李繼軍

（上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院，上海 200000）

“動手實(shí)踐”作為新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式之一，它越來越受到廣大數(shù)學(xué)教師的重視。實(shí)踐表明，動手操作和實(shí)踐過程能刺激學(xué)生的知覺，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識與表象，能促進(jìn)學(xué)生在做中主動探索知識，從而感悟與建構(gòu)數(shù)學(xué)知識。但在引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作進(jìn)行建構(gòu)知識和探究規(guī)律的過程中，還存在著一些認(rèn)識和實(shí)踐上的偏差。其中一個突出的問題是，學(xué)生的動手操作活動往往只是按照教師的“指令”行動，缺少應(yīng)有的數(shù)學(xué)思考和實(shí)踐反思。這樣的操作活動，正如我國著名特級教師顧汝佐先生所稱的——學(xué)生只是做了“操作工”，往往是動手不動腦，“活動了身體而休息了大腦”，在很大程度上是一種“假探究”。下面以“圓的周長”教學(xué)的三個片斷為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生從單純的“操作工”成為真正的“探究者”。

一、從“教師直接發(fā)出操作具體指令”到“先讓學(xué)生提出操作活動設(shè)想”

【片斷描述】

對于如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究活動，該教師分為兩個層次加以引導(dǎo)：一是圓的周長的長短與什么因素有關(guān)？教師出示3個直徑不同的圓（圖略），提問：①你認(rèn)為哪個圓的周長最長？哪個最短？②你認(rèn)為圓的周長取決于圓的什么？通過學(xué)生的回答老師歸結(jié)引導(dǎo)為“圓的周長與它的直徑有關(guān)。直徑長，該圓的周長就長；直徑短，該圓的周長就短?！倍菆A的周長與直徑之間究竟有何關(guān)系？教師請各小組拿出事先準(zhǔn)備好的硬幣、鐵環(huán)、圓瓶蓋和圓形厚紙片，選擇合適的方法測量出它們的周長和直徑，填在相應(yīng)的“學(xué)習(xí)單”中（見下表1前3列內(nèi)容要求），為下一環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律作好準(zhǔn)備。

【問題探討】

引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圓的周長計(jì)算公式的探究過程，是本課教學(xué)的一個重要目標(biāo)。教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)采用探究學(xué)習(xí)的方式，符合規(guī)則學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求。本教學(xué)片斷中有兩點(diǎn)值得肯定：一是教師通過有層次的引導(dǎo)明確探究的問題指向，即圓的周長與直徑直接相關(guān)。這一教學(xué)法處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的研究意識。二是“學(xué)習(xí)單”的使用，為學(xué)生通過動手測量活動所直接獲取的數(shù)據(jù)，提供了比較恰當(dāng)?shù)妮d體，便于學(xué)生下一步的觀察與發(fā)現(xiàn)。但該教學(xué)中存在著一個較大的缺陷：即探究圓的周長與直徑之間究竟有何關(guān)系，是教師直接發(fā)出了操作的具體“指令”，學(xué)生只是根據(jù)相關(guān)“指令”進(jìn)行圓形物體的周長與直徑的測量。這種操作活動沒有學(xué)生的探究需要和預(yù)先的實(shí)踐思考，學(xué)生僅僅是按照教師的指令“操作”而已。顯然，這樣的操作活動往往只是停留在形式上，學(xué)生更多表現(xiàn)的是“操作工”角色，而不是動手實(shí)踐活動中的積極“思考者”和“探究者”。

【教學(xué)重建】

改進(jìn)的關(guān)鍵就是促進(jìn)動手操作活動成為學(xué)生探究“圓的周長與直徑之間的關(guān)系”所需，來自于觀察與發(fā)現(xiàn)所依賴的研究數(shù)據(jù)所需。當(dāng)老師提出“圓的周長與直徑之間究竟有何關(guān)系”這一探究性問題以后，教師要給予學(xué)生一定的思考時間，重在引導(dǎo)學(xué)生自己提出研究的設(shè)想：要研究兩者之間的關(guān)系，我們可以選擇幾個直徑不等的圓，測量出它們的周長和直徑，看看它們之間到底有何規(guī)律。只有真正引發(fā)了學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的實(shí)踐活動，退一步講，即使學(xué)生沒有提出操作活動的設(shè)想，那也是有教學(xué)價值的，至少學(xué)生經(jīng)歷了適度的挫折，引發(fā)了必要的反思。在此基礎(chǔ)上，教師再進(jìn)行一定的引導(dǎo)：為了便于測量，大家可以使用圓形的物體，把測量的結(jié)果填在相應(yīng)的“學(xué)習(xí)單”中?？梢姡瑥摹敖處熤苯影l(fā)出操作具體指令”到“先讓學(xué)生提出操作活動設(shè)想”，凸顯了操作活動的目的，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)角色的轉(zhuǎn)變，成為探究活動的主動參與者。

