毛晨曦，周文松，歐進(jìn)萍 ，3

(1．中國(guó)地震局 工程力學(xué)研究所，150080哈爾濱，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，150090哈爾濱;3．大連理工大學(xué)土木水利學(xué)院，116024遼寧大連)

基于小波能量傳遞函數(shù)譜的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別

毛晨曦1，2，周文松2，歐進(jìn)萍2，3

(1．中國(guó)地震局 工程力學(xué)研究所，150080哈爾濱，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，150090哈爾濱;3．大連理工大學(xué)土木水利學(xué)院，116024遼寧大連)

為排除小波識(shí)別結(jié)構(gòu)頻率時(shí)地震動(dòng)頻帶的干擾，提出了小波能量傳遞函數(shù)譜方法．該方法首先將地震動(dòng)輸入和結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)小波譜分別沿時(shí)間軸積分，得到結(jié)構(gòu)輸入和輸出的小波能量譜;然后將結(jié)構(gòu)反應(yīng)小波能量譜除以地震動(dòng)輸入小波能量譜，并定義為結(jié)構(gòu)小波能量傳遞函數(shù)譜，該譜的脊線即為結(jié)構(gòu)的時(shí)變頻率．分別采用小波變換直接識(shí)別法和小波能量傳遞函數(shù)譜方法對(duì)一幢6層砌體結(jié)構(gòu)在汶川地震一系列余震中的頻率變化進(jìn)行識(shí)別．結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)頻率在較大的余震中明顯降低，說(shuō)明結(jié)構(gòu)損傷有進(jìn)一步發(fā)展．該方法可有效排除結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)小波譜中地震動(dòng)頻帶的干擾，準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)在地震作用過(guò)程中的時(shí)變頻率．

地震;結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測(cè);小波能量傳遞函數(shù)譜;損傷識(shí)別

小波變換是識(shí)別非線性系統(tǒng)時(shí)變頻率的有效工具［1－4］，但在識(shí)別建筑結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)作用下發(fā)生損傷過(guò)程中的時(shí)變頻率時(shí)，簡(jiǎn)單地對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)進(jìn)行小波變換處理識(shí)別結(jié)果很不理想．這主要因?yàn)榈卣饎?dòng)是窄帶隨機(jī)過(guò)程，其頻帶干擾很難從結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的小波譜中排除掉，因而也就無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率．為解決這一問(wèn)題，本文提出了小波能量傳遞函數(shù)譜的概念，并采用這種方法對(duì)位于四川省廣元市的一幢6層砌體結(jié)構(gòu)在汶川地震后一系列余震中的地震響應(yīng)進(jìn)行分析，成功排除了結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)小波譜中地震動(dòng)輸入的頻帶干擾，準(zhǔn)確識(shí)別了結(jié)構(gòu)在各次余震中的頻率變化．

1 小波能量傳遞函數(shù)譜

1.1 連續(xù)小波變換

若信號(hào)f(t)為能量有限信號(hào)，即f(t)滿(mǎn)足

則f(t)的連續(xù)小波變換定義為

式中:u，s分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)，ψ*(t)為小波函數(shù)ψ(t)的復(fù)共軛．

本文中的小波函數(shù)采用Gabor小波，即

其中:η為頻率調(diào)制參數(shù)，g(t)為高斯窗函數(shù)，其傅立葉變換為

對(duì)任一實(shí)信號(hào)f(t)都可以寫(xiě)成振幅a(t)與時(shí)變相位 φ(t)的乘積［5］，即

式中:a(t)≥ 0，ω(t)=φ(t)'≥0.

