楊杰，鄭海起，劉曉平，王彥剛

(石家莊軍械工程學(xué)院，石家莊 050003)

滾動軸承存在局部缺陷時，其振動信號中的

脈沖信號含有豐富的缺陷信息。若能夠有效地將缺陷引起的脈沖信號提取出來，便可診斷出缺陷存在的部位[1]。

形態(tài)學(xué)濾波器作為一種非線性濾波器，可以有效地提取信號的邊緣輪廓以及形狀特征，克服了線性濾波的不足。目前，形態(tài)濾波在旋轉(zhuǎn)機械振動信號濾波方面已經(jīng)有一定的應(yīng)用[2]，但是經(jīng)典的形態(tài)學(xué)濾波在取單一結(jié)構(gòu)元素的情況下存在缺陷[3]，因此各種針對結(jié)構(gòu)元素的改進算法相繼出現(xiàn)，如基于權(quán)重的形態(tài)學(xué)運算[4]、多尺度結(jié)構(gòu)元[5]和結(jié)構(gòu)元的自適應(yīng)優(yōu)化算法[6]等。

文獻[7]提出了柔性形態(tài)學(xué)(Soft Mathematical Morphology)的概念，研究表明柔性形態(tài)學(xué)對加性噪聲和信號的微小變化不敏感，能同時去除信號中的正負噪聲，并保留細節(jié)。文獻[8]比較了柔性形態(tài)濾波(Soft Morphological Filter，SMF)和小波包的濾波效果，表明SMF在診斷外圈故障和滾動體故障時的優(yōu)越性。

在此提出了一種多尺度柔性形態(tài)濾波(Multi-scale Soft Morphological Filter，MSMF)方法，并將其應(yīng)用于軸承故障診斷。

1 數(shù)學(xué)形態(tài)濾波

1.1 基本形態(tài)運算

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運算包括腐蝕、膨脹、開運算和閉運算。設(shè)一維信號f(n)為定義在F=(0,1,…,N-1)上的離散函數(shù)，結(jié)構(gòu)元素g(n)為定義在G=(0,1,…,M-1)上的離散函數(shù)，且N≥M，則g(n)對f(n)的腐蝕和膨脹運算分別定義為

(fΘg)(n)=min[f(n+m)-g(m)],

(1)

(f⊕g)(n)=max[f(n-m)+g(m)],

(2)

式中：m∈(0,1,…,M-1)。

g(n)對f(n)的開運算和閉運算分別定義為

(f°g)(n)=(fΘg⊕g)(n),

(3)

(f·g)(n)=(f⊕gΘg)(n)。

(4)

通常開、閉運算用于構(gòu)成各種形態(tài)濾波器，而它們本身就是最基本的形態(tài)濾波器，且以不同的方式平滑信號。開運算可抑制信號中的正噪聲；相反，閉運算可抑制信號中的負噪聲。

1.2 柔性形態(tài)濾波

在柔性數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，結(jié)構(gòu)元素被分割成硬核和柔性邊緣兩部分，經(jīng)典形態(tài)算子中的最大最小運算在柔性形態(tài)算子中被排序統(tǒng)計所代替，且最主要的思想是引入了定義一種重復(fù)集。

柔性形態(tài)學(xué)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由[B，A，k]3個參數(shù)組成，有限集A和B為定義在Z上的凸集，k滿足于1

{k<>f(a)}={f(a),f(a),…,f(a)}，

式中：k為正整數(shù)，且1≤k≤min{|B|/2,|BA|}，a∈B。

[B，A，k]對f的腐蝕和膨脹分別定義為

fΘ[B,A,k](x)=min(k){k<>f(a):a∈Ax}∪

{f(b):b∈(BA)x},

(5)

f⊕[B，A，k](x)=max(k){k<>f(a):a∈Ax}∪

{f(b):b∈(BA)x},

(6)

其中，min(k)表示取第k小的值，同理max(k)表示取第k大的值。當k=1時，柔性形態(tài)變換與經(jīng)典形態(tài)變換相同；當|A|=0時，柔性形態(tài)變換與順序形態(tài)變換相同。

設(shè)A，B的映像集分別為AS，BS，則結(jié)構(gòu)元素[B，A，k]對f進行形態(tài)開和形態(tài)閉運算定義如下

f°[B,A,k]=(fΘ[B,A,k])⊕[BS,AS,k],

(7)

f·[B,A,k]=(f⊕[B,A,k])Θ[BS,AS,k]。

(8)

由以上定義可知，在柔性形態(tài)學(xué)運算中，落入到硬核區(qū)域中的信號數(shù)據(jù)權(quán)重較大，而落入到軟核區(qū)域中的信號數(shù)據(jù)權(quán)重較小。因此，和標準形態(tài)學(xué)運算比較，柔性形態(tài)學(xué)運算具有更好的保持細節(jié)和抗噪聲功能[9]。

2 多尺度柔性形態(tài)濾波

2.1 多尺度形態(tài)學(xué)

多尺度運算是一個由粗到細的多層次描述和處理方法，如同人的感知過程，先通過對大范圍特征進行粗分析，再通過捕捉細節(jié)使分析越來越精細，最后獲得對感知對象的準確認識。在具體實施過程中，其采用不同尺寸的結(jié)構(gòu)元素對信號進行變換。

假設(shè)給定了形態(tài)運算T和信號X，則基于T的多尺度形態(tài)學(xué)運算可定義為一族形態(tài)學(xué)變換{Tλ|λ>0}，其中Tλ定義為

Tλ(X)=λT(X/λ),λ>0,

(9)