二、從“教師直接告知觀察的視點(diǎn)”到“提升觀察與發(fā)現(xiàn)規(guī)律的空間”

【片斷描述】

當(dāng)學(xué)生按照教師的要求完成測量后，教師向?qū)W生提醒道：“別忘了把周長除以直徑得到的商填在表格中，得數(shù)可以保留兩位小數(shù)。觀察這些數(shù)據(jù)，你有何發(fā)現(xiàn)？”當(dāng)然，一部分學(xué)生已根據(jù)“學(xué)習(xí)單”上的提示完成填表，剩下的同學(xué)在教師的提醒下完成。經(jīng)過反饋交流，教師選擇了四個具體物品數(shù)據(jù)填寫在下面表格（如表1），并引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：“你們發(fā)現(xiàn)周長與直徑有何關(guān)系？”通過小組交流，大家的意見趨于一致：圓的周長總是直徑的3倍多一點(diǎn)。在此共識下，教師引出圓周率這一概念以及簡要介紹我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的貢獻(xiàn)，順利推導(dǎo)出圓周長的計(jì)算公式：圓周長=圓周率×直徑，并用字母表示為c=仔d或c=2仔r。

表1

【問題探討】

面對學(xué)生測量獲得的數(shù)據(jù)，教師在“學(xué)習(xí)單”中所給予的直接提示，隨后當(dāng)學(xué)生在完成測量后又進(jìn)行及時提醒。其目的就是把觀察的視點(diǎn)及時告知學(xué)生，使學(xué)生能順利地發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑之間的內(nèi)在關(guān)系：“圓的周長總是直徑的3倍多一點(diǎn)”，從而推導(dǎo)出圓周長的計(jì)算公式。但是，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律和推導(dǎo)公式的過程中，很大程度上學(xué)生成了形式上的發(fā)現(xiàn)者和探究者,還是缺少主動思考和真正發(fā)現(xiàn)的探究歷程和體驗(yàn)。嚴(yán)格來說，其學(xué)習(xí)方式還是被動的接受式學(xué)習(xí)。

【教學(xué)重建】

根據(jù)以上的分析，本教學(xué)環(huán)節(jié)可以作這樣的改進(jìn)：應(yīng)去掉“學(xué)習(xí)單”中給予的直接提示和隨后進(jìn)行的及時提醒，如學(xué)習(xí)單中以“兩者之間有何關(guān)系？”為提示語。這樣，既旨在提升學(xué)生思考和探究的空間，又暗示發(fā)現(xiàn)規(guī)律所涉及的關(guān)鍵因素，明確思考與發(fā)現(xiàn)的范圍。教學(xué)中，如果學(xué)生還是不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這時教師再給予提醒：“把周長除以直徑。觀察得到的商，你有何發(fā)現(xiàn)？”有了這樣的思考與相應(yīng)的動手操作活動，即使學(xué)生沒有成功，那也是具有寶貴的教學(xué)價值的，至少學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、猜想和驗(yàn)證等一系列數(shù)學(xué)認(rèn)識活動。據(jù)此“學(xué)習(xí)單”可以作這樣的改進(jìn)（如表2）

表2

三、從“讓學(xué)生單純的實(shí)踐應(yīng)用”到“引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷高認(rèn)知的思維活動”

【片斷描述】

鞏固知識階段，教師設(shè)計(jì)了實(shí)踐活動作業(yè)：拿出一張邊長是5 cm的正方形紙，請學(xué)生在圖中畫出一個最大的圓，并求出圓的周長。對于這項(xiàng)實(shí)踐性作業(yè)，根據(jù)已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，絕大多數(shù)學(xué)生能正確畫出草圖（如圖A），并能正確計(jì)算：c=3.14×5=15.7（cm）。教師反饋評講后，又追問圖中正方形周長是多少，學(xué)生同樣給予正確解答：c=4×5=20（cm）。