將式(3)、(5)代入式(2)并利用傅立葉變換的性質(zhì)可得到f(t)的Gabor小波變換為

其中:(ξ= η/s)，ε(u，ξ)為校正項(xiàng)，當(dāng) a(u)、φ'(u)在φu，s的支集內(nèi)有較小的變差，且 φ'(u)≥Δω/s時(shí)，可以忽略不計(jì).Δω為(ω)的帶寬，當(dāng)|ω|＞Δω時(shí)(ω)?1.為了簡(jiǎn)化，記

將上式中的Wf(u，s，ξ)用式(6)代入并忽略校正項(xiàng) ε(u，ξ)，得

此時(shí)相應(yīng)的點(diǎn) (u，ξ(u))稱(chēng)之為小波脊．將ξ=η/s代入上式可以進(jìn)一步得到

從式(9)可以看出，在時(shí)頻平面內(nèi)信號(hào)的小波變換的脊(u，ξ(u))就對(duì)應(yīng)著其瞬時(shí)頻率的曲線(u，ω(u))，所以對(duì)于任一實(shí)信號(hào)，不管其頻率在整個(gè)時(shí)域上是恒定的或時(shí)變的，總可以根據(jù)此信號(hào)的小波脊得到其瞬時(shí)頻率曲線．具體的小波脊抽取算法參考文獻(xiàn)［6］．

1.2 小波能量傳遞函數(shù)譜

由于地震動(dòng)為窄帶隨機(jī)過(guò)程，單純對(duì)結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)地震響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行小波變換處理很難排除地震動(dòng)的頻帶干擾，因而也很難準(zhǔn)確識(shí)別出結(jié)構(gòu)本身的自振頻率，為了解決這一問(wèn)題，本文提出小波能量傳遞函數(shù)譜的概念，并利用小波能量傳遞函數(shù)譜識(shí)別建筑結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)激勵(lì)下的時(shí)變頻率．所謂結(jié)構(gòu)的小波能量傳遞函數(shù)譜就是結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)在小波域的表達(dá)．如果將建筑結(jié)構(gòu)看做一個(gè)線性或非線性的力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)其遭受地震動(dòng)激勵(lì)時(shí)，其地震動(dòng)激勵(lì)和地震響應(yīng)的小波變換可表達(dá)為

其中:y(t)output為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)時(shí)程，x(t)input為地震動(dòng)激勵(lì)時(shí)程，Wy(u，s)output、Wx(u，s)input分別表示結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動(dòng)激勵(lì)的小波變換系數(shù)，其時(shí)頻展開(kāi)即為結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動(dòng)激勵(lì)的小波譜．考慮式 (11)、(12)Wy(u，s)output、Wx(u，s)input的位置參數(shù)u與小波譜的時(shí)間參數(shù)相對(duì)應(yīng)，而尺度參數(shù)s則與信號(hào)的頻率存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，為方便推導(dǎo)，將 Wy(u，s)output、Wx(u，s)input分別表示為 Wy(t，ω)output和 Wx(t，ω)input的形式，ω為信號(hào)的頻率．

因?yàn)槭?11)、(12)中的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動(dòng)激勵(lì)的小波譜中均含有噪聲成分，因而直接將二者相除無(wú)法準(zhǔn)確得到結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)在小波域的表達(dá)，為解決這一問(wèn)題，本文提出在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)和地震動(dòng)激勵(lì)的小波譜中對(duì)每一頻率成分對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)分別進(jìn)行沿時(shí)間軸的積分，即

其中:積分區(qū)間Ti為信號(hào)起始時(shí)刻至每一采樣點(diǎn)的持續(xù)時(shí)間;i為所分析信號(hào)的采樣點(diǎn)序數(shù)，其取值為1≤i≤N，N為信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)目;j為進(jìn)行積分處理的小波系數(shù)對(duì)應(yīng)的頻率(或稱(chēng)尺度)參數(shù)序數(shù);積分所得系數(shù) Ei，j(ti，ωj)output反映了結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)小波譜中頻率為ωj的信號(hào)成分在截至ti時(shí)刻沿時(shí)間軸的累積能量，其時(shí)頻展開(kāi)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的小波能量譜，同樣 Ei，j(ti，ωj)input則為結(jié)構(gòu)地震動(dòng)激勵(lì)小波譜中頻率為ωj的信號(hào)成分在截至ti時(shí)刻沿時(shí)間軸的累積能量，其時(shí)頻展開(kāi)稱(chēng)為地震動(dòng)激勵(lì)的小波能量譜．

