張 靜，岳德權(quán)，王麗花

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

20世紀(jì)80年代開始，很多學(xué)者開始研究帶有溫貯備部件的可修系統(tǒng)，詳見文獻[1-7]，其在實際生活中，特別是在生產(chǎn)制造系統(tǒng)、電力系統(tǒng)和工業(yè)系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在生產(chǎn)制造系統(tǒng)中，可以有效的防治因失效的部件得不到及時的修理而造成的資源浪費和生產(chǎn)效率的降低。Jain等[6]研究了帶有溫貯備部件和一個修理工N-策略休假的模型，利用Laplace變換反演的方法得到了系統(tǒng)可靠度和平均壽命的精確表達式，文中只考慮了矩陣的所有特征值全部互異的情況，有很大局限性；Wang等[7]研究了帶有止步和中途退出的帶有溫貯備的可修系統(tǒng)，利用Markov過程理論得到了系統(tǒng)可用度和首次故障前的平均時間的具體表達式，文中沒有考慮修理工休假的情況。

本文對文獻[6]中的方法進一步研究，考慮了矩陣有相同特征值的情況，進而研究了考慮止步現(xiàn)象的R個修理工進行同步多重休假的有多個溫貯備部件的可修系統(tǒng)的瞬態(tài)結(jié)果，利用矩陣?yán)碚摵蚅aplace變換反演的方法求解出了系統(tǒng)故障狀態(tài)概率的精確表達式，從而得到了系統(tǒng)的瞬時可用度的精確表達式。

1 模型假定

本文研究了由m個同型工作部件、w個同型溫貯備部件和R個修理工組成可修系統(tǒng)。模型假定如下：

1)系統(tǒng)正常運行時有m個正在工作的部件。系統(tǒng)還可以退化模式工作：w個溫貯備部件全部故障，系統(tǒng)中有不少于k個但不多于m個部件工作時，系統(tǒng)工作。即當(dāng)且僅當(dāng)至少有R個部件失效時系統(tǒng)失效，k=1,2,…,m。

2)一旦工作部件故障立即用完好的溫貯備部件替換，故障部件立即送修，如果修理工正忙或是休假，故障部件需排隊等待修理。工作部件和溫貯備部件的壽命分別服從參數(shù)為λ和α的指數(shù)分布,1-b。

3)系統(tǒng)有R個修理工，修理時間均服從參數(shù)μ的指數(shù)分布。修理工一旦空閑進行同步多重休假，休假時間服從參數(shù)θ(>0)的指數(shù)分布。一個修理工同時只能修理一個部件，修理順序服從先到先服務(wù)的原則。

4)當(dāng)正在工作的部件少于m個時，故障部件一旦修理完成立即進行工作，即作為工作部件；否則，故障部件修理完成后作為溫貯備部件貯備；溫貯備部件一旦進入系統(tǒng)工作相當(dāng)于工作部件。

5)故障部件以概率1-b止步，以概率N(t)進入系統(tǒng)等待修理。止步的故障部件進入系統(tǒng)的緩沖區(qū)，等到系統(tǒng)中的所有故障部件都修理完時，緩沖區(qū)中的部件按照到達的順序依次被修理。

6)部件間的轉(zhuǎn)換通過轉(zhuǎn)換開關(guān)來實現(xiàn)，轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠，轉(zhuǎn)換是瞬時的；所有隨機變量均相互獨立；故障部件均可修復(fù)如新；初始時刻所有部件均完好。

注：當(dāng)P0i(t)時，系統(tǒng)是m個部件的并聯(lián)系統(tǒng)；當(dāng)t時，系統(tǒng)是m個部件的串聯(lián)系統(tǒng)。

2 瞬時可用度的研究

2.1 微分差分方程組

假設(shè)N(t)表示時刻t系統(tǒng)中故障部件的個數(shù)(包括正在被修理的部件)；J(t)表示時刻t修理工的狀態(tài)，定義如下

則{J(t),N(t),t≥0}是一個二維馬爾科夫過程。過程的狀態(tài)空間Ω={(0,0)}∪{(i,j):i=0,1;j=1,2,…,L}，其中，工作狀態(tài)空間W={(0,0),(0,1),…,(0,L-1),(1,1),…,(1,L-1)}；故障狀態(tài)空間F={(0,L),(1,L)}。

