王能建，周麗杰

(哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

飛機(jī)在地面上的移動(dòng)主要依靠飛機(jī)牽引車.無(wú)桿牽引車作為機(jī)場(chǎng)地面保障的一項(xiàng)前沿技術(shù)已經(jīng)被廣泛使用，其通過(guò)自身的夾持裝置與飛機(jī)前起落架相連，使飛機(jī)的部分重量轉(zhuǎn)移為牽引車的附著重量，因此與傳統(tǒng)有桿牽引車相比，顯著提高了飛機(jī)牽引的操縱穩(wěn)定性、靈活性［1-2］.牽引車一般工作在機(jī)場(chǎng)、甲板等狹窄的場(chǎng)地上，為了避免與其他飛機(jī)或設(shè)備相撞，要求所牽引的飛機(jī)有很好的軌跡跟蹤性能.另外從操縱性能的角度出發(fā)，由于飛機(jī)的質(zhì)量和體積較大且價(jià)格昂貴，要求飛機(jī)在地面行駛時(shí)有一定的穩(wěn)定性.目前無(wú)桿牽引車的操縱主要依靠有經(jīng)驗(yàn)的駕駛員，但隨著近幾年飛機(jī)的種類和數(shù)量不斷增多，牽引車的工作越來(lái)越繁忙，這就對(duì)飛機(jī)牽引的快速性和安全性提出了更高的要求.

在過(guò)去十多年中發(fā)展起來(lái)的自動(dòng)轉(zhuǎn)向技術(shù)引起了各國(guó)學(xué)者的關(guān)注，主要將其應(yīng)用與各種鉸接列車，如高速公路上的汽車列車［3］、農(nóng)業(yè)上用的牽引車［4］以及韓國(guó)的雙峰有軌電車［5］、澳大利亞的多節(jié)鉸接列車［5］等.自動(dòng)轉(zhuǎn)向技術(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)是減輕駕駛員疲勞，降低運(yùn)輸成本，保證鉸接車輛的行駛安全性如:使?fàn)恳嚰傲熊嚲_地跟蹤指定軌跡，并保持很好的操縱穩(wěn)定性.為了實(shí)現(xiàn)側(cè)向的軌跡跟蹤，首先需采用GPS、視覺(jué)導(dǎo)航、光學(xué)側(cè)標(biāo)-激光雷達(dá)導(dǎo)航等技術(shù)測(cè)量汽車的側(cè)向跟蹤誤差;再基于所建立的系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)牽引車及列車的自動(dòng)轉(zhuǎn)角控制器.其中基于線性模型已經(jīng)設(shè)計(jì)出魯棒控制器、線性參數(shù)變化控制器和二次最優(yōu)控制器，基于非線性及不確定模型設(shè)計(jì)出了精確線性化控制器、自適應(yīng)控制器和滑膜控制器等［6-7］.為了實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性的控制，基于極點(diǎn)配置、魯棒反饋和變結(jié)構(gòu)等原理設(shè)計(jì)了列車后輪轉(zhuǎn)角控制器.

將自動(dòng)轉(zhuǎn)向控制技術(shù)應(yīng)用于具有鉸接結(jié)構(gòu)的飛機(jī)牽引系統(tǒng)，可以很好地滿足牽引車的操縱需求.針對(duì)飛機(jī)牽引系統(tǒng)的特點(diǎn):行駛速度較低，牽引車和飛機(jī)之間會(huì)產(chǎn)生大的鉸接角，且不能被忽略;同種型號(hào)的牽引車需要牽引不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的飛機(jī).本文采用牛頓-歐拉方法建立了包含牽引車轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)在內(nèi)的牽引系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型.考慮到飛機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性和牽引系統(tǒng)運(yùn)行轉(zhuǎn)態(tài)的多變性，采用反演變結(jié)構(gòu)控制方法，設(shè)計(jì)出具有魯棒性能的牽引車前、后輪轉(zhuǎn)角自動(dòng)轉(zhuǎn)向控制器，使得牽引系統(tǒng)具有很好的軌跡跟蹤性能和穩(wěn)定性.

1 飛機(jī)牽引系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為無(wú)桿飛機(jī)牽引系統(tǒng)力學(xué)模型.其中，y1，ε1為牽引車的側(cè)向位移和橫擺角;Iz1，Iz2為牽引車和飛機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;l1，l2為牽引車前后軸到質(zhì)心的距離;l3，l4為飛機(jī)前后軸到質(zhì)心的距離;l5為牽引車質(zhì)心到鉸接點(diǎn)的距離.Fy1，F(xiàn)y2，F(xiàn)y3為牽引車前后輪和飛機(jī)主起落架輪胎的側(cè)向力;εf為飛機(jī)相對(duì)于牽引車的橫擺角.

牽引車工作時(shí)將飛機(jī)的前起落架背負(fù)起來(lái)，使其離開(kāi)地面，此時(shí)飛機(jī)只有主輪與地面接觸，牽引車和飛機(jī)之間存在一個(gè)鉸接點(diǎn).