參考結(jié)構(gòu)頻域傳遞函數(shù)的概念，定義結(jié)構(gòu)響應(yīng)輸出小波能量譜除以地震動(dòng)激勵(lì)小波能量譜為結(jié)構(gòu)在小波域的傳遞函數(shù)，即

系數(shù)Hi，j(ti，ωj)沿時(shí)頻軸的展開(kāi)即為結(jié)構(gòu)的小波能量傳遞函數(shù)譜，因?yàn)榕懦说卣饎?dòng)輸入的頻帶干擾，因而小波能量傳遞函數(shù)譜的脊線能較好反映結(jié)構(gòu)的時(shí)變頻率．采用與小波譜脊線抽取算法相同的方法抽取小波能量傳遞函數(shù)譜的脊線，即為結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率．

2 廣元市地震局家屬樓余震響應(yīng)監(jiān)測(cè)

2.1 結(jié)構(gòu)概況及地震響應(yīng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)

四川省廣元市地震局家屬樓為6層磚砌體結(jié)構(gòu)，建于1991年，該建筑體型規(guī)則簡(jiǎn)單，在汶川地震中遭到輕微破壞，廣元市距汶川地震震中240 km，汶川地震后余震一直比較頻繁，圖1為該建筑的平面和立面圖．2008年9月在該建筑上安裝了一套結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)包括6個(gè)單向和2個(gè)三向力平衡加速度傳感器，及相應(yīng)的數(shù)據(jù)采集、信號(hào)調(diào)理系統(tǒng)和軟件．所采用的力平衡加速度傳感器工作頻率為0.1～120 Hz，量程為 －2g～2g．6個(gè)單向加速度傳感器分別放置在結(jié)構(gòu)的1～6層樓板處，因考慮結(jié)構(gòu)短邊方向(圖1中的y方向)抗側(cè)剛度較小，該方向地震動(dòng)響應(yīng)較大，因此6個(gè)單向加速度傳感器全部沿y向布置;2個(gè)三向加速度傳感器則分別放置在結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)頂面和結(jié)構(gòu)頂層，用以分別監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)激勵(lì)和結(jié)構(gòu)頂層加速度響應(yīng)，并通過(guò)頂層2個(gè)方向的加速度響應(yīng)的對(duì)比判斷結(jié)構(gòu)振動(dòng)是否存在扭轉(zhuǎn)分量．

2.2 結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測(cè)結(jié)果

表1為結(jié)構(gòu)余震響應(yīng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)自2008年10月至12月間監(jiān)測(cè)到的各次余震中比較大的10條記錄．可以看出2008年12月10日和2008年10月24日發(fā)生的震中在青川的2次余震震級(jí)較大，在這2次余震中監(jiān)測(cè)到的結(jié)構(gòu)基底沿y向的加速度峰值分別為0.057、0.041 m/s2．

圖1 廣元市地震局家屬樓平面及立面圖

表1 記錄余震列表

圖2、3繪出了12月10日和10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)基底以及各層y方向加速度響應(yīng)時(shí)程．由圖可見(jiàn)，在12月10日的余震中，結(jié)構(gòu)頂層y向加速度峰值達(dá)到了0.296 m/s2，10月24日余震中，結(jié)構(gòu)頂層y向加速度峰值為0.135 m/s2．

3 基于小波能量傳遞函數(shù)譜的結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率識(shí)別

為了識(shí)別廣元市地震局家屬樓在表1所列各次余震中的時(shí)變頻率，這里首先對(duì)該結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行Gabor小波變換，并抽取Gabor小波譜的脊線，觀察地震動(dòng)輸入信號(hào)頻帶對(duì)結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率識(shí)別結(jié)果的影響;隨后采用本文提出的小波能量傳遞函數(shù)譜方法對(duì)結(jié)構(gòu)各次余震響應(yīng)進(jìn)行處理，識(shí)別得到結(jié)構(gòu)時(shí)變頻率．

