徐光輝，肖克,柯善焜，王淑青，汪繁榮

（1 湖北工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 武漢 430068；2 湖北工業(yè)大學(xué) 產(chǎn)業(yè)研究院，襄陽 441000）

隨著電網(wǎng)規(guī)模越來越大，一些關(guān)鍵的節(jié)點(diǎn)發(fā)生故障可能引起級(jí)聯(lián)效應(yīng)而導(dǎo)致整個(gè)電網(wǎng)崩潰；一些重要的輸電線路因自然因素等原因而造成運(yùn)行故障［1］，為了保障電網(wǎng)的安全性和穩(wěn)定性，需要實(shí)時(shí)對(duì)電網(wǎng)的各相數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)測，同步相量測量單元（Phase Measurement Unit，PMU）的出現(xiàn)能解決這一問題.PMU能實(shí)時(shí)測量節(jié)點(diǎn)電壓、電流相量等信號(hào)，在配電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)［2］、檢測線路故障［3］等方面上取得了不錯(cuò)的效果，為電力系統(tǒng)部門及時(shí)掌握系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)，出現(xiàn)異常情況采取必要的控制措施.由于PMU具有高采樣率，若電網(wǎng)中所有的節(jié)點(diǎn)都配置PMU，會(huì)產(chǎn)生冗余的數(shù)據(jù)并且是不經(jīng)濟(jì)的，在此背景下，PMU最優(yōu)配置（Optimal PMU Placement， OPP）這一問題具有重要的意義.

目前，解決OPP問題的算法主要為數(shù)值算法和啟發(fā)式算法［4］.數(shù)值算法發(fā)展較成熟，對(duì)小型的電力系統(tǒng)，具有計(jì)算速度快、收斂能力強(qiáng)等特點(diǎn)，但在大型系統(tǒng)中，存在著全局搜索能力弱、普適性差等問題.閏玲玲等［5］提出了基于0-1整數(shù)規(guī)劃算法的PMU配置方法，在配置小型電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)上有很好的實(shí)用性，但在大型電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)上所需時(shí)間較長.鄭明忠等［6］利用了整數(shù)規(guī)劃算法，能解決考慮故障情況下的OPP問題，但同樣存在收斂過慢等不足.啟發(fā)式優(yōu)化方法具有全局搜索能力強(qiáng)、運(yùn)行速度快等特點(diǎn)，在求解多目標(biāo)、高維度模型上有一定的優(yōu)勢，由于OPP問題一般是多約束和高維度的，所以在OPP問題上，啟發(fā)式優(yōu)化方法使用得較多，如遺傳算法［7］、模擬退火算法［8］.MAJI T K等［9］提出了一種改進(jìn)二進(jìn)制粒子群算法，通過非線性慣性權(quán)重系數(shù)來提高搜索能力，通過改進(jìn)閾值函數(shù)來提高收斂速度，但沒有考慮關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)等問題.PAL A等［10］提到了關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，但配置時(shí)只對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)優(yōu)先考慮且沒有保證系統(tǒng)的完全可觀測性.ALMASABI S等［11］提出了用脆弱性指數(shù)來評(píng)判線路的重要性，將脆弱性指數(shù)集成到可觀察性中，作為目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)指標(biāo)使總安裝成本最小化.雖然上述部分文獻(xiàn)提到了關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路，但沒有針對(duì)考慮關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路時(shí)的PMU配置情況，基于此，本文的主要貢獻(xiàn)如下：

本文提出改進(jìn)蝠鲼覓食（Improved Manta Ray Foraging Optimization，IMRFO）算法來實(shí)現(xiàn)OPP問題，通過混沌映射增加算法初始化的多樣性，通過跳躍因子使算法易于跳出局部解.實(shí)驗(yàn)表明：改進(jìn)后的算法能有效地跳出局部最優(yōu)；使用圖論的3種指標(biāo)來判斷電力系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，利用線的中間中心度判斷電力系統(tǒng)的重要線路，在保證系統(tǒng)完全可觀測和PMU配置數(shù)目最小的情況下，分別對(duì)正常運(yùn)行、考慮關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和考慮重要線路的PMU配置情況加以分析.通過仿真分析驗(yàn)證所提出的方法的正確性和優(yōu)越性.

