張文靜，張慶祥

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

B－半強預不變凸函數(shù)及其性質

張文靜，張慶祥

（延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000）

在 B－強預不變凸函數(shù)及半預不變凸函數(shù)的基礎上定義了 B－半強預不變凸函數(shù)及其相關概念，并給出了一些性質。

B－半強預不變凸函數(shù)；半預不變凸函數(shù)；性質

凸性和廣義凸性在數(shù)理經(jīng)濟、工程和最優(yōu)化理論等方面發(fā)揮著巨大作用，因此，對凸性和廣義凸性的研究是數(shù)學規(guī)劃中最重要的內容之一。1981年，Hanson在文獻［1］中提出了不變凸函數(shù)的概念，并得到了在不變凸性下 K－T條件是非線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解的充分條件，這是一個非常重要的推廣。1988年，Weir和 Mond在文獻［2］中定義了一種廣義凸函數(shù)，即預不變凸函數(shù)，并研究了它的性質以及在優(yōu)化中的應用。1991年，Bector和 Singh在文獻［3］中定義了 B－凸函數(shù)，討論了它的一些性質。1993年，Bector等人在文獻［4］中定義了B－不變凸函數(shù)，并討論了B－凸函數(shù)和 B－不變凸函數(shù)的非線性規(guī)劃最優(yōu)解的充分條件及對偶性。1993年，Suneja等人在文獻［5］中定義了B－預不變凸函數(shù)。2006年，余麗在文獻［6］中定義了 B－強預不變凸函數(shù)，并得到了一些性質。1976年，Avriel在文獻［7］中定義了半預不變凸函數(shù)。2003年，Yang等人在文獻［8］中進一步討論了半預不變凸函數(shù)的性質和它在多目標分式規(guī)劃中的應用。

本文在 B－強預不變凸函數(shù)及半預不變凸函數(shù)的基礎上定義了 B－半強預不變凸函數(shù)及其相關概念，并給出了一些性質。

注 如果 x，y∈Rn，那么我們規(guī)定

y＝z的?是：yi＝zi，i＝1，2，…，n

y＞z的?是：yi＞zi，i＝1，2，…，n

y≧z的?是：yi≧zi，i＝1，2，…，n

y≥z的?是：yi≧zi，i＝1，2，…，n；但至少存在一個1≦j0≦n，使 yi0＞zi0，即 y≠z。

1 預備知識

定義 1.1［11］設集合 K?Rn，如果存在一個向量函數(shù) η：Rn×Rn×［0，1］→Rn，使得對?x，y∈K，?λ∈［0，1］，都有y＋λη（x，y，λ）∈K，則稱集合K是關于 η的半不變凸集。

定義 1.2［7］設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱 f在 y∈K點關于η為半預不變凸函數(shù)，若對?x∈K及?λ∈［0，1］，有f（y＋λη（x，y，λ））≤λf（x）＋（1－λ）f（y），且λη（x，y，λ）＝0.若對?y∈K，f在y點關于η均為半預不變凸函數(shù)，則稱f在 K上關于 η為半預不變凸函數(shù)。

定義 1.3［6］設集合 D?Rn是關于 η：Rn×Rn→Rn的不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：D→R在 D上關于η，b是 B－強預不變凸函數(shù)，若存在一個常數(shù)β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

2 主要結果

定義 2.1 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：K→R在 K上關于 η，b是B－半強預不變凸函數(shù)，若存在一個常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定義 2.2 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù) f：K→R在 K上關于 η，b是嚴格 B－半強預不變凸函數(shù)，若存在一個常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定義 2.3 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，稱數(shù)量函數(shù)f：K→R在K上關于 η，b是半嚴格 B－半強預不變凸函數(shù)，若存在一個常數(shù) β＞0，使得

其中 λb（x，y，λ）≥0，1－λb（x，y，λ）≥0，b（x，y，0）＝1＝b（x，y，1）。

定理 2.1 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若 f：K→R在 K上關于η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)，k是任意常數(shù)，則 f＋k也是關于η，b的 B－半強預不變凸函數(shù)。

證明：因為f：K→R在K上關于η，b是B－半強預不變凸函數(shù)，故存在一個常數(shù) β＞0，使得對?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

對上式兩邊同時加 k，于是有

即

故f＋k也是關于η，b的B－半強預不變凸函數(shù)。

定理 2.2 設集合 K?Rn是關于η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若f：K→R在K上關于η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)，k＞0是任意常數(shù)，則kf也是關于 η，b的 B－半強預不變凸函數(shù)。

