□高 紅

(國家廣電總局725臺，山西 榆次 030600)

不少實際的插值問題不但要求在各插值節(jié)點上插值多項多式函數(shù)與原函數(shù)的函數(shù)值相等，而且還要求對應的導數(shù)值也相等，甚至要求更高階的導數(shù)相等。在所有節(jié)點上具有同階導數(shù)信息，且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對應的同階導數(shù)相等的Hermite插值問題研究已經(jīng)有了良好的算法設計，也有學者研究不是所有的節(jié)點上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導數(shù)值相等的問題，文獻僅給出了導數(shù)相等的節(jié)點是有序節(jié)點集中相鄰節(jié)點的情況。本文提出的插值節(jié)點不完全有導數(shù)信息的Hermite插值算法(簡稱IDIH)，研究了插值節(jié)點集中部分節(jié)點上插值多項式與被插函數(shù)導數(shù)相等的情況。

一、插值節(jié)點不完全有導數(shù)信息的Hermite插值算法

1.問題描述

f(x)∈C1[a,b]，設x0

xj∈Ω1時，H(xj)=yjj=1,2,3…n；xij∈Ω2時，H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

可以證明滿足條件(1)的次數(shù)≤n+r+1多項式H(x)是唯一的。證明：因(1)中包含n+r+2個條件，所以能夠確定次數(shù)≤n+r+1的代數(shù)多項式H(x)，用反證法，假設P(x)與H(x)一樣均滿足條件，且次數(shù)≤n+r+1，于是：φ(x)=H(x)-P(x)也是次數(shù)≤n+r+1的多項式，但φ(x)關于集合Ω2中點是二重零點，關于集合Ω1-Ω2中點是一重零點，共n+r+2個零點，故φ(x)≡0，唯一性得證。

2.H(x)的構造

其中：

βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

其中以xij標出的節(jié)點屬于Ω2。

αk(x)和βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式。

顯然只要αk(x)和βk(x)符合以上條件必然使H(x)滿足插值條件(1)，注意到αk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式和條件(3)和(5)：

利用αk(xk)=1可求出bk，可得：

(7)

(8)

注意到βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式和條件(4)和(6)：

(9)

將(7)(8)(9)代入(2)得相應的Hermite插值多項式。

二、IDIH算法描述

㈠輸入Ω1各節(jié)點及相應的相用函數(shù)值yj和Ω2各節(jié)點及相應導數(shù)值mj，x；H=0

㈡對k=0,1,2,…n

若xk∈Ω2用(8)計算αk(x)

否則用(7)計算αk(x)

H=H+αk(x)×yk

㈢對k=0,1,2,…r

用(9)計算βk(x)

H=H+βk(x)×mk

三、實驗結果

表1 初始數(shù)據(jù)信息

表2 IDIH計算示例

四、結束語

實驗結果可以發(fā)現(xiàn)，IDIH方法在內插值時精度可達到較高要求，可以證明當f(x)∈Cn+r+2[a,b]，x∈[a,b]，其截斷誤差為：其中ξ∈[a,b]

參考文獻：

[1]徐士良．C常用算法程序集[M]．北京：清華大學出版社，1996．

[2]關 治，陳景良．數(shù)值計算方法[M]．北京：清華大學出版社，1990．

[3]孫英慧，孫英娟，楊柳．基于Hermite算法的曲線擬合[J] ．長春師范學院學報，2009，(4)．

[4]賈文淵，張 景.大學教學中多媒體技術的合理利用[J].山西廣播電視大學學報，2009，(2) .