盧志偉，劉波，張君安

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710032)

止推氣浮軸承是以氣體動(dòng)力學(xué)、摩擦學(xué)、傳熱學(xué)及一般動(dòng)力學(xué)等為理論基礎(chǔ)的多種學(xué)科的綜合性技術(shù)的軸承[1]。隨著計(jì)算技術(shù)與計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的高速發(fā)展，計(jì)算流體力學(xué)也已顯示出越來(lái)越強(qiáng)勁的發(fā)展趨勢(shì)，在一些領(lǐng)域已代替了試驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，從而也推動(dòng)了氣體潤(rùn)滑數(shù)值分析的發(fā)展；將潤(rùn)滑數(shù)值分析技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等結(jié)合起來(lái)，探索一種精度高、可靠性好且具有使用價(jià)值的方法[2-3]。采用止推氣浮軸承制成的精密工作臺(tái)，可以獲得非常小的并且一致的動(dòng)靜摩擦系數(shù)，從而提高工作臺(tái)的靈敏度，同時(shí)氣膜具有勻化誤差的作用，可以使工作臺(tái)的工作特性得到改善。止推氣浮軸承性能對(duì)工作臺(tái)系統(tǒng)的工作品質(zhì)有明顯的影響，進(jìn)而對(duì)設(shè)備的整機(jī)水平起著非常重要的決定作用。止推氣浮軸承已經(jīng)成為三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的關(guān)鍵部件，在提高精度方面，止推氣浮軸承有著油脂潤(rùn)滑不可比擬的優(yōu)勢(shì)。因此，在進(jìn)行理論研究的同時(shí)，應(yīng)大力推廣應(yīng)用這種先進(jìn)的止推氣浮軸承技術(shù)，使其具有更大的經(jīng)濟(jì)效益和更廣闊的應(yīng)用前景[4-5]。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 控制方程

Reynolds方程是整個(gè)氣浮軸承潤(rùn)滑力學(xué)的核心，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，流體潤(rùn)滑的基本內(nèi)容均是求解Reynolds方程以揭示流體潤(rùn)滑膜中壓力的分布規(guī)律。軸承間隙內(nèi)氣體壓力的分布狀況能左右軸承的性能，決定壓力分布的方程式可由Navier-Stokes方程和連續(xù)方程經(jīng)過(guò)潤(rùn)滑條件下的近似處理推導(dǎo)而得到。由于本例研究的是矩形止推氣浮軸承(圖1)，則可在直角坐標(biāo)系下得到其控制方程為

圖1 矩形止推氣浮軸承

(1)

式中：x為橫坐標(biāo)；y為縱坐標(biāo)；p為氣膜壓力；h為軸承氣膜間隙；μ為氣膜黏度系數(shù)；U為相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度；t為時(shí)間。

在定常狀態(tài)的靜壓氣體軸承中，假定軸承的間隙一定，軸承的相對(duì)速度U=0，間隙內(nèi)的氣體的流動(dòng)是等溫流和定常狀態(tài)，則(1)式可以改寫(xiě)為

(2)

1.2 控制方程的差分表達(dá)式

(3)

(4)

把(3)式、(4)式代入(2)式中，經(jīng)整理可以得到

(5)

其中E=2/Δx2+2/Δy2。

由逐步超松馳法進(jìn)行計(jì)算，即

(6)

式中：λ為迭代加速系數(shù)，1<λ<2。經(jīng)過(guò)迭代直到滿(mǎn)足(7)式為止。

(7)

式中：δ為收斂值。即可求出供氣孔出口壓力為p0的軸承表面的氣膜壓力分布。

1.3 邊界條件

矩形氣浮止推軸承四周與大氣相通且由于該軸承具有對(duì)稱(chēng)性，因此取軸承的1/4部分作研究對(duì)象，則其邊界條件為

(8)

式中：pa為環(huán)境大氣壓力；p0為供氣孔處的出口壓力。

2 控制方程的數(shù)值計(jì)算

2.1 氣浮軸承的氣膜間隙與流量的數(shù)值求解

根據(jù)流體潤(rùn)滑理論可以得到通過(guò)每個(gè)固有節(jié)流孔的供氣孔進(jìn)入軸承表面的氣體流量Win為

(9)

式中：ψ為噴嘴的流出速度系數(shù)；d為供氣孔小孔直徑；c0為噴嘴的流量系數(shù)；R為氣體常數(shù)；ps為供氣壓力；T0為溫度。

當(dāng)環(huán)境壓力為pa，溫度為T(mén)0的氣體密度為ρ時(shí)，則由氣浮止推軸承邊緣流出的氣體流量Wout為

(10)

對(duì)于具有n個(gè)供氣孔的矩形氣浮軸承，根據(jù)流量連續(xù)的條件,則可以得到通過(guò)供氣孔流入軸承的流量Win應(yīng)等于由軸承周?chē)鞒龅牧髁縒out，由(9)和(10)式可以得到其流量平衡方程，由于所研究的氣浮軸承為矩形，其所設(shè)計(jì)的4個(gè)供氣孔在軸承表面對(duì)稱(chēng)分布，因此取1個(gè)供氣孔作為研究對(duì)象即取軸承整個(gè)表面的1/4，可以得到

(11)

用數(shù)值法積分時(shí)，需先用已求出的節(jié)點(diǎn)壓力值表達(dá)邊界處的(?p/?x)x=0和(?p/?y)y=0值。由于邊界以外無(wú)壓力值，所以此時(shí)不能用簡(jiǎn)單的中值差商法來(lái)表達(dá)。為了保持足夠的精確度，可用邊界以?xún)?nèi)的三節(jié)點(diǎn)值來(lái)表達(dá)這些一階偏導(dǎo)數(shù)。在(11)式中，在x向y=0邊界上各節(jié)點(diǎn)上(i,1)的(?p/?y)y=0值為