證明：因為 f：K→R在 K上關于 η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)，故存在一個常數(shù)β＞0，使得對?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

因為 k＞0，對上式兩邊同時乘以 k，得

又因為kβ＞0，故 kf也是關于 η，b的 B－半強預不變凸函數(shù)。

定理 2.3 設集合 K?Rn是關于η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若fi：K→R（i＝1，2，…，p）在 K上關于 η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)且在K上有上界，則函數(shù)f（x）＝max｛f1（x），f2（x），…，fp（x）｝在 K上關于 η，b是B－半強預不變凸函數(shù)。

證明：因為fi：K→R（i＝1，2，…，p）在K上關于η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)，故存在一個常數(shù) β＞0，使得對每一個i＝1，2，…，p，?x，y∈K，?λ∈［0，1］，滿足

所以對每一個i＝1，2，…，p，有

取上式左邊的極大值，有

故 f在 K上也是關于 η，b的 B－半強預不變凸函數(shù)。

定理 2.4 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，若 fi：K→R（i＝1，2，…，p）在K上關于 η，b是半嚴格 B－半強預不變凸函數(shù)，則

f＝∑pi＝1kifi，?ki＞0，i＝1，2，…，p，在K上關于η，b是半嚴格B－半強預不變凸函數(shù)。

證明：因為 fi：K→R（i＝1，2，…，p）在 K上關于η，b是半嚴格 B－半強預不變凸函數(shù)，故存在一個常數(shù) β＞0，使得對?x，y∈K，f（x）≠f（y），?λ∈（0，1），有

因為對?ki＞0，我們有

即

故 f在 K上也是關于 η，b的半嚴格 B－半強預不變凸函數(shù)。

定理 2.5 設集合 K?Rn是關于 η：Rn×Rn×［0，1］→Rn的半不變凸集，函數(shù)f：K→R在K上關于 η，b是 B－半強預不變凸函數(shù)，若是問題（P）的局部最優(yōu)解，則也是問題（P）的整體最優(yōu)解。

采用反證法，假設 x－不是問題（P）的整體最優(yōu)解，則存在x*∈K，使得

因為 K是半不變凸集，且f：K→R在K上關于η，b是B－半強預不變凸函數(shù)，則對?λ∈［0，1］，有＋λη（x*，x－，λ）∈K，且

則（2）與（1）矛盾，故 x－也是問題（P）的整體最優(yōu)解。

［1］Hanson M A.On sufficiency of Kuhn－Tucker conditions［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981（80）：545－550.

［2］Weir T，Mond B.Pre－invex function in multiple objective optimization［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1988（136）：29－38.

［3］Bector CR，Singh C.B－Vex functions［J］.Journal of optimization Theory and Applications，1991（71）：237－254.

［4］Bector C R，Suneja K，Lalitha C S.Generalized B－Vex functions and generalized b－Vex programming［J］.journal ofOptimization Theory and Applications，1993（76）：561－576.

［5］Suneja SK，Singh C C.Bector R.Generalization of preinvex and B－vex functions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1993（76）：577－587.

［6］余麗.B－強預不變凸函數(shù)［J］.宜春學院學報，2006（28）：7－8.

［7］Avriel M.Nonlinear programming：theory and methods［M］. New Jersey：Prentice，1976.

［8］Yang X M，Yang X Q，Teo K L.On properties of semipreinvex functions［J］.Bull Austral Math Soc.，1988（38）：177－189.

［9］林銼云，董加禮.多目標優(yōu)化的方法與理論［M］.長春：吉林教育出版社，1992.

［10］秦春蓉.強預不變凸函數(shù)的性質［J］.重慶師范大學學報.2006，（23）：30－32.

［11］Yang X，Q，Chen G，Y.A Class ofnonconvex functions and prevariatinal inequa lities［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，（169）：359－373.

［責任編輯 賀小林］

B－strong Sem i－preinvex Functions and Its Properties

ZHANGWen－jing，ZHANG Qing－xiang
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

The definition and related concepts of B－strong semi－preinvex functionswas introduced on the basis of B－strong semi－preinvex functions and semi－preinvex functions，and some propertieswere concluded.

B－strong semi－preinvex functions；semi－preinvex funetions；poperties

O221.6

A

1004-602X（2011）02-0020-04

2011 -03 -28

陜西省教育廳專項科研基金資助課題（06JK152）

張文靜（1985—），女，陜西延安人，延安大學在讀碩士研究生。