1 PMU最優(yōu)配置規(guī)則和模型

1.1 PMU配置規(guī)則

當(dāng)一個(gè)電力系統(tǒng)的所有節(jié)點(diǎn)電壓相量能被PMU直接或間接觀測時(shí)，稱這個(gè)系統(tǒng)是全網(wǎng)可觀測的.電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的可觀測性由以下規(guī)則來判斷［12］：

規(guī)則1：若節(jié)點(diǎn)i安裝了PMU，其節(jié)點(diǎn)的電壓相量能被直接測量，則節(jié)點(diǎn)i是直接可觀測的；

規(guī)則2：若節(jié)點(diǎn)i安裝了PMU，通過歐姆定律能計(jì)算其所有鄰接節(jié)點(diǎn)的電壓相量，則與節(jié)點(diǎn)i所有的鄰接節(jié)點(diǎn)是間接可觀測的.

在原有的基礎(chǔ)上本文通過新增加兩條規(guī)則來對(duì)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路加以說明.

規(guī)則3：為了確保在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上測量數(shù)據(jù)的有效性，所以在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)處至少能被兩個(gè)PMU所觀測；

規(guī)則4：由于一些客觀的因素（如線路老化）影響線路中的參數(shù)，為了盡可能使PMU測量線路電流和電壓的準(zhǔn)確性，所以在重要線路的兩端，至少有一端能被PMU直接觀測.

1.2 PMU的配置模型

要使配置PMU數(shù)量最小并且使整個(gè)電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)完全可觀測，則電力系統(tǒng)n個(gè)節(jié)點(diǎn)PMU配置模型的目標(biāo)函數(shù)如下：

其中：f（x）表示n個(gè)節(jié)點(diǎn)所安裝PMU的最小數(shù)量；xi是一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，若節(jié)點(diǎn)i安裝了PMU，則為1，否則為0.

根據(jù)以上條件，就可以寫出PMU配置的約束條件：

其中：X=（x1，x2，...，xn）T表示相應(yīng)節(jié)點(diǎn)PMU配置的情況；式中b在正常情況下為［1，1，…，1］的n維列向量；矩陣A表示節(jié)點(diǎn)的連接情況，如果節(jié)點(diǎn)i連接到節(jié)點(diǎn)j或節(jié)點(diǎn)i和j是同一節(jié)點(diǎn)，則Aij=1，否則Aij=0.

2 改進(jìn)蝠鲼覓食算法原理

2.1 蝠鲼覓食算法

蝠鲼覓食算法（Manta Ray Foraging Optimization，MRFO）是一種群智能優(yōu)化算法，雖然蝠鲼的食物并不是均勻分布或集中在某些地區(qū)，但是蝠鲼在群體覓食中總能精準(zhǔn)找到食物，這是因?yàn)樗鼈冞M(jìn)化出了一套智能覓食策略，將這種智能策略轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型就可得到MRFO算法［13］.

2.2 基于改進(jìn)蝠鲼覓食算法的最優(yōu)配置問題

雖然MRFO算法具有較好的性能，但還是存在容易陷入局部最優(yōu)解和收斂性過慢等問題，因此需要通過對(duì)MRFO算法進(jìn)行改進(jìn)使性能得以提升，并更加適用于OPP問題的求解.

種群初始化的位置能在一定程度影響算法性能.與隨機(jī)搜索相比，混沌映射在搜索空間上遍歷性更好，可使算法在一定程度上跳出局部最優(yōu).在配置PMU時(shí)，只有兩種情況，即“1”為配置PMU，“0”為不配置PMU.在算法的初始化過程中，種群有較大的概率在0和1附近，能增加算法的收斂速度和準(zhǔn)確性.Sine映射傾向于在0-1之間的兩端［14］，因此在種群初始化時(shí)用Sine映射，其數(shù)學(xué)模型如下：

其中：zk是迭代序列值，z0∈（0，1），a∈（0，4］；一般情況下，z0取0.152，a取4.

