李 明

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用研究

李 明

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

文章分析和研究了矩陣在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，并通過實(shí)例展現(xiàn)了矩陣應(yīng)用的廣泛性，以及滲透在各個(gè)學(xué)科中的普遍性，顯現(xiàn)了矩陣在解決實(shí)際問題中所起到的簡化作用，從而能更進(jìn)一步地研究和推廣矩陣的應(yīng)用性。

線性代數(shù);矩陣;矩陣應(yīng)用

0 引言

線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支，矩陣和行列式是線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容。隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決，于是作為處理離散問題的線性代數(shù)就越來越受到世人的關(guān)注，并已經(jīng)滲透到物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能、系統(tǒng)控制論、信息論、圖形圖像處理、材料化工和農(nóng)林醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用前沿，矩陣已經(jīng)成為一門獨(dú)立的理論在各個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著應(yīng)用潛能。

矩陣是將重要信息數(shù)據(jù)摘錄下來的一個(gè)數(shù)表，可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行各種變換，得到一個(gè)新的矩陣，從而通過代數(shù)的方法進(jìn)行研究，對復(fù)雜和抽象化的問題進(jìn)行簡化，看清問題的本質(zhì)，得出一些需要的結(jié)論，因此在很多實(shí)際應(yīng)用中都滲透了矩陣?yán)碚摗榇藢仃囋诟鲗W(xué)科中的應(yīng)用實(shí)例進(jìn)行分析和解決，進(jìn)一步研究和推廣矩陣的應(yīng)用性。

1 矩陣在量綱化分析法中的應(yīng)用

所謂量綱化分析，最早是在20世紀(jì)初物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法。許多物理量都是有量綱的，它分為基本量綱和導(dǎo)出量綱?；玖烤V包括時(shí)間[t]=T、質(zhì)量[m]=M 和長度[l]=L，其他量都是導(dǎo)出量，如，加速度的量綱[a]=LT-2就是由基本量綱導(dǎo)出的。等號兩端各變量遵循量綱一致的原則，可以建立一個(gè)線性方程組，通過矩陣變換解決量間的關(guān)系[1]，如例1。

例1 (勾股定理的證明)設(shè)一個(gè)RT△的斜邊長為c，2個(gè)直角邊長分別為a，b。假若選取三角形面積S，2個(gè)銳角α，β及斜邊c為待研究的變量，則必有如下關(guān)系:

式(1)有4個(gè)量綱，而只有3個(gè)基本量綱，必有1個(gè)量是無量綱的，將上述各量的量綱列成矩陣如下，每列代表1個(gè)變量的量綱數(shù)據(jù)[2]。

解線性方程:

解之得:x11=2，x21=0，x31=0，故有關(guān)系式:

其中，λ為唯一待確定的無量綱量。式(2)說明在RT△中，面積與斜邊的平方成比例。假若作斜邊上的高，將三角形分成2個(gè)相似的RT△，面積分別為S1，S2，則邊長a，b成為2個(gè)小RT△的斜邊[3]，三角形相似圖如圖1所示。

圖1 三角形相似圖

根據(jù)上面得到的結(jié)論和相似原理，有S1=λa2，S2= λb2，而 S=S1+S2，則:

λc2=λa2+λb2

勾股定理得證，即:

c2=a2+b2

量綱分析只涉及代數(shù)運(yùn)算，因此人們在做非常昂貴的實(shí)驗(yàn)之前，比較傾向于在不同假設(shè)下建立若干相似模型，再擇優(yōu)進(jìn)行，有時(shí)還對部分常數(shù)起到了壓縮或恢復(fù)的作用。

2 矩陣在信息編碼中的應(yīng)用

在密碼信息傳輸中，矩陣運(yùn)算的應(yīng)用非常廣泛，主要是編碼和譯碼。所謂編碼是將明文加上密鑰加密成密文發(fā)送出去，而譯碼是將密文通過密鑰解密成明文。由于兩過程是相反的，因此矩陣的逆運(yùn)算就發(fā)揮了較好的作用。

一般通用的傳遞信息方法是26個(gè)字母依次對應(yīng)1～26個(gè)整數(shù)，如，A對應(yīng)1，B對應(yīng)2，C對應(yīng)3，等等，依次對應(yīng)，空格對應(yīng)0，具體見表1。

表1 字母對應(yīng)表

密鑰是由初等矩陣變換而來的，由于初等矩陣均是可逆矩陣，因此保證了密鑰矩陣也是可逆的，且矩陣A中所有元素均是整數(shù)，其行列式值為±1，這樣可以保證A-1中所有元素也是整數(shù)，若明文矩陣B，且信息放在矩陣B的各列，經(jīng)過密鑰A對其加密，AB=C后成為密文C傳輸。因此，要解密得到明文B，只需左乘A-1，得B=A-1C，如例 2[4]。

例2 (解密算法)若加密密鑰為矩陣:

傳輸出信息為: -19，19，25，-21;0，18，-18，15，3，10，-8，3，-2，20，-7，12，它傳輸了什么信息?

實(shí)際上將密文信息按照列排成密文矩陣:

則明文矩陣B應(yīng)為:

對應(yīng)表1得到相應(yīng)的信息為:DO YOUR HOMEWORK(做作業(yè))。

3 矩陣在經(jīng)濟(jì)模型中的應(yīng)用

商品交換是經(jīng)濟(jì)事務(wù)中的常事，它在經(jīng)濟(jì)社會(huì)中時(shí)刻都有發(fā)生，小到2人之間的實(shí)物交換，大到產(chǎn)業(yè)之間的交易，都或多或少，或簡單或復(fù)雜地參入了商品交換中各商品價(jià)值的體現(xiàn)，假如不考慮資本積累和債務(wù)，交換是封閉式的，如何對已生產(chǎn)出的產(chǎn)品進(jìn)行合理地定價(jià)，才能維持整個(gè)經(jīng)濟(jì)社會(huì)正常的運(yùn)作?

