盧立戶，劉海娟，諸德宏，徐榮

( 1. 江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2. 西門子變壓器有限公司，濟(jì)南 250022 )

磁懸浮軸承[1-2](簡稱磁軸承)在航空航天、機(jī)械加工以及醫(yī)療等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[3-4]，控制系統(tǒng)的好壞直接影響到整個(gè)系統(tǒng)的性能，常用的控制方法有：變參數(shù)PID控制、模糊控制[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6]、自適應(yīng)控制和變結(jié)構(gòu)控制[7]以及各種方法的綜合等。

自抗擾控制器(ADRC)是一種改進(jìn)型非線性PID控制器，通過安排過渡過程解決了“快速性和超調(diào)之間的矛盾”；非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的使用實(shí)現(xiàn)了不用積分反饋也能達(dá)到“無靜差”，避免了積分反饋的副作用；該控制器在對象參數(shù)發(fā)生變化或遇到不確定性擾動(dòng)時(shí)能得到很好的控制效果，因此，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性、魯棒性和抗干擾性[8]。根據(jù)自抗擾控制器的基本原理，針對軸向主動(dòng)磁軸承設(shè)計(jì)了自抗擾控制系統(tǒng)，并對該系統(tǒng)進(jìn)行了階躍響應(yīng)、抗干擾性和魯棒性試驗(yàn)，而且還引入了模糊邏輯控制對ADRC非線性模塊進(jìn)行參數(shù)整定。

1 軸向主動(dòng)磁軸承的結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型

1.1 結(jié)構(gòu)及工作原理

軸向主動(dòng)磁軸承的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示，由軸向控制線圈、軸向定子和吸力盤等組成。定子鐵芯采用硅鋼片疊壓而成，轉(zhuǎn)子(吸力盤)是一質(zhì)量為m的整體鋼盤，置于2個(gè)軸向定子之間。圖1中帶箭頭的虛線表示軸向控制線圈通電后產(chǎn)生的控制磁通，在軸向定子、軸向氣隙和轉(zhuǎn)子之間構(gòu)成回路。當(dāng)轉(zhuǎn)子處于軸向平衡位置，線圈通入的電流大小相等，軸向控制線圈在軸向兩端氣隙處所產(chǎn)生的磁通是相等的。因此，轉(zhuǎn)子受到軸向的磁吸力為零。假設(shè)當(dāng)轉(zhuǎn)子受到外界擾動(dòng)力向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，傳感器檢測出轉(zhuǎn)子偏離平衡位置的位移，通過控制作用使左側(cè)控制線圈中電流增加，右邊控制線圈中電流減小，則轉(zhuǎn)子受到向左的懸浮力增加，而轉(zhuǎn)子受到向右的懸浮力減小，其合力與擾動(dòng)力方向相反，從而把轉(zhuǎn)子“拉回”到平衡位置。如轉(zhuǎn)子受到向左的外力擾動(dòng)，可以通過控制作用得到類似結(jié)果。所以不論轉(zhuǎn)子受到向左或向右的擾動(dòng)，通過控制器調(diào)節(jié)控制電流，均可使轉(zhuǎn)子始終保持在平衡位置。

1—控制磁通；2—軸向控制線圈；3—軸向定子；4—轉(zhuǎn)軸；5—吸力盤

1.2 數(shù)學(xué)模型

由文獻(xiàn)[9]可知，軸向主動(dòng)磁軸承的懸浮力方程為

(1)

式中：F為磁軸承轉(zhuǎn)子所受的軸向磁吸力；x為軸向位移偏移量；i為控制電流；i0為偏磁電流；μ0為空氣磁導(dǎo)率;δ0為氣隙長度；N為控制線圈匝數(shù)；Sa為軸向磁極面積。

對(1)式進(jìn)行線性處理，在平衡位置附近(x?δ0，ix?i0)進(jìn)行Taylor展開并略去高階無窮小量可得

(2)

式中：kx為軸向位移剛度系數(shù)；ki為軸向電流剛度系數(shù)。在磁軸承的結(jié)構(gòu)和工作點(diǎn)確定后，kx和ki為常數(shù)。

2 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

2.1 自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)及原理

自抗擾控制器由非線性跟蹤-微分器(TD)、擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)和非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)控制規(guī)律3部分組成，如圖2所示。TD用來安排過渡過程，并給出各階微分信號(hào)；擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)由對象輸出來觀測其各階的導(dǎo)數(shù)和估計(jì)擾動(dòng)；非線性狀態(tài)誤差反饋(NLSEF)利用TD和ESO的輸出之差來形成控制量u0(t)。用這些誤差的非線性組合和總擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償量來生成對對象的控制量u(t)。

圖2 自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)框圖

2.2 控制器的設(shè)計(jì)

(1)安排過渡過程TD[8]

(3)

A=v1-ur+v2|v2|/2R。

(2)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器ESO[10]

(4)

(3)非線性狀態(tài)誤差反饋NLSEF[11]

(5)

式中：R，det1，det2，det3，bet1，bet2，bet3，a1，a2，a3，a4，a5，b，bt1，bt2為待定參數(shù)，都需經(jīng)調(diào)整確定。由控制規(guī)律的表達(dá)式可知，系統(tǒng)控制規(guī)律與系統(tǒng)內(nèi)部的參數(shù)無關(guān)，而只與系統(tǒng)的輸出和給定輸入有關(guān)。

