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        插值節(jié)點不完全具有導數(shù)信息的 Hermite插值算法

        2011-06-19 06:18:48□高
        山西廣播電視大學學報 2011年2期
        關鍵詞:零點插值導數(shù)

        □高 紅

        (國家廣電總局725臺,山西 榆次 030600)

        不少實際的插值問題不但要求在各插值節(jié)點上插值多項多式函數(shù)與原函數(shù)的函數(shù)值相等,而且還要求對應的導數(shù)值也相等,甚至要求更高階的導數(shù)相等。在所有節(jié)點上具有同階導數(shù)信息,且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對應的同階導數(shù)相等的Hermite插值問題研究已經(jīng)有了良好的算法設計,也有學者研究不是所有的節(jié)點上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導數(shù)值相等的問題,文獻僅給出了導數(shù)相等的節(jié)點是有序節(jié)點集中相鄰節(jié)點的情況。本文提出的插值節(jié)點不完全有導數(shù)信息的Hermite插值算法(簡稱IDIH),研究了插值節(jié)點集中部分節(jié)點上插值多項式與被插函數(shù)導數(shù)相等的情況。

        一、插值節(jié)點不完全有導數(shù)信息的Hermite插值算法

        1.問題描述

        f(x)∈C1[a,b],設x0

        xj∈Ω1時,H(xj)=yjj=1,2,3…n;xij∈Ω2時,H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

        可以證明滿足條件(1)的次數(shù)≤n+r+1多項式H(x)是唯一的。證明:因(1)中包含n+r+2個條件,所以能夠確定次數(shù)≤n+r+1的代數(shù)多項式H(x),用反證法,假設P(x)與H(x)一樣均滿足條件,且次數(shù)≤n+r+1,于是:φ(x)=H(x)-P(x)也是次數(shù)≤n+r+1的多項式,但φ(x)關于集合Ω2中點是二重零點,關于集合Ω1-Ω2中點是一重零點,共n+r+2個零點,故φ(x)≡0,唯一性得證。

        2.H(x)的構造

        其中:

        βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

        其中以xij標出的節(jié)點屬于Ω2。

        αk(x)和βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式。

        顯然只要αk(x)和βk(x)符合以上條件必然使H(x)滿足插值條件(1),注意到αk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式和條件(3)和(5):

        利用αk(xk)=1可求出bk,可得:

        (7)

        (8)

        注意到βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項式和條件(4)和(6):

        (9)

        將(7)(8)(9)代入(2)得相應的Hermite插值多項式。

        二、IDIH算法描述

        ㈠輸入Ω1各節(jié)點及相應的相用函數(shù)值yj和Ω2各節(jié)點及相應導數(shù)值mj,x;H=0

        ㈡對k=0,1,2,…n

        若xk∈Ω2用(8)計算αk(x)

        否則用(7)計算αk(x)

        H=H+αk(x)×yk

        ㈢對k=0,1,2,…r

        用(9)計算βk(x)

        H=H+βk(x)×mk

        三、實驗結果

        表1 初始數(shù)據(jù)信息

        表2 IDIH計算示例

        四、結束語

        實驗結果可以發(fā)現(xiàn),IDIH方法在內插值時精度可達到較高要求,可以證明當f(x)∈Cn+r+2[a,b],x∈[a,b],其截斷誤差為:其中ξ∈[a,b]

        參考文獻:

        [1]徐士良.C常用算法程序集[M].北京:清華大學出版社,1996.

        [2]關 治,陳景良.數(shù)值計算方法[M].北京:清華大學出版社,1990.

        [3]孫英慧,孫英娟,楊柳.基于Hermite算法的曲線擬合[J] .長春師范學院學報,2009,(4).

        [4]賈文淵,張 景.大學教學中多媒體技術的合理利用[J].山西廣播電視大學學報,2009,(2) .

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