在算法迭代前期，權(quán)重因子β值過大有利于提高算法的勘察能力；在迭代后期時(shí)，β值過小有利于提高算法的開發(fā)能力.在迭代過程中，用較大概率的短步來提高開發(fā)能力，用較小概率的長步來提高探索能力，使算法有機(jī)會(huì)跳出局部解.為了增加種群搜索的多樣性，提出了跳躍因子來增加種群的搜索能力，如式（5）所示：

其中：h為跳躍因子，一般設(shè)置為15；t和T分別表示當(dāng)前迭代和最大迭代次數(shù)；rand1和rand2均為［0，1］是隨機(jī)數(shù).

為了驗(yàn)證改進(jìn)的有效性，采用單峰、多峰和固定維測試函數(shù)，測試函數(shù)如表1［15］.為了保證公平的比較，所有算法都采用相同的維數(shù)，相關(guān)參數(shù)均未改變.最大迭代次數(shù)和種群數(shù)量相同，所有測試函數(shù)運(yùn)行30次.表2為GWO、PSO、MRFO和IMRFO的收斂結(jié)果的比較.可以看出，在MRFO在改進(jìn)后性能有一定的提升.

表1 測試函數(shù)Tab.1 Test function

表2 測試函數(shù)的仿真數(shù)據(jù)Tab.2 Simulation data of test function

IMRFO算法求解OPP問題的流程圖如圖1所示.

圖1 基于IMRFO算法的OPP流程圖Fig.1 Flowchart of OPP based on IMRFO algorithm

3 關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路的判斷

3.1 關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的判斷

本文利用TOPSIS綜合圖論中的度、特征向量和接近度三種指標(biāo)，評(píng)價(jià)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位置.

節(jié)點(diǎn)的度說明自身和周圍節(jié)點(diǎn)的連接程度，本文認(rèn)為節(jié)點(diǎn)的度越大，說明該節(jié)點(diǎn)越重要.節(jié)點(diǎn)i的度計(jì)算公式為：

其中，L為支路總數(shù).

在評(píng)估節(jié)點(diǎn)的重要性時(shí)不僅考慮節(jié)點(diǎn)的連接情況，而且還考慮了節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系.在電力系統(tǒng)中有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，λ1，...，λn為鄰接矩陣B的N個(gè)特征值，e=［e1，e2，...en］T為最大特征值λ對(duì)應(yīng)的最大特征向量，則鄰接矩陣的最大特征值的特征向量為：

其中：T（i）中各分值大小代表著相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的重要程度，分值越大表明對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)越重要.

接近度反映了節(jié)點(diǎn)通過網(wǎng)絡(luò)到達(dá)其他節(jié)點(diǎn)的容易程度［16］.節(jié)點(diǎn)i的接近度為該節(jié)點(diǎn)到達(dá)網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)的最短距離之和的倒數(shù)，節(jié)點(diǎn)i的接近度為：

其中：dij為節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j的最短距離，N為系統(tǒng)中總節(jié)點(diǎn)數(shù).

3.2 重要線路的判斷

在電力系統(tǒng)輸電線中，每條線路發(fā)生故障的概率與環(huán)境條件、輸電等級(jí)和線路所處的位置等因素有關(guān).由于環(huán)境條件因素辨別困難，本文只考慮在相同條件下線路所處的位置造成的影響.線的中間中心度測量的是一條線出現(xiàn)在一條最短路徑上的次數(shù)，需要考慮系統(tǒng)中所有經(jīng)過該線路兩點(diǎn)之間的最短路徑，計(jì)算該線路在全部最短路徑中所占的比例，它能反映線路的重要程度［17］.

4 算例分析

4.1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)分析

圖2所示為輸電網(wǎng)IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng).

圖2 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.2 IEEE-14 node system

表3為IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的度、特征向量和接近度三種指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果.利用TOPSIS綜合評(píng)價(jià)得出得分權(quán)重矩陣S=［0.06 0.13 0.07 0.16 0.13 0.08 0.08 0 0.10 0.03 0.03 0.03 0.05 0.04］.關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)占總節(jié)點(diǎn)數(shù)的10%左右［10］，因此本文取3個(gè)權(quán)重大的節(jié)點(diǎn)為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，所以節(jié)點(diǎn)2、4、5為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).根據(jù)規(guī)則3，節(jié)點(diǎn)2、4、5至少能被兩個(gè)PMU所觀測.TOPSIS處理的步驟如下.