圖1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 System dynamic model

1.1 牽引系統(tǒng)模型

對(duì)于低速行駛的飛機(jī)牽引系統(tǒng)，當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑小時(shí)，必須考慮鉸接角引起的非線性因素［8-9］.

根據(jù)牛頓-歐拉定理對(duì)牽引車和飛機(jī)分別建立橫向和橫擺運(yùn)動(dòng)的微分方程:

式中:m1、m2為牽引車和飛機(jī)的質(zhì)量;FNy、FMy為鉸接點(diǎn)處牽引車和飛機(jī)所受的側(cè)向力.

牽引車和飛機(jī)鉸接點(diǎn)處的作用力的關(guān)系為

鉸接點(diǎn)處的速度及加速度的約束方程為

牽引車牽引飛機(jī)時(shí)行駛速度低，輪胎特性近似為線性:

其中，q=［y1ε1εf］T;δ =［δfδr］T;M(q)是 3 ×3 的矩陣 M(q)=［Mij］，(i，j=1，2，3);τ(q)為 3 ×2 矩陣 τ(q)=［τij］，(i=1，2，3;j=1，2).

1.2 軌跡參考坐標(biāo)系

牽引車自動(dòng)轉(zhuǎn)向的主要目的是使飛機(jī)的前起落架能夠很好地跟蹤指定的軌跡.對(duì)于無(wú)桿牽引車，飛機(jī)的前起落架背負(fù)在牽引車上，其行駛軌跡與牽引車此時(shí)的質(zhì)心位置是相近的，因此保證牽引車質(zhì)心跟蹤指定軌跡即可.為了量化牽引車的側(cè)向跟蹤誤差，建立軌跡參考坐標(biāo)系［10］如圖2所示.

圖中xr軸與軌跡曲線相切，yr軸經(jīng)過(guò)牽引車的質(zhì)心，εd為軌跡的曲率半徑.牽引車連體坐標(biāo)系與軌跡參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中:c1、c2為牽引車前后輪胎的側(cè)偏剛度;c3為飛機(jī)主起落架輪胎的側(cè)偏剛度;δf、δr為牽引車前、后輪轉(zhuǎn)角.

利用鉸接點(diǎn)處的相互作用力消去非獨(dú)立變量，即可將上述三自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程整理成矩陣形式:

式中:εr為牽引車相對(duì)軌跡坐標(biāo)系的橫擺角速.

圖2 牽引車坐標(biāo)系和軌跡坐標(biāo)系Fig.2 Tractor and trajectory coordinate system

只要路面參考坐標(biāo)系確定，就可以根據(jù)狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系在軌跡參考坐標(biāo)系中表達(dá)飛機(jī)牽引系統(tǒng)模型，方程的矩陣形式為

1.3 輸入-輸出解偶

確定飛機(jī)牽引系統(tǒng)的2個(gè)控制目標(biāo):牽引車相對(duì)軌跡的側(cè)偏位移yr和牽引車與飛機(jī)之間的相對(duì)橫擺角εf，則系統(tǒng)控制輸出為

對(duì)方程(12)進(jìn)行解偶得

式中:fr(qr)、ff(qr)為未建模動(dòng)態(tài)和時(shí)變參數(shù)引起的不確定性，主要由不確定參數(shù) l3、l4、Iz2、m2、Iz1、m1、l1、l2、l5、c3(飛機(jī)將自身的部分質(zhì)量轉(zhuǎn)移到牽引車上，導(dǎo)致?tīng)恳嚨膮?shù)也發(fā)生改變)和不確定行駛參數(shù)u組成.

采用Backstepping變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)飛機(jī)牽引系統(tǒng)的控制器，不確定系統(tǒng)可以不滿足傳統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制要求的匹配條件，控制器對(duì)系統(tǒng)的不確定性fr(qr)、ff(qr)是不變的［11］.

1.4 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

轉(zhuǎn)向系統(tǒng)作為牽引車的重要組成部分，在牽引車的側(cè)向控制設(shè)計(jì)中是不能夠被忽略的.一般轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的阻尼和剛度都遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，轉(zhuǎn)向系統(tǒng)可以表達(dá)為二階系統(tǒng)［12］:

式中:δ為轉(zhuǎn)向輪實(shí)際的轉(zhuǎn)角輸入，Da為阻尼比，ωa為無(wú)阻尼自然頻率.