在這個(gè)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，矩陣可以將其轉(zhuǎn)化為線性方程組而輕松地解決，如例3。

例3 (商品交換基礎(chǔ)模型)假如社會(huì)存在3種產(chǎn)業(yè)之間的商品交換，這3種產(chǎn)業(yè)分別記作E，F(xiàn)，G，它們在不存在貨幣制度的前提下，使用實(shí)物交換制度。產(chǎn)業(yè)E將商品的留給自己，給產(chǎn)業(yè)F，給產(chǎn)業(yè)G。產(chǎn)業(yè)F將商品的留給自己，給產(chǎn)業(yè)E，給產(chǎn)業(yè)G。產(chǎn)業(yè)G將商品的留給自己給產(chǎn)業(yè)E給產(chǎn)業(yè)F。應(yīng)該如何給這3種產(chǎn)業(yè)進(jìn)行定價(jià)，才能使經(jīng)濟(jì)體持續(xù)進(jìn)行下去[4]?

根據(jù)上述信息，可以構(gòu)造一個(gè)有向圖來表示實(shí)際實(shí)物交換的整個(gè)系統(tǒng)，如圖2所示。圖2中的箭頭表示商品在某2個(gè)產(chǎn)業(yè)之間流出和流入的交換狀況。

圖2 實(shí)物交換系統(tǒng)圖

將3種產(chǎn)業(yè)E，F(xiàn)，G的產(chǎn)品分配情況列成表格，清晰描述如下:

這些方程構(gòu)成了一個(gè)齊次線性方程組:

通過矩陣變換，得:

4 矩陣在生物種群生長趨勢動(dòng)態(tài)預(yù)測中的應(yīng)用

在研究生物種群發(fā)展時(shí)，矩陣方程、矩陣乘法和矩陣對角化的知識，能較為容易地解決矩陣高次冪的結(jié)果，而矩陣高次冪的運(yùn)算描述了生物種群若干年后的發(fā)展?fàn)顩r，因此矩陣很好地預(yù)測、驗(yàn)證、模擬了種群的繁衍情況，如例4。

那么，在tk時(shí)刻動(dòng)物種群年齡分布為:

隨著時(shí)間的變化，種群各年齡段動(dòng)物的數(shù)目也會(huì)發(fā)生變化，根據(jù)平衡關(guān)系，時(shí)刻tk，第一個(gè)年齡組中雌性動(dòng)物數(shù)等于在時(shí)段[tt-1，tk]內(nèi)各年齡階段中動(dòng)物生育的幼體數(shù)目總和，即:

又由于:

即:

有矩陣乘積 X(k)=AX(k-1)，k=1，2，…，n -1，其中系數(shù)矩陣為:

于是，X(k)=AkX(0)，k=1，2，…，n -1。

知道初始時(shí)刻，動(dòng)物種群的年齡分布，就能算出tk時(shí)刻種群數(shù)目的分布X(k)。

假如，N=15，分成 3 個(gè)年齡組[0，5]，[6，10]，[11，15]，統(tǒng)計(jì)得 3 個(gè)年齡組雌性動(dòng)物的生育率分別為 0，4，3，存活率為 0.5，0.25，0，初始時(shí)刻3個(gè)年齡組雌性動(dòng)物的數(shù)量為1 000，1 000，2 000，那么10年后動(dòng)物總數(shù)又如何?[5]

相當(dāng)于:

說明10年后，3個(gè)年齡段的動(dòng)物總數(shù)分別發(fā)展為2 750，5 000，250。當(dāng) n足夠大時(shí)，涉及到A″的求解，需要使用矩陣對角化的知識，再通過n→∞時(shí)的極限知識來研究動(dòng)物總數(shù)的整個(gè)趨勢，從而科學(xué)地預(yù)測和分析動(dòng)物數(shù)量動(dòng)態(tài)的變化過程。

通過不同領(lǐng)域中矩陣的應(yīng)用實(shí)例，說明矩陣正在發(fā)揮著它獨(dú)有的潛能，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，矩陣應(yīng)用的滲透會(huì)越來越深入，各個(gè)學(xué)科之間的交叉會(huì)越來越頻繁，學(xué)科之間的界限也會(huì)越來越模糊，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性會(huì)越來越明顯，因此，有數(shù)學(xué)參與的研究會(huì)更加有說服力，會(huì)更加簡潔，矩陣就做到了這一點(diǎn)。

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].3版.北京:高等教育出版社.2005.

[2]吳學(xué)勇.量綱分析應(yīng)用研究[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2000(5):40-43.

[3]孫建美.量綱分析及其應(yīng)用[J].湖北汽車工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001(15):60 -62，80.

[4](美)Steven J Leon.Linear Algebra with Applications[M].8th ed.張文博，張麗靜，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

[5]黃玉梅，彭濤.線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用典型案例[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，45(專輯):123 -125.

Study on the Application of Matrix in Linear Algebra

LI Ming

(Suzhou Institute of Industrial Technology，Suzhou 215104)

This paper makes an analysis of the matrix in four different fields of application，and cites examples to demonstrate the popularity of matrix application and its penetration in all disciplines.It demonstrates the simplifying function of matrix in solving practical problems，thus to further the research and extension of matrix application.

linear algebra;matrix;matrix application

O151.21

A

1671-0436(2011)03/04-0059-04

2011-07-04

李明(1975— )，女，碩士，講師。

責(zé)任編輯:張秀蘭