閆海波，陳敬良

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海200093）

1 地價(jià)增長(zhǎng)率與GM(1,1)建模

1.1 地價(jià)增長(zhǎng)率

房?jī)r(jià)問(wèn)題是當(dāng)前理論和現(xiàn)實(shí)的熱點(diǎn)問(wèn)題。而地價(jià)是房?jī)r(jià)的核心構(gòu)成要素。從某種意義上講，房?jī)r(jià)問(wèn)題就是地價(jià)問(wèn)題。房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率幾乎是地價(jià)增長(zhǎng)率的遞推與映射。地價(jià)增長(zhǎng)率對(duì)于國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策、企業(yè)的戰(zhàn)略決策、民眾理財(cái)方式的選擇，都是較重要的數(shù)據(jù)；特別是近期來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)已呈現(xiàn)較明顯的通脹形勢(shì)下，更受到人們普遍關(guān)注。因此，研究地價(jià)及其變化規(guī)律，具有一定的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

地價(jià)增長(zhǎng)率主要反映地價(jià)水平的變化程度，使用簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，計(jì)算公式為：地價(jià)增長(zhǎng)率(%)=（當(dāng)期平均地價(jià)－前一期平均地價(jià))÷前一期平均地價(jià)×100%。

1.2 GM(1,1)預(yù)測(cè)模型

GM(1,1)預(yù)測(cè)模型是以灰色系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立,對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)狀態(tài)作出科學(xué)的定量預(yù)測(cè)的一種方法；目前較為成熟的預(yù)測(cè)方法已超過(guò)200種，各種不同的預(yù)測(cè)方法有其所適用的特定對(duì)象,不存在一種普遍“最好”的預(yù)測(cè)方法。之所以采用GM(1,1)模型是基于以下二個(gè)方面的考量：第一，目前的預(yù)測(cè)方法多以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，對(duì)樣本量有較高的要求。市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下地價(jià)增長(zhǎng)率只有短短三十年的數(shù)據(jù)，不滿足大樣本數(shù)理統(tǒng)計(jì)的要求。而GM(1.1)模型則對(duì)數(shù)據(jù)要求較低，可以完成小樣本條件下的預(yù)測(cè)，理論上講，GM(1,1)只要求4個(gè)數(shù)據(jù)便可以完成建模與預(yù)測(cè)，這是其他統(tǒng)計(jì)方法不可比擬的；第二,計(jì)算量相對(duì)較小,普通電腦即可完成計(jì)算；第三，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，地價(jià)增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)值與實(shí)現(xiàn)情況擬合度較高，方法較為實(shí)用。

2 GM(1,1)模型的建模原理

GM(1,1)中的前一個(gè)1，實(shí)際是n=1，即1階導(dǎo)數(shù)，后一個(gè)1是指一個(gè)變量。因此用GM(1,1)模型來(lái)預(yù)測(cè)地價(jià)增長(zhǎng)率，是針對(duì)時(shí)間序列建模，是一個(gè)微分、差分和指數(shù)兼容的模型。地價(jià)增長(zhǎng)率灰色模型GM(1,1)建模條件如下：

(1)地價(jià)增長(zhǎng)率的原始數(shù)列是等時(shí)間序列，即Δk=Δkt-Δkt-1=1(為常數(shù)，表示時(shí)間間隔)

(2)GM(1,1)模型，當(dāng)k≥4時(shí),具有延展性。

(3)原始數(shù)列為非負(fù)序列。

首先給定原始數(shù)據(jù)：x(0)(k),k=1,2,…,n，為每年地價(jià)增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)序列，記為：

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n))，對(duì)x(0)做累加生成（I-AGO）：

于是有生成序列：

由x(1)建立白化微分方程：

此為GM(1,1)模型的實(shí)質(zhì)。其中，a、b稱為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量。設(shè)為向量參數(shù)，=(a,b)T

可用最小二乘法取得。

其中，B是由1-AGO的緊鄰均值生成的矩陣，其結(jié)構(gòu)如下：

而YN等于原始序列的轉(zhuǎn)秩。

白化形式微分方程的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)即為預(yù)測(cè)函數(shù)[1]：

x(1)(k+1)=(x(1)(1)-b/u)eak+b/a，其中k=1,2,…,n

灰色模型GM(1,1)的預(yù)測(cè)結(jié)果的精度可用“殘差大小檢驗(yàn)法”檢驗(yàn)。

設(shè)x(0)(k)為每年實(shí)際的地價(jià)增長(zhǎng)率，x(1)(k)為根據(jù)GM(1,1)模型預(yù)測(cè)的地價(jià)增長(zhǎng)率，則E(k)為相對(duì)誤差。