定義系統(tǒng)的狀態(tài)概率:

P0i(t)表示時刻t修理工在休假，系統(tǒng)中有i個部件失效的概率，i=0,1,…,L；

P1i(t)表示時刻t修理工在修理，系統(tǒng)中有i個部件失效的概率，i=1,…,L。

則由Markov過程理論得如下系統(tǒng)狀態(tài)概率滿足的微分差分方程組

(1)

n= 1,2,…,L-1

(2)

(3)

(4)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1P1n-1(t),n= 2,…,R-1

(5)

μn + 1P1n + 1(t) +λn-1bP1n-1(t),

n=R+ 1,…,L-1

(6)

μR + 1P1R + 1(t) +λR-1P1R-1(t)

(7)

(8)

其中

2.2 微分差分方程組的求解

定義系統(tǒng)的狀態(tài)概率向量P(t)=[P00(t),P01(t)…,P0L(t),P11(t),…,P1L(t)]T，對上述微分方程組求Laplace變換，將變換后的方程組寫成矩陣形式

D(s)P*(s)=P(0)

(9)

其中，A2是第一行第一列元素為-μ1，其余元素全為0的(L+1)×L矩陣；

其中

把用P(0)代替D(s)的第L+1列、第2L+1列所得到的矩陣分別記為D1(s)和D2(s)。

引理1[6]令Dk+1表示k+1階的三對角矩陣，則其行列式為

|Dk+1|=dk+1k+1|Dk|-dk+1kdkk+1|Dk-1|,

k=1,2,…,n(n≥2)

(10)

其中

引理2

(11)

令S=-λ,則D(s)=D(-λ)=D(0)-λI=A-λI,因此有

|D(s)|=|A-λI|=(-1)N+L|λI-A|=

引理3

(12)

其中ΔL(s)是三對角矩陣A4的行列式。

該引理可由引理1的迭代公式求得。

引理4

其中，ΔL-1(s)是B4劃去第一列最后一行得到的矩陣的行列式，是三對角矩陣的行列式，可由引理1得出；Δi-1(s),i=1,2,…,L-1是ΔL-1(s)的i-1級順序主子式，也都是三對角形式的矩陣，可由引理1得出。

引理5

|D2(s)|=(-1)L+2θΔL-1(s)·L(s)

(13)

其中

i=1,2,…,L-3,

ΔL-1(s),xi(i=1,2,…,L-1)

由引理4給出。

顯然，det[B4]=(-1)L+2θΔL-1(s)。

由矩陣乘法得到

上式中最后一個行列式按最后一行展開有

其中βi有引理中的形式。

因此，

定理1 系統(tǒng)處于失效狀態(tài)的概率為

(14)

(15)

其中

k=2,…,mn;

k=2,…,mn

其中

Fn(s)=an1+an2(s+rn)+…+anmn(s+rn)mn-1+(s+rn)mn·

n=1,2,…,i;

Fn′(s) =an1+an2(s+rn) + … +anmn(s+rn)mn -1+ (s+rn)mn·

n= 1,2,…,i

(16)

(17)

由文獻[9]，按照有多重極點的部分分式展開法求解有

(18)

(19)

反演(18)和(19)式即得定理結(jié)論。

定理2 系統(tǒng)的瞬時可用度

(20)

證明由文獻[10]，系統(tǒng)的瞬時可用度

A(t) = 1-P0L(t)-P1L(t) =

當(dāng)t→∞時，對(20)式求極限，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度[10]，結(jié)果如下推論1。

推論1

1) 當(dāng)D(0)無零特征根時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度A=1；

2)當(dāng)D(0)有單重零特征根時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

其中ri+1=0是D(0)的單重零特征根。

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