2 Backstepping變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制器設(shè)計(jì)

綜合式(11)、(12)得到系統(tǒng)狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:

假設(shè)存在光滑函數(shù) αi(x1，…，xi)，i=1，2，使得

取xi(i=1，2)為虛擬控制，其期望值為 xid，則定義控制誤差為

1)對(duì)s1求導(dǎo)

定義Lyapunov函數(shù)，并對(duì)其求導(dǎo)得

2)對(duì)s2求導(dǎo):

其中，x2d是x1的函數(shù)，因此x·2d可分為確定和不確定項(xiàng)，記為?x2d和Δx·2d，則得到

根據(jù)假設(shè)(15)，能找到光滑函數(shù)β2(x1)，使得

得s2導(dǎo)數(shù)為

定義Lyapunov函數(shù):

結(jié)合式(19)、(21)得

針對(duì)式(22)選擇變結(jié)構(gòu)控制律為

對(duì)非線性系統(tǒng)式(14)選擇控制律(22)可以保證 yr，εf對(duì)期望信號(hào) yrd，εfd是有界跟蹤的，跟蹤誤差小于(ε/2k)1/2.

2.2 抖振現(xiàn)象消弱

變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)最突出的問(wèn)題就是其抖振現(xiàn)象.為了消除這種現(xiàn)象引入邊界層法，即用sat(s/Δ)代替 sgn(s)，其中

式中:Δ為邊界層厚度

3 仿真結(jié)果和分析

以某型號(hào)牽引車和飛機(jī)為例，在simulink上建立上述系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示.

圖3 Backstepping變結(jié)構(gòu)控制仿真模型Fig.3 Simulation model with backstepping variable structure control

假設(shè)牽引系統(tǒng)行駛的指定軌跡如圖4所示，系統(tǒng)初始軌跡偏差為 0.1 m.牽引車牽引飛機(jī)以20 km/h向前行駛.

實(shí)驗(yàn)1 采用Backstepping變結(jié)構(gòu)控制方法，只對(duì)牽引車前輪施加控制使偏移距離趨向0.

實(shí)驗(yàn)2 當(dāng)牽引系統(tǒng)相對(duì)橫擺角Ra的絕對(duì)值小于0.04 rad時(shí)，只對(duì)牽引車前輪施加轉(zhuǎn)向控制，當(dāng)相對(duì)橫擺角的絕對(duì)值大于0.04 rad時(shí)，添加后輪轉(zhuǎn)向控制，使其值小于等于0.04 rad.對(duì)上述兩種情況進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖5、6所示.由圖5可以看出兩種控制方式都能使?fàn)恳到y(tǒng)很好的跟蹤指定的軌跡，牽引車質(zhì)心的側(cè)偏位移Ld近似為0.在圖6中，出現(xiàn)相對(duì)橫擺角為-0.06 rad的情況時(shí)，實(shí)驗(yàn)2中的后輪轉(zhuǎn)向使其值迅速恢復(fù)到-0.04，使?fàn)恳到y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變得更加平穩(wěn).

圖4 仿真軌跡Fig.4 Simulation scenario

圖5 偏移距離Fig.5 Lateral displace ment

圖6 相對(duì)橫擺角Fig.6 Relative angle

實(shí)驗(yàn)3 仿真的初始條件與上相同，采用實(shí)驗(yàn)2的轉(zhuǎn)向方式，分別選擇3種型號(hào)的飛機(jī)m1、m2、m3，(其質(zhì)量分別為:m1=54 975 kg，m2=78 536 kg，m3=94 243 kg)輪胎側(cè)偏剛度和結(jié)構(gòu)參數(shù)也隨飛機(jī)型號(hào)的不同而不同進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖7、8所示.由圖7得到當(dāng)牽引不同型號(hào)的飛機(jī)時(shí)，變結(jié)構(gòu)控制器都可以使系統(tǒng)很好的跟隨期望的軌跡，從而保證了控制的魯棒性.圖8表明，牽引質(zhì)量為m1的飛機(jī)時(shí)橫擺角小于0.04 rad，后輪沒(méi)有參與轉(zhuǎn)向，牽引質(zhì)量為m2、m3的飛機(jī)時(shí)，一旦相對(duì)橫擺角的絕對(duì)值大于0.04 rad時(shí)，后輪轉(zhuǎn)角就起到了增強(qiáng)穩(wěn)定性的作用.

圖7 牽引不同飛機(jī)時(shí)的偏移距離Fig.7 Lateral displace by towing variable type aircrafts

圖8 牽引不同型號(hào)飛機(jī)時(shí)的相對(duì)橫擺角Fig.8 Relative angle by towing various types of aircrafts

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)無(wú)桿飛機(jī)牽引系統(tǒng)行駛的特殊性，本文考慮鉸接角的影響，建立了無(wú)桿飛機(jī)牽引系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型.基于輸入輸出解偶方法，采用Backstepping變結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)了系統(tǒng)轉(zhuǎn)向控制器.仿真結(jié)果表明，與只對(duì)前輪施加轉(zhuǎn)向控制相比，對(duì)牽引車后輪施加控制不僅可以使系統(tǒng)很好地追蹤指定軌跡，且可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制，避免了折疊現(xiàn)象的產(chǎn)生.當(dāng)牽引不同型號(hào)的飛機(jī)時(shí)，系統(tǒng)仍能實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，具有很好的魯棒性.

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