喬克林，李 萍，侯致武

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

一類雙復合風險模型的破產(chǎn)概率的初步研究

喬克林，李 萍，侯致武

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

考慮對保單到達過程進行 P－稀疏來描述理賠到達的雙復合 Poisson過程，并用比例再保險的方式降低保險公司的風險，加入不確定因素對建立的模型進行隨機干擾，得到了該模型破產(chǎn)概率的一般表達式及破產(chǎn)概率的一個上界估計，通過構(gòu)造鞅的方法，得到了模型的 Lundberg方程，并證明了調(diào)節(jié)系數(shù)的存在性。

稀疏過程；再保險；破產(chǎn)概率；雙復合風險模型；干擾項；

在經(jīng)典風險模型的假設(shè)條件中，保費到達過程與理賠到達過程是相互獨立的，實際問題中，隨著人們保險意識及市場競爭不斷的發(fā)展，保險公司受到了來自社會、經(jīng)濟、軍事等各方面的影響，其經(jīng)營的風險模型也越來越復雜，對于相互獨立條件的改進，我們考慮保費到達過程與理賠到達過程之間的數(shù)字特征的相互關(guān)聯(lián)性，如期望的相依性、比例關(guān)系更符合市場的實際情況。文獻［1］中，采用 Poisson過程來描述保單到達過程，是對經(jīng)典風險模型的一種更加實用性的改進，但是它仍考慮保費與理賠的相互獨立性，未考慮到保費與理賠之間數(shù)字特征的相關(guān)性對保險公司實際運營的影響。文獻［2－4］考慮了理賠到達過程是保費到達過程的 P－稀疏過程，對經(jīng)典風險模型的一大發(fā)展，但未考慮再保險因素對保險公司生存概率的影響。文獻［5］僅考慮了再保險對保險公司的影響，所建立的模型中保費收取是簡單的線性增長，簡化了實際中的保費收取過程，在實際應用中有一定的局限性。本文是在以上文獻的基礎(chǔ)上，考慮保費到達過程和理賠到達過程均為復合 Poisson過程，且理賠到達過程是對保費到達過程進行隨機 P－稀疏來描述的，同時考慮再保險因素對風險模型生存概率的影響，并且在模型中加入隨機干擾項，以此體現(xiàn)實際中保險公司受到的除保費與理賠之外的其它不確定因素的影響。使建立的風險模型更加具有實際意義，本文對該模型的破產(chǎn)概率及上界估計等一些初步的風險精算指標進行了研究。

1 模型建立

定義1.1 設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一個完備的概率空間，本文中的所有隨機變量都定義在這一空間上，對u≥0，t≥0，定義保險公司在 t時刻的盈余為

其中，u是保險公司初始資金；q（0＜q＜1）為保險公司的比例再保險水平，則再保險公司賠付的理賠額為X（1－P）；｛N（t），t≥0｝為保單到達過程，即保險公司在時間［0，t］內(nèi)到達的保單數(shù)；｛Np（t），t≥0｝為理賠到達過程，即保險公司在時間［0，t］內(nèi)的總理賠次數(shù)；Xk為第 k次的理賠額，Yk為第 k張保單的保費收入。｛W（t），t≥0｝是標準布朗運動，表示保險公司除保費和理賠之外的不確定收入和支出。

我們對上述模型假設(shè)如下：

（1）｛Xk，k≥1｝，｛Yk，k≥1｝是取值于［0，∞）上的非負獨立同分布的隨機變量序列，其分布函數(shù)分別是F（x），G（y）。均值分別為 μx，μy。方差分別為

（2）｛N（t），t≥0｝是參數(shù)為λ的 Poisson過程，理賠到達過程｛Np（t），t≥0｝是保單到達過程｛N（t），t≥0｝的p－稀疏過程，即｛Np（t），t≥0｝是參數(shù)為 λp（0＜p＜1）的 Poisson過程。

（3）｛Xk，k≥1｝，｛Yk，k≥1｝，｛N（t），t≥0｝，｛Np（t），t≥0｝，及｛W（t），t≥0｝相互獨立。

為了確保保險公司能夠穩(wěn)定經(jīng)營，需要假設(shè) E［S（t）］＞0，即

此外，易證盈利過程｛S（t），t≥0｝是一平穩(wěn)獨立增量過程。

定義1.2 保險公司盈余首次為負值時刻，定義為破產(chǎn)時刻，記為 T，則

T＝inf｛t≥0，U（t）＜0，U（0）＝u｝.對 T＝∞時，則對?t＞0，有 U（t）＞0，即保險公司不會發(fā)生破產(chǎn)，定義最 終破產(chǎn) 概率 為 ψ（u）＝pro｛T＜∞，則生存概率為 Φ（u）＝1－ψ（u）.定義保險公司在時間 t之前發(fā)生破產(chǎn)的概率為 ψ（u，t），在時間t之前的生存概率為Φ（u，t）＝1－ψ（u，t）。