圖2 2008年12月10日余震中結(jié)構(gòu)各層y方向加速度時(shí)程

圖3 2008年10月24日余震中結(jié)構(gòu)各層y方向加速度時(shí)程

圖4為分別采用上述2種方法識(shí)別得到的12月10日余震中該結(jié)構(gòu)頻率變化時(shí)程．因?yàn)榭蓪⒔Y(jié)構(gòu)任一層的地震動(dòng)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)激勵(lì)看作結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一對(duì)輸出和輸入，所以根據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)任意一對(duì)輸出和輸入均可識(shí)別結(jié)構(gòu)頻率．這里給出的是根據(jù)結(jié)構(gòu)頂層地震動(dòng)輸出和基底地震動(dòng)激勵(lì)識(shí)別得到的頻率時(shí)程．圖4(a)為僅對(duì)結(jié)構(gòu)頂層地震響應(yīng)進(jìn)行Gabor小波變換并抽取小波譜脊線識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)頻率時(shí)程，從圖中雖然可以分辨出結(jié)構(gòu)振動(dòng)的前兩階頻率，但頻率時(shí)程曲線波動(dòng)較為劇烈，并且Gabor小波時(shí)頻譜在結(jié)構(gòu)自振頻率以外的頻帶上也可以看到能量峰值，這些能量峰值與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身的振動(dòng)頻率無(wú)關(guān)，因而可以判斷出是來(lái)自于地震動(dòng)激勵(lì)的頻帶干擾．圖4(b)為采用本文提出的小波能量傳遞函數(shù)譜方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)頻率時(shí)程，從圖中可以清楚地看到結(jié)構(gòu)的前兩階頻率，其中第一階頻率約為3.27 Hz，第二階頻率約為4.44 Hz，并且在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)幅值比較大的時(shí)間段(5～10 s)第一階頻率出現(xiàn)了下降，約下降8.31%，說(shuō)明在此次余震中結(jié)構(gòu)損傷有進(jìn)一步發(fā)展，在10 s之后由于地震動(dòng)激勵(lì)減小，結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)也相應(yīng)減小，結(jié)構(gòu)第一階頻率由于損傷裂縫的閉合出現(xiàn)回復(fù)．

圖4 2008年12月10日余震中結(jié)構(gòu)頻率變化識(shí)別結(jié)果

圖5為上述結(jié)構(gòu)在2008年10月24日余震中的頻率變化時(shí)程．其中圖5(a)為僅采用Gabor小波譜方法對(duì)結(jié)構(gòu)地震動(dòng)輸出進(jìn)行處理識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)前兩階頻率的時(shí)程．從圖中可以看出，識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)第一、二階頻率時(shí)程曲線波動(dòng)十分劇烈，受到地震動(dòng)激勵(lì)的頻率干擾，導(dǎo)致無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)頻率．圖5(b)則為采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法識(shí)別得到的結(jié)構(gòu)頻率變化時(shí)程．結(jié)構(gòu)第一、二階頻率識(shí)別結(jié)果非常清晰，且同樣在結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)幅值較大的時(shí)間段(12～17 s)結(jié)構(gòu)第一階頻率出現(xiàn)了下降，下降7.9%，說(shuō)明在本次余震中結(jié)構(gòu)損傷也出現(xiàn)發(fā)展．

圖5 2008年10月24日余震中結(jié)構(gòu)頻率變化識(shí)別結(jié)果

圖6為監(jiān)測(cè)得到的廣元市地震局家屬樓結(jié)構(gòu)在表1所列的部分余震中結(jié)構(gòu)頂層的加速度響應(yīng)，以及采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法識(shí)別得到的該建筑在各次余震中的頻率變化時(shí)程．在各次余震中，只有2008年12月10日和2008年10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)較大，其他各次余震中結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)均較?。畯念l率變化時(shí)程上看，也只有12月10日和10月24日2次余震中結(jié)構(gòu)一階頻率出現(xiàn)了下降，其他各次余震中結(jié)構(gòu)頻率基本沒(méi)有變化，說(shuō)明結(jié)構(gòu)在上述2次余震中損傷有進(jìn)一步的發(fā)展．

圖6 部分余震中的頂層加速度響應(yīng)和時(shí)變頻率

4 結(jié)論

1)提出了采用小波能量傳遞函數(shù)譜方法排除地震動(dòng)頻帶干擾，識(shí)別結(jié)構(gòu)在地震動(dòng)激勵(lì)下時(shí)變頻率的新方法．