3 地價(jià)增長(zhǎng)率的GM(1,1)模型的建模過(guò)程

經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的變化常常具有周期性,因此數(shù)據(jù)量并非越大越好,根據(jù)地價(jià)增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，采用GM(1,1)殘差修正模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，能夠取得較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。以2001年為基期，2002年至2008年的全國(guó)地價(jià)增長(zhǎng)率統(tǒng)計(jì)如表1所示。x（(0)(k)是原始數(shù)據(jù)列，x（(1)(k)為累加之后的數(shù)據(jù)列。

表1 地價(jià)增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)

由圖1可知，地價(jià)增值率的原始數(shù)列毫無(wú)規(guī)律，異常離散，而累加之后卻呈現(xiàn)出類似S型增長(zhǎng)的規(guī)律性。也就是說(shuō)，累加生產(chǎn)使得數(shù)據(jù)變得有規(guī)律，削弱了隨機(jī)性，從而使得預(yù)測(cè)變得可能。由公式（5）(6)計(jì)算得出：

圖1 原始數(shù)列與累加數(shù)列

最終的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)x(1)(k+1)=(x(0)(1)-b/a)e-ak+b/a=(4.39-5.51/0.04)e-0.01k-5.51/0.01;

根據(jù)此函數(shù),預(yù)測(cè)2002年～2008年土地增長(zhǎng)率的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值比較結(jié)果如表2所示，其中，x1(0)(k)為預(yù)測(cè)值。

表2 初步預(yù)測(cè)結(jié)果

由表2可知，殘差較大，預(yù)測(cè)精度不盡滿意。進(jìn)而考慮殘差的GM(1,1)模型，對(duì)原模型進(jìn)行修正。

所謂殘差GM(1,1)模型，就是對(duì)殘差進(jìn)行建模，生成時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，從而形成對(duì)原響應(yīng)函數(shù)的修正。殘差模型一般只注意修正預(yù)測(cè)原點(diǎn)附近的數(shù)，而不要求修正所有的數(shù)。2008年為預(yù)測(cè)原點(diǎn)，可取2005年～2008年的殘差進(jìn)行二次GM(1,1)建模。

此時(shí)，殘差GM(1,1)模型中的a=-0.3806,b=1.9835;

時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

q1(1)(k+1)=(q(0)(1)-b/a)e-ak+b/a=(1.44+1.9835/0.3806)e0.3806k+1.9835/0.3806

對(duì)上式取導(dǎo)數(shù)，得q1(0)(k+1)=0.3806*(1.44+1.9835/0.3806)e0.3806k=6.65e0.03806k。

對(duì)x(1)(k+1)求導(dǎo)數(shù)，得x1(0)(k+1)=-0.01*(4.39-5.51/0.04)e-0.01k=1.336e-0.01k

綜合以上兩式，得修正之后的模型為:

x(1)(k+1)=1.336e-0.01k-β(k-4)6.65e0.03806k

根據(jù)此模型，在預(yù)測(cè)點(diǎn)2008年以后的2年，地價(jià)增長(zhǎng)率分別為5.87%,7.83%。

實(shí)際的地價(jià)增長(zhǎng)率為5.05%，8.8%（2010年前三個(gè)季度）。預(yù)測(cè)結(jié)果可以接受。

4 結(jié)論

根據(jù)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，全國(guó)綜合地價(jià)增長(zhǎng)率將在2012年超過(guò)10%，而事實(shí)上在2010年第3季度，商業(yè)用地地價(jià)增長(zhǎng)率已經(jīng)超過(guò)了10%。地價(jià)不可避免的增長(zhǎng)趨勢(shì)無(wú)疑會(huì)傳導(dǎo)到房?jī)r(jià)。地價(jià)增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門相互作用的結(jié)果，因此數(shù)據(jù)本身就能夠解釋自己和經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)?；诨疑碚摰腉M(1,1)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)了地價(jià)增長(zhǎng)率，與現(xiàn)實(shí)擬合度較好。

[1] 鄧聚龍.灰色系統(tǒng)基本方法[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,1988,(40).

[2] 凌學(xué)文,李樹剛,任海峰.GM(1,1)模型在市場(chǎng)需求預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].西安科技學(xué)院學(xué)報(bào),2003,(12).

[3] 鄭榮臻.企業(yè)商品交易價(jià)格指數(shù)的GM(1.1)預(yù)測(cè)模型[J].時(shí)代金融,2008,(7).