李 勇

（重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067）

1 灰數(shù)的定義

灰色系統(tǒng)理論是1982年由鄧聚龍教授原創(chuàng)的，是處理少數(shù)據(jù)不確定性問題的理論。少數(shù)據(jù)不確定性即稱灰性。而灰統(tǒng)計(jì)是指將統(tǒng)計(jì)對(duì)象的實(shí)際樣本通過白化權(quán)函數(shù)抽象為數(shù)字量（即灰統(tǒng)計(jì)量），按此灰統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)出對(duì)象所屬灰類的權(quán)。

灰數(shù)指只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)，常指某個(gè)區(qū)間或某個(gè)一般數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)。本文的灰數(shù)主要指區(qū)間灰數(shù)?∈[a,b]，灰數(shù)的白化值記為?=ax+(1-x)b,x∈[0,1]，其白化權(quán)函數(shù)主要指三角形（態(tài)）（適中測度）白化權(quán)函數(shù)，其一般形式為

灰數(shù)的α截集[]α為

2 灰色統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

假設(shè)X～(μ,σ2),σ2為已知。隨機(jī)抽取一組樣本量為n樣本，樣本均值為。設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)為

原假設(shè):H0:μ=μ0? 對(duì)立假設(shè):H1:μ≠μ0

其中灰數(shù)的α截集[α]為

3 灰色統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)判斷準(zhǔn)則

設(shè)灰色檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值分別是灰數(shù)和，其白化值分別對(duì)應(yīng)于和其中表示正態(tài)分布N(0,1)中滿足概率設(shè)此兩個(gè)臨界值灰數(shù)的α截集分別為和

首先，計(jì)算cv21(α)和cv22(α)，定義cv22(α)滿足下式

其中z0服從正態(tài)分布N(0 ,1)，有得：

同理，定義cv21(α)為

得：

其中，γ為定值且，0.01≤α≤1。

現(xiàn)在已經(jīng)求得灰色檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和臨界值灰色統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的決斷方法，是將依和的關(guān)系來決定，當(dāng)Zˉ與比較時(shí)，將會(huì)得到三種結(jié)果：＜,＞,≈。其結(jié)果之九種組合情況見下表。

Zˉ 和 ------CV2比較CV2 Zˉ≈ ------CV2 Zˉ ＞ ------Zˉ 和------CV1比CV2 Zˉ＜ ------Zˉ ＜ ------CV1× 拒絕H0 ×較Zˉ ＞ ------CV1 Zˉ ≈ ------CV1拒絕H0 接受H0 無法判斷× 無法判斷 無法判斷

（1）灰色統(tǒng)計(jì)決斷為“拒絕H0”的組合有兩個(gè)：且且

（2）灰色統(tǒng)計(jì)決斷為“接受H0”的組合有一個(gè)：Z且

根據(jù)上述規(guī)則，可以進(jìn)行灰色統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的判斷（拒絕H0、接受H0或無法判斷）。

4 灰色統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)判定

灰色檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Zˉ和臨界值的白化權(quán)函數(shù)都是三角形（態(tài)）（適中測度），且根據(jù)和臨界值的α截集，可知灰色統(tǒng)計(jì)量Zˉ和臨界值的白化值分別為和利用關(guān)于灰數(shù)排序的方法，對(duì)Zˉ 和臨界值比較。

首先，對(duì)灰色檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和右尾臨界值比較，比較兩個(gè)灰數(shù)的白化值大小，其結(jié)果說明如下：

同理，對(duì)灰色檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和左尾臨界值比較，以類似方法來判斷。故其灰色統(tǒng)計(jì)決斷方法歸納如下：

5 實(shí)例應(yīng)用

例：設(shè)X～N(μ,σ2)，μ0=1,σ=2。現(xiàn)根據(jù)簡單隨機(jī)抽樣獲得一組來自該總體的有效隨機(jī)樣本X1,...,X100，其樣本均值為=1.32。在檢驗(yàn)水平γ=0.05下，進(jìn)行灰色統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)（其中0.01≤α＜1）。

解：因?yàn)闄z驗(yàn)水平γ=0.05，得又

根據(jù)判斷準(zhǔn)則得，灰色統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果是：無法判斷。需要進(jìn)一步的檢驗(yàn)才能確定。

6 結(jié)論

利用隨機(jī)信息進(jìn)行參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容。但經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，都是建立在明確數(shù)據(jù)上的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。而現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)據(jù)，帶有模糊或灰色數(shù)據(jù)。本文借助于灰色系統(tǒng)的方法，建立了在隨機(jī)樣本的信息下，正態(tài)均值的灰色統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法。并列舉實(shí)例與經(jīng)典的N-P假設(shè)檢驗(yàn)方法進(jìn)行比較，從而說明灰色統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)方法能夠提供更多的有效信息。

[1] 劉思峰，黨耀國，方志耕等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用（5版）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2] 李勇，張維，陳正偉.隨機(jī)樣本中正態(tài)均值的灰色區(qū)間估計(jì)研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010,（13）.

[3] Li Yong.The Study on the Gray Interval Estimation of Normal Means in Variance Unknown[C].2010 International Institute of Statistics&Management Engineering Symposium，2010,08.

[4] James J.Buckley，F(xiàn)uzzy Statistics[M].Berlin：Springer-Verlag,2004.