李開元，俞水良，張柏松，陳杰

(1.同濟(jì)大學(xué) 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201805 2.佳盛汽車零部件有限責(zé)任公司，浙江 海寧 314400)

針對輪轂的數(shù)值計算，國內(nèi)有研究者采用2自由度的數(shù)學(xué)模型對輪轂軸承單元承受沖擊載荷的能力、預(yù)調(diào)游隙對壽命的影響等方面進(jìn)行了一定程度的計算分析[1]。但總體而言，在國內(nèi)開展的對輪轂單元的研究不多。下文將基于3自由度模型，以某車型數(shù)據(jù)對第2代球軸承輪轂單元的徑向、軸向及力矩的承載能力，接觸應(yīng)力及接觸橢圓進(jìn)行數(shù)值計算和分析。

1 輪轂軸承單元外部載荷的求解

輪轂軸承單元是地面與車身之間的直接傳力部件，在對輪轂軸承進(jìn)行受力分析時必須先對車輪與地面間的作用力進(jìn)行計算[2]。假設(shè)車輪受到的側(cè)向力、徑向力分別為Fy，F(xiàn)z，此作用力通過輪轂軸承單元傳遞至車身。為方便后續(xù)方程的建立，現(xiàn)將車輪所受力平移至輪轂軸承的中心(2列鋼球的球組節(jié)圓中心點(diǎn)連線的中點(diǎn))，得到輪轂軸承單元所受外部載荷的示意圖(圖1)。

圖1 輪轂軸承外部載荷示意圖

由力學(xué)原理可得

(1)

式中：R為車輪靜半徑(即車輛靜止時車輪中心至地面的距離)；e為車輪受力中心至輪轂軸承中心的軸向偏移距離；Fa，F(xiàn)r，M為輪轂軸承所受外部載荷及力矩。

2 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

2.1 幾何關(guān)系的建立

圖2 外圈位移對溝道的影響

其具體計算方程為

(2)

式中：Dpw為球組節(jié)圓直徑；dc為2列鋼球球組節(jié)圓中心連線的長度；φi為鋼球的位置角。

結(jié)合圖3中鋼球與溝道的幾何關(guān)系得

(3)

圖3 鋼球與溝道幾何關(guān)系示意圖

接觸變形之前鋼球與內(nèi)、外圈溝道之間關(guān)系為

(4)

式中：d1，d2為溝道曲率原始中心距在軸向與徑向上的投影長度。

因此當(dāng)內(nèi)圈發(fā)生徑向、軸向及轉(zhuǎn)角位移時，鋼球的法向變形為

(5)

2.2 平衡方程的建立與求解

得到鋼球的法向變形后，根據(jù)Hertz理論，鋼球的接觸載荷為

(6)

式中：Kn為載荷-位移參數(shù)，由鋼球與溝道的材料及幾何參數(shù)決定[3]。

圖4 鋼球法向載荷分解示意圖

其計算方程如下

(7)

(8)

對于徑向力、軸向力與力矩的正負(fù)進(jìn)行如下規(guī)定：假設(shè)內(nèi)圈固定，外圈受到的由外列指向內(nèi)列的軸向力為正，由下方指向上方的徑向力為正，使外圈發(fā)生順時針旋轉(zhuǎn)的力矩為正。因此(8)式與(7)式中的符號有些不同(參見圖4)。

(9)

由此，將每個鋼球的徑向力、軸向力與力矩求和即為輪轂軸承單元總的載荷平衡方程

(10)

(10)式是關(guān)于δa，δr，θ的多元非線性方程組，在此采用DFP算法[4]進(jìn)行數(shù)值求解。求解過程中應(yīng)注意以下2點(diǎn)。

(1)δa，δr，θ通常都非常小(<0.01)，在迭代計算時初值一般都選為0。若發(fā)生不收斂的情況則可根據(jù)作用載荷的方向及大小進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

(11)

3 計算結(jié)果與分析

以某第2代輪轂軸承單元為例，對軸承內(nèi)的應(yīng)力分布進(jìn)行計算，并著重分析和研究車輪在受到徑向、側(cè)向沖擊力時對輪轂軸承載荷分布的影響。根據(jù)表1 中的數(shù)據(jù)可對輪轂軸承在各行車工況下的載荷分布進(jìn)行求解。

表1 車型參數(shù)

3.1 車輛靜止時軸承的接觸應(yīng)力

車輛靜止時(僅有徑向力4 750 kN)，軸承內(nèi)部應(yīng)力的計算結(jié)果如圖5所示(軸向游隙為-0.02 mm)。由圖5可知，因?yàn)檩喬ナ芰χ行南蛲饬袖撉蚣皽系榔疲?列鋼球及溝道受力并不相等。相應(yīng)地，外列鋼球及溝道接觸應(yīng)力大于內(nèi)列軸承。其詳細(xì)計算結(jié)果見表2(限于篇幅，內(nèi)列鋼球及溝道詳細(xì)計算結(jié)果未列出)。

