劉建林,陳 兵

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

頻率估計(jì)是信號(hào)參數(shù)估計(jì)中的經(jīng)典問(wèn)題,目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)提出了不少方法,其估計(jì)方法主要分為以自回歸法等典型方法的參數(shù)估計(jì)[1]和以周期圖法等典型方法的非參數(shù)估計(jì)[2,3]2類。短數(shù)據(jù)、高精度的快速頻率估計(jì)是倍受電子戰(zhàn)領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者的關(guān)注。文章提出了一種先利用峰值前后3個(gè)DFT系數(shù)得到頻率修正項(xiàng)的初值,再迭代計(jì)算修正后峰值前后位置DFT系數(shù)來(lái)得到頻率修正項(xiàng)的精細(xì)值的頻率估計(jì)新算法。仿真分析驗(yàn)證了算法能夠快速、高精度估計(jì)單頻信號(hào)的頻率,比常規(guī)插值迭代算法所需迭代次數(shù)要少,有利于工程實(shí)現(xiàn)。

1 頻率估計(jì)算法

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)離散復(fù)單頻信號(hào)模型為:

式中,A、fc和 φ分別為復(fù)信號(hào)的幅度、載頻和初相;v(n)為零均值,方差為σ2的加性高斯白噪聲;fs為采樣頻率;N為信號(hào)長(zhǎng)度。

1.2 初值估計(jì)

信號(hào)的DFT系數(shù)為:

式中,I為幅度譜的峰值位置;δ為信號(hào)真實(shí)峰值位置與I的偏差值,即,且有為噪聲的DFT系數(shù)。

暫不考慮噪聲影響,且N較大時(shí),I-1、I和I+1處的幅度譜可推導(dǎo)得到:

當(dāng)|X(I+1)|＞|X(I-1)|時(shí),即0＜δ≤0.5,信號(hào)真實(shí)頻率位于I和I+1之間,有

式中,^δ0為估計(jì)出來(lái)的頻率修正項(xiàng)初值。

1.3 迭代計(jì)算

考慮I-0.5、I+0.5兩個(gè)位置,迭代計(jì)算DFT系數(shù)為:

式中,k為迭代次數(shù);^δk為第k次迭代后的頻率修正項(xiàng) ,有 ^δk=^δk-1+h(^δk-1),且h(^δk-1)的表達(dá)式[4]為:

^δ0的值按上節(jié)計(jì)算得到,但在文獻(xiàn)[4]中頻率修正項(xiàng)初值 ^δ0=0 。

2 仿真分析

2.1 算法收斂與迭代次數(shù)

仿真參數(shù)設(shè)置如下:采樣頻率fs=51.2 MHz,信號(hào)長(zhǎng)度N=512,信噪比SNR=0 dB,信號(hào)幅度A=1,初相 φ=π/4,頻率fc取值 12.75 MHz:0.01 MHz:12.85MHz,即對(duì)應(yīng)FFT后峰值位置與信號(hào)真實(shí)位置偏差值 δ∈[-0.5,0.5],每個(gè)頻點(diǎn)上做10 000次Monte-Carlo試驗(yàn)。在頻率修正項(xiàng)初值 ^δ0為零和不為零(按1.2節(jié)分析計(jì)算)時(shí),不同迭代次數(shù)Q與算法收斂性之間關(guān)系的性能曲線如圖1所示。定義比值=測(cè)頻均方誤差(MSE)/克拉默界(CRB)。

圖1 迭代次數(shù)與算法收斂性的性能曲線

從圖1中可以看到,當(dāng)頻率修正項(xiàng)初值^δ0為零時(shí),算法在第2次測(cè)頻均方誤差已經(jīng)接近CRB,算法已經(jīng)收斂;當(dāng)頻率修正項(xiàng)初值^δ0不為零時(shí),算法在第1次測(cè)頻均方誤差就接近CRB,算法收斂。因此設(shè)置頻率修正項(xiàng)初值后算法可以減少1次迭代。

2.2 測(cè)頻精度與信噪比

仿真參數(shù)設(shè)置如下:fs=51.2 MHz,N=512,A=1,fc=12.85 MHz,φ=π/4,SNR取-15 dB～5 dB,步長(zhǎng)1 dB,分別做1 000次Monte-Carlo試驗(yàn)。新算法1次迭代(Q=1)與AR建模法[1]和文獻(xiàn)[5]中的測(cè)頻算法的頻率估計(jì)均方誤差(MSE)如圖2所示。

由圖2可以看到,新算法與AR建模法性能相當(dāng),但運(yùn)算要比后者少;與文獻(xiàn)[5]算法相比,新算法在信噪比大于-10 dB后要優(yōu)于后者。

圖2 測(cè)頻精度與信噪比的性能曲線

2.3 測(cè)頻精度與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度

仿真參數(shù)設(shè)置如下:fs=51.2MHz,A=1,fc=12.85MHz,φ=π/4,SNR=-5 dB,N取 8、16、32、64、128、256、512、1 024,分別做 1 000 次Monte-Carlo 試驗(yàn)。新算法1次迭代(Q=1)與AR建模法和文獻(xiàn)[5]中的測(cè)頻算法的頻率估計(jì)均方誤差(MSE)如圖3所示。

圖3 測(cè)頻精度與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的性能曲線

從圖3中可以知道,當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度大于32點(diǎn)時(shí),新算法的測(cè)頻精度已經(jīng)接近CRB,并且和AR建模法性能相當(dāng),但優(yōu)于文獻(xiàn)[5]中的算法。

3 結(jié)束語(yǔ)

理論分析和仿真表明,基于DFT系數(shù)來(lái)構(gòu)造頻率修正項(xiàng)的高精度信號(hào)頻率估計(jì)新算法,能有效減少迭代次數(shù),提高測(cè)頻精度,具有廣泛的適用性,可直接應(yīng)用于寬帶數(shù)字接收機(jī)的快速高精度頻率估計(jì)。

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[5]祝 俊,唐 斌,陳 兵.快速高精度實(shí)正弦信號(hào)頻率估計(jì)算法[J].電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào),2008,12(6):65-68.