李偉，汪政紅

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

均勻設(shè)計［1］是一種重要的計算機試驗，它能使試驗周期大大縮短從而節(jié)省大量的費用.在均勻設(shè)計的發(fā)展史上，不同的偏差被相繼提出，其中最早使用的是星偏差［1］，隨后HICKERNELL提出了Lp-星偏差［2-3］，廣泛用于度量連續(xù)型因子設(shè)計的均勻性，QIN和FANG基于Hamming距離提出了離散偏差［4］，用于度量類別型因子設(shè)計的均勻性，ZHOU基于Lee距離提出了Lee偏差［5］.Lee偏差具有優(yōu)良的性質(zhì)，克服了離散偏差中使用Hamming距離僅能判斷兩個因子的取值是否相等的弱點.

偏差的下界一直是人們關(guān)心的問題，在使用門限接受法搜索近似均勻設(shè)計時，下界起著關(guān)鍵作用，因此許多文獻都在研究各種設(shè)計的各種偏差的下界. 眾所周知，在Lee偏差的表達式中，二三水平因子取不同水平時的表達式相對簡單，因此此類研究也較多，如文獻［6-8］，而對三水平以上的因子設(shè)計的研究，尤其是既有偶數(shù)水平因子又有奇數(shù)水平因子的研究較少.本文試圖以二五混水平U型設(shè)計為例，研究Lee偏差的較高水平下的混水平設(shè)計的下界問題.

1 基本概念及符號介紹

設(shè)U(n；q1q2…qm)表示具有n次試驗，m個因子的U型設(shè)計，第i個因子具有qi個水平，且qi個不同水平在每列出現(xiàn)的次數(shù)相同，i=1，2，…，m.令U(n；q1q2…qm)為全體該類設(shè)計構(gòu)成的集合.任意一個設(shè)計d∈U(n；q1q2…qm)用矩陣X=(xik)n×m表示，對于第i列中的元素，取自集合｛0，1，…，qi-1｝.若某些qi相同，記該設(shè)計類為其中有關(guān)系式m1+m2+…+mt=m；若全部qi都相同，即q1=q2=…=qm=q時，該設(shè)計為對稱U型設(shè)計，并記該設(shè)計類為U(n；qm).

2 主要結(jié)果

首先定義以下符號，#｛A｝表示集合A中元素的個數(shù)，

根據(jù)U型設(shè)計的定義，結(jié)合文獻［4］中的Lemma1，容易得到如下結(jié)論.

將（2）式進行變形，改寫成僅含有參數(shù)φij，τij，αij的形式，有以下結(jié)論.

證畢.

文獻［5］利用FANG［9］一文中的方法對任意混水平U型設(shè)計給出了Lee偏差的下界（見文中Theorem 4），將這一下界應(yīng)用到設(shè)計中，有如下引理2.

引理2 對任意設(shè)計有[LD(d)]2≥LB1(d)，其中：

證明根據(jù)定理1和泰勒展式，有：

利用受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式，有：

證畢.

引理2和定理2中的下界雖然采用不同的方法得到，但引理2和定理2中使用的核心不等式均為受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式，因此二者區(qū)別很小.這兩個下界均只與n，m1，m2有關(guān)，取n=10·i，i=1，2，…，10，m1=1，2，…，50，m2=1，2，…，50，共有25000種情況，發(fā)現(xiàn)在23734種情況下，LB1(d)=LB2(d)，即95%的概率下，二者是相同的.

HU［11］將CHATTERJEE中的Lemma 2做了進一步推廣，給出了一個新的引理（詳見文獻［11］中Lemma 4），并結(jié)合設(shè)計本身不同行的相遇數(shù)，給出了二、三、四混水平U型設(shè)計的Lee偏差下界.本文使用這一新方法，對二五混水平U型設(shè)計的Lee偏差下界進行推導(dǎo). 首先將HU文中的Lemma 4推廣為如下引理3.

引理3 設(shè){x1，x2，…，xn}，{y1，y2，…，yn}和{z1，z2，…，zn}是三組非負實數(shù)，且滿足定義si=axi+byi+czi，i=1，2，…，n，d=ac1+bc2+cc3，其中a＞0，b＞0，c＞0.令s(1)，s(2)，...，s(l)表示s1，s2，…，sn中所有不同元素的升序排列，k是滿足s(k)≤d/n＜s(k+1)的最大整數(shù)，則對于任意正整數(shù)t，有：

其中p，q為非負實數(shù)，且滿足p+q=n，ps(k)+qs(k+1)=d.

結(jié)合引理3和定理1，得到如下定理3.

證畢.

定理3給出的下界LB3(d)不僅與n，m1，m2有關(guān)，且與當(dāng)前設(shè)計的相遇數(shù)有關(guān)，推測應(yīng)比引理2中的LB1(d)和定理2中的LB2(d)更精確，后文的數(shù)值案例可以驗證這一觀點是正確的.

推論1 對任意設(shè)計d∈U(n；qm)，

（1）當(dāng)q=2時，有：

3 數(shù)值案例

將設(shè)計d的效率記為Eff(d)，Eff(d)可表示為LB(d)/[LD(d)]2，再通過Eff(d)的值對設(shè)計d的優(yōu)劣進行評判.

例1 考慮以下4個設(shè)計：d1∈U(10；2555)，d2∈U(10；21055)，d3∈U(10；25510)，d4∈U(10；21255)，其中，n=10，m1分別為5，10，5，12；m2分別為5，5，10，5.設(shè)計矩陣見表1，計算結(jié)果見表2.

表1 設(shè)計d1-d4Tab.1 Design d1 to d4

表2 d1-d4的Lee偏差平方，下界及效率值Tab.2 Values of squared Lee discrepancy， lower bounds and efficiency for d1 to d4

由表2可知，設(shè)計d1，d2，d3，d4的效率Eff(d)都近似等于1，故它們都是近似均勻設(shè)計.注意到，對這4個設(shè)計而言，都有LB1(d)=LB2(d)＜LB3(d)，可見定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然，綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.

例2 當(dāng)m1或m2等于0時，即d∈U(n；2m)或d∈U(n；5m)，考慮設(shè)計d5∈U(4；26)，d6∈U(5；55)，設(shè)計矩陣見表3，計算結(jié)果見表4.

表3 設(shè)計d5-d6Tab.3 Design d5 to d6

表4 d5-d6的Lee偏差平方、下界及效率值Tab.4 Values of squared Lee discrepancy， lower bounds and efficiency for d5 to d6

由表4可知，按照本文定理4中給出的最新下界，Eff(d5)=Eff(d6)=1，故d5和d6分別為Lee偏差下的二水平和五水平均勻設(shè)計.注意到，LB1(d5)=LB2(d5)=LB3(d5)，LB1(d6)=LB2(d6)＜LB3(d6)，可見，本文給出的下界是緊的，且定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然，綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.