圖5 車輛靜止時軸承內(nèi)部應(yīng)力分布圖

3.2 車輪受到徑向沖擊載荷時軸承的接觸應(yīng)力

對于徑向沖擊載荷，如果軸承內(nèi)部產(chǎn)生過大的接觸應(yīng)力將會在溝道表面產(chǎn)生塑性變形，形成凹坑，軸承將很快失效。

由表2可見，此時軸承內(nèi)部最大接觸應(yīng)力值僅為1 768.78 MPa，其接觸角為34.87°，相對于原始接觸角35°并未發(fā)生太大變動。

表2 車輛靜止工況下計算結(jié)果(外列鋼球及溝道)

圖6所示是軸承在徑向沖擊力作用下軸承內(nèi)部最大接觸應(yīng)力的變化曲線。由圖6可知，當(dāng)汽車徑向沖擊加速度達(dá)到12g(g為重力加速度，下同)時，外列鋼球及溝道的最大接觸應(yīng)力才剛剛超過4 200 MPa[5]。實(shí)際上，汽車在運(yùn)行過程中徑向沖擊很難達(dá)到如此數(shù)值，因此可以認(rèn)為輪轂軸承承受徑向沖擊載荷的能力完全能夠滿足要求。

圖6 徑向沖擊力作用下輪轂軸承最大接觸應(yīng)力曲線

需要注意的是，當(dāng)只有徑向力作用時，由于車輪受力中心相對于軸承單元的中心向外側(cè)偏移了2 mm，因此外列鋼球及溝道所受載荷始終大于內(nèi)列鋼球及溝道。

3.3 車輪受到側(cè)向沖擊載荷時軸承的接觸應(yīng)力

車輛在轉(zhuǎn)彎時會有側(cè)向加速度，此時輪轂軸承承受的載荷會有很大提高[1]。在此僅針對轉(zhuǎn)彎的外側(cè)軸承單元(若車輛右轉(zhuǎn)則分析左側(cè)車輪的輪轂單元)進(jìn)行分析。

圖7所示的是車輪在受到側(cè)向力作用時輪轂軸承的最大接觸應(yīng)力曲線。圖7表明，外列鋼球及溝道最大接觸應(yīng)力在載荷增加的初期有一個下降的過程，這是因?yàn)榱剌d荷與徑向載荷有一定的抵消，隨著車輪側(cè)向載荷的增加，力矩作用完全占據(jù)上風(fēng)，徑向載荷在總載荷中的比例越來越小。當(dāng)側(cè)向沖擊加速度約為0.75g時，內(nèi)列鋼球及溝道最大接觸應(yīng)力值達(dá)到4 200 MPa。

圖7 側(cè)向沖擊力下軸承最大接觸應(yīng)力曲線

雖然車輪在受到側(cè)向沖擊作用時軸承的接觸應(yīng)力很容易超過極限，但側(cè)向附著系數(shù)即使是在高質(zhì)量的輪胎與最好的路面接觸時也只能夠達(dá)到0.8，因此可以認(rèn)為側(cè)向沖擊加速度大于0.75g的情況在實(shí)際行駛過程中不會出現(xiàn)。由于車輪側(cè)向力的作用，此時內(nèi)列鋼球及溝道承受的載荷大于外列鋼球及溝道。

3.4 車輪受到側(cè)向沖擊載荷時的接觸橢圓

球軸承在軸向力作用下接觸橢圓有可能會超出溝道擋邊，此時Hertz接觸理論將不再適用。而這種情況在車輪受到側(cè)向力時很容易在輪轂軸承上發(fā)生。

圖8所示是車輪受到0.7g側(cè)向沖擊加速度作用時輪轂軸承的接觸橢圓。由圖8可見，內(nèi)、外圈的接觸橢圓都稍稍超出了擋邊的最高處，所以此時內(nèi)、外圈的最大接觸應(yīng)力應(yīng)該在4 087.9 MPa和3 729.2 MPa(圖7)的基礎(chǔ)上有所增大，即實(shí)際上在這種情況下接觸應(yīng)力就已經(jīng)很接近甚至超出4 200 MPa的極限值。

圖8 0.7g側(cè)向載荷作用下的接觸橢圓

4 結(jié)論

(1)輪轂軸承內(nèi)部接觸應(yīng)力對徑向載荷的增加不敏感，且車輪在僅受徑向力作用時,因?yàn)檩喬ナ芰χ行牡钠疲饬袖撉蚣皽系莱惺艿妮d荷大于內(nèi)列鋼球及溝道承受的載荷。

(2)輪轂軸承內(nèi)部接觸應(yīng)力隨著車輪側(cè)向載荷的增大而快速增大，且在由此產(chǎn)生的軸向力的作用下內(nèi)列鋼球及溝道承受的載荷大于外列鋼球及溝道承受的載荷。

(3)車輪受到側(cè)向沖擊載荷時，輪轂軸承接觸橢圓將不斷拉長并超出擋邊的范圍，軸承單元的側(cè)向承載能力會小于理論計算值。

(4)算例中的輪轂軸承在側(cè)向沖擊加速度為0.7g時接觸應(yīng)力已接近或者超過4 200 MPa的極限值，而在實(shí)際行車過程中此種情況并非不可能發(fā)生，因此這一輪轂軸承對側(cè)向沖擊載荷承載能力的設(shè)計上有待改進(jìn)。