表3 三類關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)判斷結(jié)果Tab.3 Judgment results of three types of critical nodes

步驟1：將3種判斷結(jié)果寫成矩陣Zn×m，其中n為電力系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，m為判斷關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的種類，即在IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中，n為14，m為3；

步驟2：正向化和標(biāo)準(zhǔn)化.正向化是得出的結(jié)果越大則該節(jié)點(diǎn)越重要；標(biāo)準(zhǔn)化是消除量綱的影響；

步驟3：找出每列中的最大值矩陣D+和最小值矩陣D-，并計(jì)算出各個(gè)節(jié)點(diǎn)與D+和D-的歐式距離，并將m種指標(biāo)賦予相同的權(quán)重；

步驟4：計(jì)算出所有節(jié)點(diǎn)的得分矩陣S，再進(jìn)行歸一化處理.

通過計(jì)算得出線的中間中心度矩陣M，M為對(duì)稱矩陣，“0”表示節(jié)點(diǎn)之間不相連或?yàn)樽陨砉?jié)點(diǎn)，數(shù)值的大小代表輸電線路的重要程度.由式（9）可知線路5-6、4-5、4-9和9-14相比于其他線路為重要線路.根據(jù)規(guī)則4，這兩條線路至少有一端能被PMU直接觀測.

表4為IEEE-14和IEEE-69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)三種情況下的OPP配置情況.由表4可知，在IEEE-14節(jié)點(diǎn)正常情況下需要配置4個(gè)PMU，而在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和考慮關(guān)鍵線路情況下，需要配置5個(gè)PMU.考慮關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路是在正常情況的基礎(chǔ)上分別增加了規(guī)則3和規(guī)則4，故這兩種情況配置的PMU數(shù)都大于或等于正常情況下的配置數(shù)目.

表4 IEEE-14和IEEE-69節(jié)點(diǎn)的配置情況Tab.4 Configuration of IEEE-14 node and IEEE-69 node

本文所提出的IMRFO和MRFO算法分別對(duì)IEEE-14節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了仿真，對(duì)比結(jié)果如圖3所示.對(duì)比MRFO算法和文獻(xiàn)［18］采用的改進(jìn)整數(shù)規(guī)劃法，本文方法迭代次數(shù)相對(duì)較少，說明本文算法有較快的收斂速度.

圖3 正常情況下IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真圖Fig.3 Simulation diagram of IEEE-14 node system under normal conditions

4.2 IEEE-69節(jié)點(diǎn)分析

圖4所示為配電網(wǎng)IEEE-69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng).

圖4 IEEE-69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.4 IEEE-69 node system

利用TOPSIS綜合評(píng)價(jià)得出IEEE-69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)3、4、8、11和12.利用線的中間中心度得出重要線路為線路3-4、3-26、4-5、8-9、9-53、9-10、12-13和11-12.配置的結(jié)果和仿真圖分別為表4和圖5.由圖5可知，IMRFO與MRFO算法相比，IMRFO更易跳出局部最優(yōu)解.

圖5 正常情況下IEEE-69節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真圖Fig.5 Simulation diagram of IEEE-69 node system under normal conditions

5 結(jié)語

針對(duì)MRFO算法易陷入局部最優(yōu)和收斂速度慢等問題，本文提出了一種增加混沌映射和跳躍因子的IMRFO算法，利用圖論的3種指標(biāo)和線的中間中心度尋找電力系統(tǒng)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路.為了保證電力系統(tǒng)完全可觀測，利用IMRFO算法分別在3種情況下進(jìn)行了PMU配置仿真，結(jié)果表明了IMRFO算法對(duì)求解OPP問題的有效性和優(yōu)越性.在今后的研究中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況判斷關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和重要線路，并進(jìn)一步開發(fā)MRFO算法的性能.