記保費額隨機變量 Yk的 Laplace變換為

記理賠額隨機變量 Xk的矩母函數(shù)為

假設(shè) LY（r）＜∞，并存在 r*＞0（r*可以為∞），使得當 r→r*時，有 MX（r）→∞，即?r*使得

定義1.3 對于盈利過程｛S（t），t≥0｝，定義事件流Fs＝｛，t≥0｝，其中

2 幾個引理

引理2.1 對于盈利過程｛S（t），t≥0｝，存在函數(shù) g（r），使得 E［e－rS（t）］＝etg（r）

證明

MX（r）為保費的矩母函數(shù)，LY（r）為理賠的 Laplace變換，令

即 有 E［e－rS（t）］＝etg（r）。證 畢 。

引理2.2 方程g（r）＝0在其定義域內(nèi)有唯一正解R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

所以 g′（0）＝－λq（μy－pμx）＜0，又因為

所以 g（r）在（0，r*）內(nèi)是凸函數(shù)，故方程g（r）＝0在（0，r*）內(nèi)至多有兩個解，r＝0是平凡解，又因為當 r→r*時有 g（r）→∞，所以方程g（r）＝0在其定義域內(nèi)有且只有一個正解，記為 R，稱其為調(diào)節(jié)系數(shù)。證畢。

證明 對?v≤t，由引理2.1知

所以｛Mu（t），t≥0｝是 FS下的鞅。證畢。

3 破產(chǎn)概率

定理3.1 風險模型的最終破產(chǎn)概率滿足 Lundberg不等式

證明 因為 T是 Fs停時，選 t0＞0，則T∧t0是Fs的停時，由引理 2.3得

因為當T＜∞時，有 u＋S（T）≤0，所以 e－r（u＋S（T））≥1，所以由

令 t0→∞，有，?。鹯：g（r）≤0｝，證畢。

定理3.2 對任意的 u≥0，r＞0有

其中 R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明 因為 T是 Fs的停時，對?t0＜∞。由有界停時定理知，T∧t0是 Fs停時。?u≥0，r＞0有

（2）式右端第一項記為 I1，第二項記為I2。由于

故（2）式左端 E［e－rU（t）］＝E［exp｛－

選 r＝R，則上式可化簡為 E［e－rU（t）］＝e－Ru。在I1中，U（t）可以寫成

給定 t，當 T＜t時 W（T）］和U（T）是相互獨立的，且是服從參數(shù)為 λ（t－T）的復合泊松過程，是服從參數(shù)為 λp（t－T）的復合泊松過程，是的稀疏過程。所以

選 r＝R，則有 I1＝E［e－RU（T）｜T＜t］pro｛T＜t｝

于是 （2）式化簡為

令 t→∞，（3）式右端第一項為 E［e－RU（T）｜T＜∞］ψ（u）。下面證明（3）式右端第二項當 t→∞時趨于0。

因為E［U（t）］＝E［u＋S（t）］＝u＋E［S（t）］＝u＋λtq（μy－pμx）

令 α＝λq（μy－pμx）＞0，β2＝λq2［（μy2＋σy

2）＋p（μx2＋σx2）］＋1。

q（t）＝u＋αt－βt2／3，因 α＞0，在t充分大的時候，q（t）＞0。因此

由契比雪夫不等式：

故當 t→∞時，0≤E［e－RU（t）｜T≥t］≤t－1／3＋e－Rq（t）→0.

綜上所述，有 e－RU（t）＝ψ（u）E［e－RU（T）｜T＜∞］.則得定理結(jié)論。

由此定理可推得定理 3.1成立.因為當 T＜∞時，U（T）＜0，因此 E［e－RU（t）｜T＜∞］＞1，則由以上定理有 ψ（u）＜e－Ru。

［1］龔日朝，李季風.雙 Poisson風險模型下的破產(chǎn)概率［J］.湘潭師范學院學報（自然科學版），2001，23（1）：55－57.

［2］李俊海.具有相關(guān)性的 Poisson分布風險模型［J］.鄭州工業(yè)高等?？茖W校學報，2004，20（4）：1－3.

［3］夏亞峰，顧群.帶投資和干擾項的相依風險模型［J］.甘肅科學學報，2010，22（1）：122－125.

［4］趙金娥，王貴紅，龍遙，等.索賠為稀疏過程的雙復合Poisson風險模型［J］.經(jīng)濟數(shù)學，2010，27（4）：86－92.

［5］成軍祥，王變.帶干擾的再保險風險模型的破產(chǎn)概率［J］.北京電子科技學院學報，2010，18（2）：1－3.

［6］成世學.破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學進展，2002，31（5）：403－422.

［責任編輯 賀小林］

The Prelim inary Research of Ruin Probabilities for a Class of Double Compound Risk M odel

QIAO Ke－Lin，LIPING，HOU Zhi－Wu
（College of Mathematics，Yan an University shannxi716000，China）

A riskmodelwith double compound poisson processwas studied，in which the arrival of the claims is a p－thining process of the arrival of the premium incomes.and reduced the risk of the insurance company with the proportional re－insurance.Meanwhile，the effect of the random interference on the ruin probability of insurance company were analyzed.The general expression of the ruin probability and an uper bound of the ruin probability were given.Lundberg equation of the ruin probability is provided bymeans ofmartingalemethod，and the existence of adjustment coefficientwas proved.

thinning process；re－insurance；ruin probability；double compound risk model；interference

O211.67

A

1004-602X（2011）02-0027-04

2011 -03 -28

陜西省教育廳自然科學基金（2010JK914）；延安大學教改項目（YDJG10－02）

喬克林（1964—），男，陜西佳縣人，延安大學副教授，碩士。