喬 芳，林小玲

(上海大學(xué)，上海200072)

0 引 言

近年來，磁懸浮技術(shù)被廣泛地用于各種實(shí)際的應(yīng)用領(lǐng)域。但由于磁懸浮系統(tǒng)中存在著許多不確定性因素，因此強(qiáng)魯棒控制器的設(shè)計(jì)成為新的研究熱點(diǎn)。在眾多的魯棒控制理論中，魯棒H∞控制被認(rèn)為是魯棒性最強(qiáng)的控制方法之一，魯棒H∞控制包含了傳統(tǒng)控制方法與現(xiàn)代控制方法的優(yōu)點(diǎn)，有很強(qiáng)的魯棒性及抗干擾能力，但是在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)需要根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)合理地選擇加權(quán)函數(shù)，而魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的加權(quán)函數(shù)的選擇卻依賴于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)，至今無規(guī)律可循［1－4］。

本文針對(duì)混合磁懸浮系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了H∞控制器，其仿真結(jié)果表明系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性。

1 混合磁懸浮控制系統(tǒng)的模型

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

混合磁懸浮控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，此系統(tǒng)由永磁體、電磁鐵、線圈、電流及位置傳感器、控制器、功放及懸浮體等部分構(gòu)成。永磁鐵產(chǎn)生的磁場(chǎng)作為系統(tǒng)的偏置磁場(chǎng)，電磁鐵線圈通以驅(qū)動(dòng)電流后產(chǎn)生的磁場(chǎng)作為系統(tǒng)的控制磁場(chǎng)。系統(tǒng)工作時(shí)，通過獲得的電流和位移反饋來控制線圈電流的大小和方向，以達(dá)到控制電磁力的大小和方向，從而使電磁力與懸浮體的重力平衡，最終使系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖1 混合磁懸浮實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

1.2 混合磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)圖1的混合磁懸浮系統(tǒng)中的混合勵(lì)磁電磁鐵做如下假定:

(1)磁路中鐵磁材料的磁導(dǎo)率無窮大，磁勢(shì)均勻地分布在氣隙和永磁鐵上;

(2)忽略電磁線圈和永磁鐵的漏磁通;

(3)假定懸浮體作用面的剛度系數(shù)無窮大，不考慮懸浮體本身的彈性振動(dòng)和動(dòng)態(tài)形變，其受力僅為豎直方向上的磁吸力、重力和外界擾動(dòng)力;

對(duì)如圖1所示的混合磁懸浮系統(tǒng)建立線圈電壓平衡方程和懸浮物垂直方向運(yùn)動(dòng)方程，所得方程為非線性方程，難以精確地求出方程解。采用傳統(tǒng)基于標(biāo)稱點(diǎn)線性化模型設(shè)計(jì)方法，可得線性化方程組:

式中:m為懸浮質(zhì)量;fd為外部干擾力;Δu、Δi分別為電磁鐵電壓和電流相對(duì)平衡點(diǎn)的增量;ky為氣隙y(t)變化單位值時(shí)，磁力的變化值;ki為線圈電流i(t)變化單位值時(shí)，磁力的變化值;L0為混合磁鐵在平衡點(diǎn)處的電感。

對(duì)式(1)進(jìn)行Laplace變換，可得:

本文采用電流控制模型，將懸浮氣隙作為電流的函數(shù)，驅(qū)動(dòng)環(huán)節(jié)視為跟隨性能很好的電流源，由式(2)可得系統(tǒng)電流控制模型:

該系統(tǒng)，m=1.225 kg，平衡位置取為 y=17 mm，平衡時(shí)靜態(tài)電流i0=0。由此得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):

由此得出，開環(huán)控制時(shí)此系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)位于復(fù)平面的右半平面，即開環(huán)系統(tǒng)控制時(shí)是不能達(dá)到穩(wěn)定的，須引入反饋控制。

2 魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

2.1 魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)分析

H∞控制器設(shè)計(jì)是一種依賴于模型的設(shè)計(jì)方法。進(jìn)行H∞控制器的設(shè)計(jì)時(shí)，首先必須建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，然后將該模型化為H∞標(biāo)準(zhǔn)控制問題所對(duì)應(yīng)的增廣被控對(duì)象的模型，最后，按照H∞標(biāo)準(zhǔn)控制問題的求解方法設(shè)計(jì)控制器。在實(shí)際應(yīng)用中，許多控制問題均可轉(zhuǎn)化成魯棒H∞控制問題，如魯棒穩(wěn)定性、跟蹤、干擾抑制等。H∞控制的目的就是要求使得系統(tǒng)的外界干擾到系統(tǒng)的可控輸出在范數(shù)意義下控制在一定的水平。實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)H∞問題即是在系統(tǒng)中以加權(quán)函數(shù)去影響閉環(huán)系統(tǒng)的某些性能，使得設(shè)計(jì)的控制器具有魯棒性。如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問題

圖2中，r為輸入，u為控制輸入，z為評(píng)價(jià)輸出(即可控輸出)，y為系統(tǒng)輸出，K為控制器，G為廣義受控對(duì)象。廣義受控對(duì)象是在被控對(duì)象基礎(chǔ)上進(jìn)行加權(quán)增廣得到的，即G不僅包含實(shí)際系統(tǒng)的模型函數(shù)，還包含為滿足系統(tǒng)性能而引入的加權(quán)函數(shù)。

