曾薄文，朱齊丹于瑞亭

(哈爾濱工程大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

近年來，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制引起了不少學(xué)者的關(guān)注.欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指控制輸入向量空間的維數(shù)小于其廣義坐標(biāo)向量空間維數(shù)的情況，即系統(tǒng)的獨(dú)立控制輸入量少于其自由度［1-2］.目前，海上運(yùn)行的相當(dāng)數(shù)量的船舶是依靠推力和轉(zhuǎn)船力矩這兩個(gè)獨(dú)立的控制輸入來實(shí)現(xiàn)水平面3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)控制，因此對其研究可歸結(jié)為欠驅(qū)動(dòng)控制問題.

為了經(jīng)濟(jì)以及安全的目的，船舶需要按照設(shè)定的航線(直線或曲線)行駛.上世紀(jì)90年代，船舶航跡跟蹤控制就已引起人們的極大關(guān)注.由于欠驅(qū)動(dòng)水面船舶在橫向上未裝備驅(qū)動(dòng)裝置，加速度帶有不可積的非完整約束條件，并且無法通過坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)換成無漂的鏈?zhǔn)较到y(tǒng)來處理等原因，使得欠驅(qū)動(dòng)船舶的航跡跟蹤控制設(shè)計(jì)非常困難［3］，其根本原因在于不滿足著名的Brockett定理的必要條件.因此欠驅(qū)動(dòng)船舶的航跡跟蹤控制具有極其重要的理論與實(shí)踐意義，已經(jīng)成為當(dāng)今船舶運(yùn)動(dòng)控制研究的一個(gè)熱點(diǎn)，DO等［5］基于重定義輸出和反步技術(shù)提出了全局k指數(shù)穩(wěn)定直線航跡狀態(tài)及輸出反饋控制律.韓冰等［4］采用直接動(dòng)態(tài)反饋線性化建立等效模型，再設(shè)計(jì)反饋控制使跟蹤誤差全局漸近鎮(zhèn)定的方法對直線航跡控制進(jìn)行了研究，李鐵山等［6］將嚴(yán)格耗散的概念引入到船舶直線航跡控制系統(tǒng)中，研究了不完全驅(qū)動(dòng)船舶在有外界干擾作用下的直線航跡魯棒控制問題.周崗等［7-8］分別利用輸入輸出線性化技術(shù)和重定義輸出變量的思想對欠驅(qū)動(dòng)船舶的直線航跡控制的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，得到了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件及推論.

以上文獻(xiàn)對于欠驅(qū)動(dòng)船舶的直線航跡跟蹤控制的研究，其假設(shè)條件均為航速已單獨(dú)實(shí)現(xiàn)控制，即所研究的問題為定航速下的直線航跡跟蹤控制，此時(shí)期望的航向角速度為零，同時(shí)忽略了側(cè)移對船舶運(yùn)動(dòng)的影響，這一假設(shè)條件大大簡化了對水面船舶的航跡跟蹤問題.且所提出的控制方法并不適合曲線航跡跟蹤，為此基于反步法設(shè)計(jì)原理提出了一種欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的曲線航跡跟蹤控制方法，可實(shí)現(xiàn)航速、側(cè)移和位置的同步跟蹤.

1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

考慮如下欠驅(qū)動(dòng)水面船舶，如圖1所示.

圖1 欠驅(qū)動(dòng)水面船舶Fig.1 Underactuated surface vessel

本文的研究僅考慮水面船舶在水平面上3個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)，忽略船舶的升沉、縱搖和橫搖運(yùn)動(dòng)，并同時(shí)采用如下假設(shè):1)艇體坐標(biāo)系的軸位于艇的慣性主軸上;2)原點(diǎn)選在船體重心上;3)船體質(zhì)量均勻分布;4)船關(guān)于2個(gè)坐標(biāo)軸對稱.

參照文獻(xiàn)［9］，欠驅(qū)動(dòng)船舶的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

其中，M=diag(m11，m22，m33)是慣性參數(shù)矩陣，D=diag(d11，d22，d33)是水動(dòng)力阻尼參數(shù)矩陣，η =［x y ψ］T，V=［u v r］T，τ =［τ1，0，τ3］T，τ1和τ3分別為水面船舶的縱向推進(jìn)力和轉(zhuǎn)向力矩.因?yàn)闆]有側(cè)向推進(jìn)裝置，在橫向上沒有可用的控制輸入，因此所研究的船舶航跡跟蹤問題為欠驅(qū)動(dòng)控制問題，C(v)為科里奧利和向心力矩陣.

方程(1)是在假設(shè)船體前后及左右對稱的條件下得到的，但是對于常規(guī)水面艇來說都是左右對稱的，而前后是不對稱的，這說明慣性矩陣M中的m23=m32≠0，水動(dòng)力阻尼項(xiàng) d23≠d32≠0，對于大多數(shù)船舶這些非對角線元素相對于主對角線元素mii，dii(i=1，2，3)是小量，對最終控制器性能影響很小，因此在控制器設(shè)計(jì)時(shí)可將其忽略.將式(1)、(2)的矩陣方程組展開，可得到如下以展開形式表示的水面船舶水平面運(yùn)動(dòng)方程:

對于給定的有界可行的參考軌跡(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)和參考控制輸入(τ1d，τ3d)，滿足

對系統(tǒng)(5)進(jìn)行微分同胚變換，令

控制輸入變換:

則整理后新的狀態(tài)方程為

同理，可對指定的參考軌跡作相同變換

變換后的系統(tǒng)狀態(tài)方程可表達(dá)為

定義跟蹤誤差:

式(9)減去式(11)，得

為了從式(13)、(14)中消去 z1、z2、z4、z5、z6，作如下處理:

同理，有

將式(15)、(16)代入式(13)、(14)可得

通過狀態(tài)變換和輸入變換(7)、(8)、(10)，對于誤差系統(tǒng)如果有成立時(shí)，則(x，y，ψ，u，v，r)漸近收斂于(xd，yd，ψd，ud，vd，rd).