2)地震動(dòng)激勵(lì)屬于窄帶隨機(jī)過(guò)程，采用傳統(tǒng)小波變換方法單純對(duì)建筑結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行處理無(wú)法排除地震動(dòng)激勵(lì)的頻帶干擾，因而也無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別結(jié)構(gòu)在地震作用過(guò)程中的頻率變化．小波能量傳遞函數(shù)譜方法能成功排除地震動(dòng)激勵(lì)的頻帶干擾，準(zhǔn)確識(shí)別出結(jié)構(gòu)頻率在地震作用過(guò)程中的變化時(shí)程，從而為進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別和評(píng)估提供依據(jù)．

3)通過(guò)安裝的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)成功監(jiān)測(cè)到了余震響應(yīng)，采用小波能量函數(shù)譜方法識(shí)別得到該結(jié)構(gòu)余震中的頻率變化時(shí)程．結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)只在震級(jí)比較大的余震中損傷出現(xiàn)了進(jìn)一步發(fā)展，在震級(jí)比較小的余震中由于地震動(dòng)激勵(lì)幅值較小結(jié)構(gòu)損傷沒(méi)有發(fā)展．

［1］ GURLEY K，KAREEM A．Applications of wavelet transform in earthquake，wind and ocean engineering［J］．Engineering Structures， 1999，21:149－167．

［2］KAREEM A，KIJEWSKI T．Time-frequency analysis of wind effects on structures［J］．Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics， 2002，90:1435－1452．

［3］KIJEWSKI T，KAREEM A．Wavelet transform for system identification in civil engineering［J］．Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering， 2003，18:339－355．

［4］YANG J N，LEI Y，LIN S，et al.Identification of natural frequencies and damping of in site tall buildings using ambient wind vibration data［J］．Journal of Engineering Mechanics， 2004，130(5):570 －577．

［5］RUZZENE M，F(xiàn)ASANA A，GARIBALDI L，et al.Natural frequencys and dampings identification using wavelet transform:application to real data［J］．Mechanical Systems and Signal Processing， 1997，11(2):207 －218．

［6］TCHAMITCHIAN P，TORRESANI B．Ridge and skeleton extraction from the wavelet transform［C］//RUSDAI M B．Wavelets and Their Applications［M］．Boston:Jones and Bartlett，1992:123 －151．

Damage assessment based on wavelet energy transfer function spectrum

MAO Chen-xi1，2，ZHOU Wen-song2，OU Jin-ping2，3

(1．Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，150080 Harbin，China，maochenxi@iem．a(chǎn)c．cn;2．School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，150090 Harbin，China;3．School of Civil and Hydraulic Engineering，Dalian University of Technology，116024 Dalian，Liaoning，China)

A new wavelet energy transfer function spectrum(WETFS)method was proposed in this study to remove frequency contamination of earthquakes from wavelet spectrum of structural responses in identifying frequency variation of structures．First，wavelet spectrums of earthquake excitation and structural response were integrated along time respectively to get wavelet energy spectrum of earthquakes and seismic responses．Then the WETFS was defined by dividing wavelet energy spectrum of earthquake excitation by that of structural response．The ridge on WETFS just represented the variation of structural frequencies．This method and the traditional wavelet method were both applied on frequency identification of one 6-story masonry apartment building．The seismic responses of this building during series of aftershocks of Wenchuan earthquake were measured and structural frequencies were identified to decrease remarkably during two aftershocks．The results of the two methods indicate that the WETFS method can identify variation of structural frequency accurately without contamination of earthquake excitation．

earthquake;structural seismic response monitoring;wavelet energy transfer function spectrum;damage identification

TU362;TN911.6

A

0367－6234(2011)08－0130－05

2010－05－21．

中國(guó)地震局中央級(jí)公益性研究所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(2007B15);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 50808165，90915003)．

毛晨曦(1974—)，女，副研究員;

歐進(jìn)萍(1959—)，男，博士生導(dǎo)師，中國(guó)工程院院士．

(編輯 魏希柱)