2.3 模糊自抗擾控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

圖3所示為軸向磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，由二階TD、非線性狀態(tài)誤差反饋NLSEF、三階ESO和模糊控制器組成。因在實(shí)際應(yīng)用中，非線性反饋參數(shù)β1和β2與PD控制器的2個(gè)參數(shù)Kp，Kd的整定十分相似，β1為比例系數(shù)，β2為微分系數(shù)。因此設(shè)計(jì)了一個(gè)模糊控制器，以e1和e2作為控制器的輸入，利用模糊控制規(guī)則在線對自抗擾參數(shù)進(jìn)行修改，以滿足不同時(shí)刻的e1和e2對β1和β2自整定的要求。

圖3 磁軸承閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

2.4 自抗擾控制的參數(shù)整定

由于ADRC的3個(gè)組成部分TD，ESO和NLSEF是相互獨(dú)立設(shè)計(jì)的，其參數(shù)可以獨(dú)立進(jìn)行整定。在參數(shù)整定過程中可以發(fā)現(xiàn)，TD的參數(shù)可以固定化；ESO的參數(shù)與擾動(dòng)幅值成正比，擾動(dòng)幅值越大則相應(yīng)的參數(shù)也就越大[12]；NLSEF參數(shù)的整定可以用PD中的P，D的模糊整定方法[13]。因此，運(yùn)用模糊控制理論，以誤差E和誤差變化率EC作為輸入，利用模糊控制規(guī)則在線對β1和β2參數(shù)進(jìn)行修改，從而滿足不同時(shí)刻的E和EC對β1和β2自整定的要求。

將系統(tǒng)誤差E、誤差變化率EC、輸出U1和U2變化范圍定義為模糊集上的論域：E,EC,U1,U2= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3，且其隸屬度函數(shù)均采用靈敏度很強(qiáng)的三角函數(shù)，如圖4所示。

圖4 E, EC, U1, U2的隸屬度函數(shù)

在該控制器中模糊控制子集為E,EC,U1,U2={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}，針對β1和β2分別建立了模糊控制規(guī)則表，見表1、表2。

表1 參數(shù)β1的模糊控制規(guī)則表

表2 參數(shù)β2的模糊控制規(guī)則表

3 控制系統(tǒng)的仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

文中所采用的軸向主動(dòng)磁軸承仿真參數(shù)如下：控制線圈匝數(shù)為572匝，平衡氣隙δ0為0.45 mm，軸向線圈偏磁電流i0為0.5 A，磁極面積為392 mm2，飽和磁感應(yīng)強(qiáng)度Bs為0.8 T，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m為1 kg，最大承載力為200 N，電流剛度系數(shù)Ki為-397.8 N/A，位移剛度系數(shù)Kx為441 947.1 N/mm。

給定ADRC的參數(shù)取值為：R=220, det1=0.01, det2=0.003, det3=0.003, bet1=5 000,bet2=600 000, bet3=500,α1=0.75,α2=0.5,α3=0.25,α4=0.5,α5=0.75,b=0.5。

利用Matlab軟件的Simulink工具箱搭建磁軸承系統(tǒng)模型并進(jìn)行仿真，其仿真框圖如圖5所示。

圖5 軸向主動(dòng)磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)的仿真框圖

3.1 階躍響應(yīng)仿真試驗(yàn)

圖6所示為系統(tǒng)在輸入單位階躍信號(hào)時(shí)的位移響應(yīng)特性曲線，從中可以看出，系統(tǒng)在0.12 s后進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)速度非常快，超調(diào)量很小，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間短，幾乎沒有靜差，動(dòng)、靜態(tài)性能良好。

圖6 單位階躍響應(yīng)位移曲線

3.2 抗干擾性仿真試驗(yàn)

ADRC利用ESO所產(chǎn)生的信號(hào)z3(t)對總擾動(dòng)(包括系統(tǒng)模型攝動(dòng)和外擾動(dòng))進(jìn)行估計(jì)，然后進(jìn)行相應(yīng)的反饋補(bǔ)償，因而系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力依賴于z3(t)對系統(tǒng)總擾動(dòng)估計(jì)的精確度。

假設(shè)系統(tǒng)受到了幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動(dòng)，圖7給出了z3(t)對擾動(dòng)力的估計(jì)曲線。由圖可知z3(t)能夠較準(zhǔn)確地估計(jì)出系統(tǒng)受到的擾動(dòng)力。

圖7 z3對擾動(dòng)力的估計(jì)曲線

圖8所示為轉(zhuǎn)子在平衡位置空載，系統(tǒng)只受到幅值為30 N按鋸齒波變化的擾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子的響應(yīng)曲線。從仿真結(jié)果看出系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)子只有極其微小的偏移量，說明系統(tǒng)控制性能良好，抗干擾性能比較強(qiáng)。

圖8 受干擾時(shí)的位移曲線

3.3 魯棒性仿真試驗(yàn)

在系統(tǒng)參數(shù)電流剛度系數(shù)Ki比較理想的情況下，將其減小30%時(shí)，輸入單位階躍信號(hào)，則系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9所示。對照圖9和圖6可知，如果磁軸承的電流剛度減小30%，控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變化很小，從而驗(yàn)證了該控制系統(tǒng)具有比較強(qiáng)的魯棒性，控制性能良好。

圖9 Ki變化后的階躍響應(yīng)位移曲線

4 結(jié)束語

將模糊和自抗擾控制理論用于軸向主動(dòng)磁軸承的控制中，在軟件Matlab的 Simulink上搭建了模糊自抗擾控制系統(tǒng)的模型并對其進(jìn)行了仿真研究。仿真試驗(yàn)表明：所設(shè)計(jì)的軸向主動(dòng)磁軸承模糊自抗擾控制系統(tǒng)具有響應(yīng)速度快、超調(diào)量小、精度高、抗干擾能力強(qiáng)和魯棒性好等特點(diǎn)。