定理 1 假設(shè)(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)是可行的參考軌跡并且有界，如果存在一種控制律使得系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定，則該控制律同樣可以使得系統(tǒng)(17)漸近穩(wěn)定.

證明 因?yàn)?xd，yd，ψd，ud，vd，rd))有界，所以(z1d，z2d，z3d，z4d，z5d，z6d)有界.假設(shè)存在控制律和w2使得系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定，則有…，6)成立.定義Lyapunov函數(shù):

其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

由比較定理可知，W(t)滿足:

因?yàn)镃min＞0，f3(t)有界且在有限時(shí)間內(nèi)收斂為0，由引理可知，W有界且收斂為0，可知V有界且收斂為0，進(jìn)而可知e1和e5是有界的，且收斂為0.

證明完畢.

2 跟蹤控制器設(shè)計(jì)

由定理1，采用反步法構(gòu)造系統(tǒng)(18)的反饋鎮(zhèn)定律，并提出以下定理

定理2 對于如下控制律:

假設(shè)系統(tǒng)(18)狀態(tài)滿足{e2，e3，e4，e6}∈Ω，Ω ={(e2，e3，e4，e6)∈R4|α +z6d≠0|}，則控制律(20)使得系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定.

證明:考慮如下子系統(tǒng):

1)為使?fàn)顟B(tài)e3指數(shù)穩(wěn)定，視e6為虛擬控制輸入，令 e6=α，α =-k3e3，k3＞0.系統(tǒng)(21)變?yōu)?/p>

綜上所述，系統(tǒng)(18)在控制律(20)的作用下是漸近穩(wěn)定的.

證明完畢.

由式(8)得原系統(tǒng)(5)的控制輸入為

根據(jù)上述控制器設(shè)計(jì)，給出如下定理.

定理3 對系統(tǒng)(5)，如果參考軌跡(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)是可行的并且有界，在控制律(29)的作用下，(x，y，ψ，u，v，r)全局漸近收斂于(xd，yd，ψd，ud，vd，rd).

3 仿真

采用文獻(xiàn)［9］中的水池實(shí)驗(yàn)用的船模參數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，具體參數(shù)取為m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg，d11=70 kg/s，d22=100 kg/s，d33=50 kg/s.

不失一般性，將跟蹤的曲線設(shè)定為圓，并選擇兩個(gè)具有代表性的不同初始位置查看控制器的跟蹤效果.控制器的參數(shù)取為:k2=1.2，k3=1，k4=5，k6=6，(xd，yd，ψd，ud，vd，rd)設(shè) 定 為［Rcost，Rsint，t+ π/2，3，0，1)］，(w1d，w2d)為(0，0)，當(dāng)初始狀態(tài)(x，y，ψ，u，v，r)設(shè)定為(0，0，0，0，0，0)時(shí)，仿真結(jié)果如圖2～4所示.

由圖2(a)、(b)、(c)可知在所控制律的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的曲線航跡跟蹤誤差在有限時(shí)間內(nèi)漸進(jìn)收斂為0，其中圖2(c)顯示了誤差e1、e5的收斂狀態(tài)，證明了定理1的正確性.圖2(d)給出了欠驅(qū)動(dòng)水動(dòng)力船舶的響應(yīng)曲線，可知控制輸入均為有界的.圖3分別顯示了系統(tǒng)狀態(tài) ψ、x、y 和 u、v、r的跟蹤曲線.欠驅(qū)動(dòng)船舶在水平面的圓的跟蹤航跡如圖4所示.

圖2 誤差漸進(jìn)收斂曲線和控制輸入Fig.2 Convergence of the error states and control inputs

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤曲線Fig.3 Response of ψ，x，y and u，v，r

圖4 欠驅(qū)動(dòng)船舶水平面的跟蹤航跡Fig.4 Traces of underactuated surface vessel

控制器參數(shù)取不同值4，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)為(x，y，ψ，u，v，r)設(shè)定為(5，5，π/2，0，0，0)時(shí)，仿真結(jié)果如圖5～7所示.

圖5 誤差漸進(jìn)收斂曲線和控制輸入2Fig.5 Convergence of the error states and control inputs

圖6 系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤曲線2Fig.6 Response of and ψ，x，y and u，v，r

圖7 欠驅(qū)動(dòng)船舶水平面的跟蹤航跡2Fig.7 Traces of underactuated surface vessel

以上仿真結(jié)果表明，本文所提出的控制規(guī)律可以有效的跟蹤曲線航跡，跟蹤效果也較為理想.

4 結(jié)束語

通過全局微分同胚和反饋?zhàn)儞Q，對變換后的級聯(lián)誤差系統(tǒng)運(yùn)用反步法和Lyapunov直接方法構(gòu)造了欠驅(qū)動(dòng)水面船舶的曲線航跡跟蹤控制律，可同時(shí)實(shí)現(xiàn)航速、側(cè)移和位置的同步跟蹤.仿真結(jié)果表明本文所提出的控制律可有效解決欠驅(qū)動(dòng)船舶的曲線航跡跟蹤問題.

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