式中：λ>0為刻度，即可推導(dǎo)出多尺度膨脹、腐蝕、開和閉運算分別為

(fΘg)λ(n)=fΘλg1/λ(n),

(10)

(f⊕g)λ=f⊕λg1/λ(n)，

(11)

(f°g)λ=f°λg1/λ(n)，

(12)

(f·g)λ=f·λg1/λ(n)，

(13)

式中：g1/λ(n)=g(n/λ)。若結(jié)構(gòu)函數(shù)取凸函數(shù)，隨著刻度的增大，多刻度運算會濾去信號更大的變化，使信號越來越簡單。

2.2 多尺度柔性形態(tài)濾波

將柔性形態(tài)學(xué)中的硬核A進行多尺度化，即實現(xiàn)了多尺度柔性形態(tài)運算，其膨脹和腐蝕分別定義為

{fΘ[B,A,k]}λ(x)=min(k){k<>λf(a/λ):a∈Ax}∪{f(b):b∈(BA)x},

(14)

f⊕[B,A,k](x)=max(k){k<>λf(a/λ):a∈Ax}∪{f(b):b∈(BA)x}。

(15)

由此可推導(dǎo)出開運算和閉運算的表達式，這里不再贅述。MSMF對SMF中的核結(jié)構(gòu)元素多尺度化使得形態(tài)運算更加靈活，從而達到進一步改善形態(tài)濾波器性能的目的。

3 在軸承故障診斷中的應(yīng)用

在某型單級齒輪箱上進行試驗驗證。在該系統(tǒng)中，由電動機帶動輸入軸，輸出軸帶動負載。主動齒輪齒數(shù)Z1為30，被動齒輪齒數(shù)Z2為50，輸入端滾動軸承型號為6206，局部損傷故障分別在鋼球、內(nèi)圈和外圈表面采用電火花機加工制作，損傷直徑為0.178 mm。試驗時采樣頻率fs為12 800 Hz，采樣時長為1 s，轉(zhuǎn)速為1 136 r/min，計算可得內(nèi)圈故障的特征頻率為102.5 Hz，外圈故障的特征頻率為67.9 Hz，鋼球故障的特征頻率為89.2 Hz。

測得軸承故障信號的時域波形如圖 1所示。圖 2是對原始信號直接進行Fourier變換得到的頻譜圖，由圖 2可知，軸承故障特征頻率完全被噪聲所淹沒，無法診斷出任何故障。

圖1 軸承3種故障的原始信號

圖2 原始信號的頻譜圖

選擇結(jié)構(gòu)元素B的長度為20，A的長度為7，k為2，λ為2，取MSMF開和閉運算的平均值，濾波后的時域如圖3所示，頻譜如圖4所示。由圖4可知，經(jīng)過MSMF濾波后，轉(zhuǎn)頻及內(nèi)圈、外圈和鋼球的故障特征頻率及其倍頻清晰可見，從而能診斷出軸承的3種故障。

圖3 多尺度柔性形態(tài)濾波時域圖

圖4 多尺度柔性形態(tài)濾波頻譜圖

4 與柔性形態(tài)濾波的比較

文獻[1]給出了形態(tài)濾波解調(diào)和Hilbert變換解調(diào)比較結(jié)果，表明形態(tài)濾波解調(diào)和Hilbert變換解調(diào)相比能獲得更好的信噪比，在此不再贅述。下文以外圈損傷為例對多尺度柔性形態(tài)濾波和柔性形態(tài)濾波的效果進行比較，對圖 1b所示軸承外圈損傷信號進行柔性形態(tài)濾波，A，B，k的取值同上，取開運算和閉運算的平均值，濾波后的時域和頻域如圖5所示。

圖5 柔性形態(tài)濾波效果圖

由圖5可知，柔性形態(tài)濾波同樣能達到濾除噪聲的目的，但是濾波后信號的幅值明顯降低，說明柔性形態(tài)濾波在濾除噪聲的同時也濾除了部分的沖擊脈沖，且濾波后仍有較大噪聲，這為進一步的故障診斷帶來不便，相比之下，多尺度柔性形態(tài)濾波在濾除噪聲的同時能更好地保留原始信號中的沖擊成分，因此其濾波效果優(yōu)于柔性形態(tài)濾波的濾波效果。

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)形態(tài)濾波作為一種很好的非線性濾波方法在機械故障診斷領(lǐng)域獲得了越來越廣泛的應(yīng)用，但是經(jīng)典的形態(tài)學(xué)濾波由于取單一結(jié)構(gòu)元素，故在濾波效果上存在很大不足，常常會濾除對診斷具有很大價值的脈沖信號。柔性形態(tài)學(xué)在魯棒性和保留細節(jié)方面對經(jīng)典形態(tài)學(xué)做了改進，在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于多尺度的柔性形態(tài)濾波算法，該算法進一步優(yōu)化了柔性形態(tài)運算中的結(jié)構(gòu)元素，目的是更好地提取軸承故障信號的沖擊脈沖。試驗表明，多尺度柔性形態(tài)濾波在獲得較高信噪比的同時，比經(jīng)典的柔性形態(tài)濾波能夠更好地保留故障軸承原始信號中的沖擊成分。

除了形態(tài)算子的設(shè)計影響濾波效果外，結(jié)構(gòu)元素、k和λ值的選擇對結(jié)果的影響也較大，針對軸承振動信號如何選取適當?shù)慕Y(jié)構(gòu)元素及其內(nèi)核的大小以及k，λ值，以獲得更好的處理效果，還有待進一步研究。