【問題探討】

應(yīng)該說，教師在鞏固知識階段設(shè)計(jì)實(shí)踐性作業(yè)，既能鞏固所學(xué)知識又能促進(jìn)學(xué)生的動手能力和空間觀念的培養(yǎng)，值得稱道。但本題所蘊(yùn)涵的潛在的教學(xué)價值，該教師沒有進(jìn)行深度挖掘和有效利用：借助圖與計(jì)算結(jié)果，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，判斷出圓的周長小于正方形的周長，再比較它們的算式，可以說明圓周率一定小于4。繼而教師可以提出一個挑戰(zhàn)性的任務(wù)：誰能設(shè)計(jì)一個問題解決方案——說明圓周率一定大于某數(shù)，就比如大于3，引發(fā)學(xué)生的積極思考和主動探究。其改進(jìn)設(shè)想的教學(xué)價值有兩點(diǎn)：一是改進(jìn)設(shè)想其實(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的構(gòu)造性思想，它是一種高認(rèn)知的思維活動。即使學(xué)生無法達(dá)到設(shè)想要求，那也是值得肯定的，至少在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷了這種高認(rèn)知思維的過程。二是從設(shè)計(jì)活動所期望體現(xiàn)的結(jié)果看，足以展現(xiàn)猜測和估計(jì)活動對數(shù)學(xué)研究和探究活動的價值，能對圓的周長計(jì)算公式探究活動起到錦上添花之作用。同時對后面圓的面積計(jì)算公式的探究學(xué)習(xí)有著很好的啟示。

圖A

【教學(xué)重建】

該怎樣開發(fā)和利用本題所蘊(yùn)涵的教學(xué)價值？以及如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷高認(rèn)知的數(shù)學(xué)思維活動呢？教師首先可以結(jié)合圖與算式，引導(dǎo)學(xué)生從比較中得出圓的周長小于正方形的周長，從而說明圓周率一定小于4。在此基礎(chǔ)上教師提出一個挑戰(zhàn)性的任務(wù)：誰能設(shè)計(jì)一個方案說明圓周率一定大于某數(shù)，就比如大于3，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)設(shè)計(jì)。學(xué)生受上面圖示的啟發(fā)以及自身的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，可能提出這樣的設(shè)想：

當(dāng)然，圖B-1和圖B-2，用學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識無法得出圓的直徑與正三角形和正方形邊的關(guān)系，因而學(xué)生無法解答與說明。對此，教師對其設(shè)計(jì)思路應(yīng)給予肯定，不應(yīng)作全盤否定，學(xué)生至少經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思考和操作活動。圖B-3則可用學(xué)生現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗(yàn)加以簡要推理說明：圓的周長大于正六邊形的周長。設(shè)圓的直徑為d，圓周長=仔d；由于正六邊形分割后的6個圖形都是相同的等邊三角形，邊長為d，則正六邊形的周長為3d。因而說明圓周率一定大于3。從中我們得出圓周率介于3～4之間。這樣，通過構(gòu)造圖形從估算角度進(jìn)一步驗(yàn)證圓周率的數(shù)值范圍，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的一種常用思想和策略。這種構(gòu)造性思想方法及其探究關(guān)系的分析、推理活動，對六年級學(xué)生來說無疑是高認(rèn)知的思維活動。

總之，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”，重視教學(xué)過程的活動化設(shè)計(jì)，這是改善教與學(xué)方式的有效策略之一。加強(qiáng)動手操作活動是改進(jìn)教學(xué)、提高教學(xué)有效性的重要策略。需指出的是，“數(shù)學(xué)操作活動”不是指單純的肢體運(yùn)動，而是指觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、歸納、類比、猜想、推理、驗(yàn)證、交流、反思等一系列的數(shù)學(xué)認(rèn)識活動。數(shù)學(xué)思維應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)操作活動之“靈魂”。只有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思維、經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷解決過程的實(shí)踐操作和自主探究，才是有效的教學(xué)，學(xué)生才能成為真正的探究者。

[1]顧汝佐.不要讓學(xué)生做“操作工”[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2001（9）.

[2]吳相會.合作學(xué)習(xí)中課程資源的有效運(yùn)用[J].小學(xué)教學(xué)參考（數(shù)學(xué)版），2010（5）.

[3]李繼軍.從關(guān)注教學(xué)細(xì)節(jié)入手改進(jìn)教學(xué)行為例談[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2009（5）.