yīng)滿足

(20)

上邊界值Xu應(yīng)滿足

(21)

于是，在置信水平P=(1-α)×100%下，樣本均值的估計區(qū)間為[XL,XU]。

3 試驗研究與討論

采用美國Case Western Reserve University電氣工程實驗室的軸承故障模擬試驗臺的試驗數(shù)據(jù)進行研究分析。選取驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1 796 r/min，采樣頻率為12 kHz時得到的鋼球故障數(shù)據(jù)時間序列進行驗證，其中損傷直徑為0.1 778 mm。取數(shù)據(jù)文件里的前1 000個數(shù)據(jù)作為時間序列進行建模處理。

在計算最大熵概率密度函數(shù)時，取w=5,Q=9，ε=10-12，數(shù)據(jù)的時域信息及利用乏信息數(shù)學模型估計得到的結(jié)果如圖1和圖2所示。在計算特征參數(shù)時，取α=0.05，B=10 000，圖2中選定當前時刻t為1 000個振動數(shù)據(jù)的第732個，每計算一次讓t自動加1，連續(xù)計算10次，將估計結(jié)果繪制成圖像。

由圖1可知，在測量過程中，隨著軸承的轉(zhuǎn)動(原始數(shù)據(jù)序列號 從1增加到1000)，軸承振動的時域信息具有明顯的隨機波動和趨勢變化特征，可見軸承振動的時域信息很復(fù)雜。

圖1 軸承振動數(shù)據(jù)

圖2 估計區(qū)間對樣本均值的包絡(luò)

由t=1～10各時刻的Bayes概率密度函數(shù)可知，從t=1～10，軸承振動的Bayes概率密度函數(shù)處于不斷變化之中，其中t=3時概率密度函數(shù)近似于正態(tài)分布，其余時刻概率密度函數(shù)呈現(xiàn)非對稱的單峰形或多峰形(圖3)，這是隨機過程短期的多次實現(xiàn)的結(jié)果，可見軸承振動的概率分布信息非常復(fù)雜且具有不確定性。這些復(fù)雜信息實際上隱含著系統(tǒng)真值的一些特征。

根據(jù)圖2所示，軸承振動數(shù)據(jù)的樣本均值序列X被完美地包絡(luò)在估計區(qū)間[XL，XU]之中，且估計真值X0與樣本均值X非常接近?？梢钥闯?，t=1時估計真值X0與樣本均值X之間的絕對誤差小到0.002 5；t=6時估計真值X0與樣本均值X之間的絕對誤差最大為0.024 0。這說明利用乏信息數(shù)學模型處理振動數(shù)據(jù)能得到比較合理的結(jié)果。因此，估計結(jié)果的誤差可以滿足工程要求。這也證實了所提出的數(shù)學模型是合理與可行的，基本上可以真實描述軸承振動的統(tǒng)計特征。

4 結(jié)論

相空間是描述系統(tǒng)演化與運動最有力的工具。用混沌理論進行相空間重構(gòu)，使軸承振動時間序列的原始動力學特征得到最優(yōu)恢復(fù)。在相空間里，建立了基于最大熵自助法和Bayes統(tǒng)計理論的軸承振動的動態(tài)Bayes后驗概率密度函數(shù)。軸承振動的Bayes概率密度函數(shù)呈非對稱的單峰形或多峰形，這是隨機過程短期的多次實現(xiàn)的結(jié)果。這刻畫了軸承振動不確定的明顯波動和趨勢變化特征。

以Bayes概率分布函數(shù)為基礎(chǔ)，提出了軸承振動特征參數(shù)的真值估計、區(qū)間估計和趨勢估計方法。從計算結(jié)果來看，軸承振動數(shù)據(jù)的樣本均值都能被估計區(qū)間完美地包絡(luò)，且估計結(jié)果和試驗結(jié)果在數(shù)值上很接近，滿足工程要求。從而為軸承性能的非線性動力學特征演變評估奠定新的理論基礎(chǔ)。

圖3 t=1,3,6,10時刻的概率密度函數(shù)