黃振明

(蘇州市職業(yè)大學基礎部，江蘇蘇州215104)

0 引言

包含拉普拉斯算子Δ的方程或方程組是數(shù)學和物理學中較常見的一類，有關它們的譜估計已取得了一系列成果[1-7].現(xiàn)作進一步的推廣，考慮下面包含Δ的一類高階偏微分系統(tǒng)譜估計問題:

其中Ω?Rm(m≥2)是一個邊界逐片光滑的區(qū)域，n是邊界 ?Ω的單位外法向量，x=(x1，x2，…，xm)，s，t是任意的正整數(shù).

筆者主要運用文獻[1]中的方法，并且參照文獻[2]對方程及文獻[3]對算子的討論方法，推廣到對偏微分系統(tǒng)(1)的譜估計，獲得了用前n個譜來估計第n+1個譜的上界的不等式，其估計系數(shù)與區(qū)域Ω的幾何度量無關，文獻[4]討論的問題是式(1)中當s=1，t=2時的特例，文獻[5]討論的問題也是式(1)中當s=2，t=3時的特例，因此本文結論是文獻[4-5]的進一步推廣，在物理學和力學等領域中有一定的應用價值[8].

1 主要結果

定理 1 設 λi(i=1，2，…，n+1)是式(1)的譜，則:

定理2 對于任何整數(shù)m≥2，n≥1，有:

2 定理的證明

記▽·▽=▽2=Δ，2維函數(shù)列向量u=

設式(2)的譜為 0＜λ1≤λ2≤…≤λn≤…，與之相對應的正交特征向量為(i=1，2，…，n)，即滿足:

計算可得:

利用 φik與uj(j=1，2，…，n)的正交性，以及等式，從式(5)有:

利用式(4)和式(7)有:

在式(8)中，用 λn替代所有的 λi(i=1，2，…，n)，有:

引理1 設ui是式(2)對應譜 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，則:

(a，b為實數(shù))

證明 因為v1i，v2i分別是方程(-Δ)sy=λy和(-Δ)ty=λy對應的譜 λi的特征函數(shù)，由文獻[3]中引理1可知:

于是:

即得引理1.

引理2 設ui是式(2)對應譜 λi(i=1，2，…，n)的特征向量，則:

證明 ①利用分部積分，有:

②類似地:

由式(10)可得:

利用引理2①和式(11)，有:

證畢.

引理 3 設 λ1，λ2，…，λn是式(2)的n個譜，則:

所以有:

利用引理2②，由式(12)知:

利用引理1和式(13)得:

證畢.

引理4 對于上述 φik和 λi(i=1，2，…，n，k=1，2，…，m)，有下列不等式成立:

證明 由φik的定義，有:

易知式(14)右端第 2項恒等于 0，又

利用式(14)、式(15)和式(3)得:

利用式(16)、Schwartz不等式和引理1(取a=b=p=l=1)，有:

即得引理3.

定理1的證明:利用引理3和引理4，由式(9)可得定理1①，在定理1①右端用λn替代λi，可得定理 1②.

定理2的證明:選擇參數(shù) σ＞λn，利用式(8)，得:

利用式(16)和Young不等式，有:

利用引理1和式(20)，有:

為了使式(21)右端的值達到最小，取δ=

利用式(21)和式(22)，得:

將式(23)代入式(19)，得:

其中σ＞λn，選取 σ，使不等式(24)右端等于0，即:

[1]Hile G H，Yen R Z.Inequalities for Eigenvalues of the Biharmonic Operator[J].Pacific J.Math，1984，112(1):115-133

[2]吳平.重調(diào)和方程特征值的上界估計[J].蘇州鐵道師院學報:自然科學版，2002，19(1):21-25

[3]黃振明.多項式算子譜的帶權估計[J].南通大學學報:自然科學版，2006，17(2):20-23

[4]錢椿林，蔣麟.某類系統(tǒng)的離散譜估計[J].江蘇廣播電視大學學報，2000，11(4):1-3

[5]黃振明.一類偏微分系統(tǒng)的離散譜估計[J].蘇州科技學院學報:自然科學版，2010，27(2):4-8

[6]陳祖墀，錢椿林.調(diào)和算子二次式的離散譜估計[J].應用數(shù)學學報，1989，12(3):368-373

[7]CHEN Z C，QIAN C L.Estimates for discrete spectrum of the Laplacian operator with any order[J].China Univ Sci Tech，1990，20(3):259-265

[8]Protter M H.Can one hear the shape of a drum?[J].SIAM Rev，1987，29(2):185-197