而H∞混合靈敏度優(yōu)化法恰是一種多變量魯棒控制器設(shè)計(jì)的有效方法，此方法是指閉環(huán)控制系統(tǒng)性能可以通過合理地選取權(quán)函數(shù)來達(dá)到，靈敏度函數(shù)表示了由干擾輸入d到系統(tǒng)輸出y的傳遞函數(shù)，同時(shí)也是從參考輸入r到系統(tǒng)偏差e的傳遞函數(shù)，它反映了系統(tǒng)對(duì)輸出端擾動(dòng)的抑制性能，是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)。顯然，靈敏度越小越好。進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，為了保證控制系統(tǒng)的魯棒性，一般都將魯棒H∞控制問題轉(zhuǎn)化為混合靈敏度問題進(jìn)行計(jì)算，控制系統(tǒng)如圖3所示［3］。

圖3 混合靈敏度問題的標(biāo)準(zhǔn)框架

圖3中:G(s)為開環(huán)傳遞函數(shù);K(s)為H∞控制器;r、e、u、d、z、y 及 n 分別為輸入、誤差信號(hào)、控制量、干擾量、評(píng)價(jià)系統(tǒng)輸出、系統(tǒng)輸出及噪聲。W1(s)、W2(s)和W3(s)分別為系統(tǒng)的性能權(quán)、控制器輸出權(quán)，魯棒權(quán)。它們分別決定了系統(tǒng)的抗干擾能力、參數(shù)攝動(dòng)的范數(shù)界和系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。從參考輸入r到e，u和y的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為:

式中:S和T分別為控制系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)。對(duì)于混合磁懸浮控制系統(tǒng)，將預(yù)先設(shè)定的懸浮體的平衡位置作為輸入量，r和u作為控制器量，誤差信號(hào)和懸浮體的偏移位置量作為廣義被控對(duì)象的輸出。對(duì)于圖3的控制系統(tǒng)的魯棒H∞混合靈敏度問題的標(biāo)準(zhǔn)框架:

其中，廣義受控對(duì)象及其狀態(tài)表達(dá)式:

由式(6)構(gòu)成的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣:

混合磁懸浮控制系統(tǒng)的魯棒H∞混合靈敏度設(shè)計(jì)即尋找有理函數(shù)控制器K，使閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定，且‖P‖∞最小。設(shè)最小值為γ0，但是通常比較難找到準(zhǔn)確解，所以一般采用準(zhǔn)最優(yōu)解，即找一個(gè)穩(wěn)定的控制器 K，使‖P‖∞=γ≥γ0。故有:

或

這就使混合磁懸浮控制系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換成了混合靈敏度控制的設(shè)計(jì)問題。

2.2 權(quán)函數(shù)陣的設(shè)計(jì)選擇

H∞控制器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是對(duì)靈敏度函數(shù)S、R和T的加權(quán)函數(shù)W1(s)、W2(s)和W3(s)的選擇過程。加權(quán)函數(shù)選擇合適與否決定了系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。本文加權(quán)函數(shù)的選取遵循如下規(guī)則［3－7］:

(1)遵循魯棒控制第一定理

靈敏度加權(quán)函數(shù)W1(s)應(yīng)滿足:

補(bǔ)靈敏度函數(shù)T是系統(tǒng)輸出與參考輸入之間的傳遞函數(shù)矩陣，補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)W3(jω)應(yīng)滿足:［T(jω)］是 T(jω)的奇異值，W3(s)是系統(tǒng)所期望的復(fù)合干擾的幅值。

(2)階次要求

在滿足魯棒第一定理不等式(10)和式(11)的條件下，應(yīng)盡量選擇低階次的權(quán)函數(shù)，通常選擇一階函數(shù)。

(3)W1、W2的截止頻率

W1截止頻率應(yīng)選擇在低頻段，以保證控制系統(tǒng)有良好的低頻跟蹤能力。W3截止頻率應(yīng)該向高頻段偏移，從而過濾掉外界的復(fù)合干擾。

(4)W1、W3的幅值特性

在保證整個(gè)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，靈敏度加權(quán)因子W1要求在低頻段增益大，高頻段的增益為零即可。補(bǔ)靈敏度加權(quán)因子W3在低頻段要求增益很小，在高頻段增益要大。

依據(jù)以上設(shè)計(jì)原則，經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)本文選取加權(quán)函數(shù)如下:

通過Matlab魯棒控制工具箱，結(jié)合式(4)和式(12)，最終求得到系統(tǒng)H∞控制器:

圖4 奇異值曲線

3 系統(tǒng)仿真

根據(jù)以上分析，借助Matlab的 Simulink工具箱，建立混合磁懸浮控制系統(tǒng)的仿真模型，控制器K采用S－Function編寫，仿真模型如圖5所示。

圖5 磁懸浮系統(tǒng)的H∞控制器仿真框圖

將H∞控制器用于混合磁懸浮控制系統(tǒng)的仿真，與傳統(tǒng)的PID控制器仿真進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 H∞控制器控制時(shí)的仿真波形

從圖6中可以看出，采用PID控制，系統(tǒng)的超調(diào)量約為19%，系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間約在2.5 s，而采用H∞控制，系統(tǒng)的超調(diào)量不到5%，穩(wěn)定時(shí)間在0.6 s左右，另外系統(tǒng)的上升時(shí)間也比PID控制的要小。可見，H∞控制的系統(tǒng)性能明顯優(yōu)于PID控制。

4 結(jié) 語

本文對(duì)現(xiàn)有的混合磁懸浮控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了混合磁懸浮系統(tǒng)的H∞控制器，并進(jìn)行了仿真研究，且與傳統(tǒng)的PID控制方法進(jìn)行了仿真比較。結(jié)果表明:基于H∞的魯棒控制器明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器的控制性能，這為今后對(duì)魯棒H∞控制方法的研究與設(shè)計(jì)起到了很好的參考借鑒作用。

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