(?p/?y)i,1=(3Pi,1-4Pi,2+Pi,3)/(2Δy)，

(12)

在y向x=0邊界上各節(jié)點(diǎn)(1,j)上的(?p/?x)x=0值為

(?p/?x)1,j=(3P1,j-4P2,j+P3,j)/(2Δx)。

(13)

由(2)式求出的壓力分布計(jì)算(?p/?x)x=0，(?p/?y)y=0，然后由復(fù)合Simpson公式求積分，求出當(dāng)供氣壓力為Ps，供氣出口壓力為P0時(shí)的軸承氣膜間隙h；然后根據(jù)(9)式和(10)式分別計(jì)算出流量Win和Wout。

2.2 氣浮軸承承載力的數(shù)值求解

將軸承間隙中的壓力p沿整個(gè)軸承面進(jìn)行積分，求得承載能力

(14)

對(duì)(14)式根據(jù)(2)式求得的壓力分布值運(yùn)用復(fù)合Simpson積分進(jìn)行數(shù)值求解，先計(jì)算p沿橫向x的積分，然后再次運(yùn)用復(fù)合Simpson積分計(jì)算p沿縱向y的積分，最后求得承載力W。

在壓力分布p(i,j)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Simpson公式求解承載力積分。先求沿x方向的壓力分布的積分值Dj，

(pi+2,j-pa)]。

(15)

對(duì)Dj在y方向上再次用Simpson公式進(jìn)行積分，求得承載力W，

(16)

2.3 數(shù)值求解的計(jì)算流程

運(yùn)用有限差分法、超松弛迭代以及邊界條件采用VB6.0語(yǔ)言進(jìn)行了數(shù)值編程計(jì)算，即可求出軸承表面的壓力分布、氣膜間隙、流量以及承載力等參數(shù)。所研究的矩形氣浮止推軸承的性能計(jì)算流程圖如圖2所示。

圖2 軸承性能計(jì)算流程圖

3 氣浮軸承的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

選取L=80 mm，B=60 mm的矩形氣浮止推軸承為研究對(duì)象。運(yùn)用推導(dǎo)得到的控制方程差分表達(dá)式(5)式、邊界條件(8)式以及如圖2所示的軸承性能計(jì)算流程，采用VB6.0語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)值編程計(jì)算。由于該氣浮軸承具有對(duì)稱(chēng)性，故取軸承的1/4部分作研究對(duì)象，其中取其x橫向網(wǎng)格數(shù)N=160，y縱向網(wǎng)格數(shù)M=120；供氣孔小孔直徑d=0.4 mm，迭代加速系數(shù)λ=1.7，收斂誤差δ=1×10-5，迭代次數(shù)n=5 000；假設(shè)供氣氣體為常溫氣體，供氣壓力ps=0.5 MPa，外界環(huán)境壓力pa=0.101 MPa，空氣黏度μ=1.833×10-5Pa·s，空氣絕熱指數(shù)κ=1.4，空氣密度ρ=1.226 kg/m3,氣體常數(shù)R=29.27 m/k，常溫絕對(duì)溫度T0=288 K，噴嘴的流量系數(shù)c0=0.85。文中主要對(duì)軸承的氣膜壓力分布、承載力、流量及氣膜間隙等參數(shù)之間的相互關(guān)系進(jìn)行分析和研究。

圖3為供氣壓力ps=0.5 MPa，氣膜間隙h=8 μm時(shí)的壓力分布，圖4為ps=0.5 MPa，氣膜間隙h=16 μm時(shí)的壓力分布。從兩者相比可以看出：圖3比圖4中的壓力分布大得多。由此可以得出軸承的壓力分布受氣膜間隙影響比較大，在外界供氣壓力一定的條件下，軸承氣膜間隙越小軸承氣膜壓力分布越大。在軸承的4個(gè)供氣孔處氣膜的壓力分布比較大，容易使軸承的氣膜表面產(chǎn)生不穩(wěn)定甚至?xí)霈F(xiàn)氣錘現(xiàn)象。為了使軸承的氣膜壓力不出現(xiàn)突變，在其表面設(shè)計(jì)出合理節(jié)流孔和均壓槽可以使軸承表面的氣膜壓力得到均化，從而使軸承表面達(dá)到最佳的氣浮支承狀態(tài)。

圖3 ps=0.5 MPa和h=8 μm時(shí)的壓力分布

圖4 ps=0.5 MPa和h=16 μm時(shí)的壓力分布

止推氣浮軸承氣膜間隙與軸承承載力之間的關(guān)系如圖5所示，在供氣壓力ps=0.5 MPa情況下，氣浮止推軸承能夠很好地實(shí)現(xiàn)氣浮支承的效果，軸承的承載能力隨著軸承氣膜間隙的減小而增大，承載能力與氣膜間隙成非線性反比關(guān)系；圖6所示為止推氣浮軸承氣膜間隙與軸承流量之間的關(guān)系，當(dāng)外界供氣壓力ps=0.5 MPa時(shí)，軸承的流量隨著軸承氣膜間隙的增加而增大。

圖5 氣膜間隙與承載力的關(guān)系

圖6 氣膜間隙與流量的關(guān)系

4 結(jié)論

(1)軸承的壓力分布受軸承的氣膜間隙影響比較大，在外界供氣壓力一定的條件下，氣膜間隙越小軸承的氣膜壓力分布越大。

(2)氣浮止推軸承能夠很好地實(shí)現(xiàn)氣浮支承的效果，軸承的承載能力隨著軸承氣膜間隙的減小而增大。