徐 磊，楊 剛

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西西安 710071)

攝像機標定是立體視覺系統(tǒng)中基本而又較困難的步驟，其精度決定著系統(tǒng)的性能。因而，這一課題也是當(dāng)今計算機視覺研究的一個熱點，國內(nèi)外學(xué)者對此做了大量的研究，提出了很多優(yōu)秀算法，如張正友的平面標定法［1］，Tsai的兩步標定法［2］，Abdel－ Aziz 和Karara提出的直接線性交換方法與利用透視矩陣交換的定標方法［3］，Luong、馬頌德等人提出利用主動視覺與運動圖像分析的內(nèi)參數(shù)自標定方法［4］等。在研究了前人大量算法的基礎(chǔ)之上，文中提出了一種基于B－dual－space幾何模型的改進型標定算法。

B－dual－space概念最先由Jean Yves Bouguet提出［5］，將其應(yīng)用到攝像機標定領(lǐng)域，可以充分利用標定圖像中點、線和面固有的幾何關(guān)系和屬性，在求解出等效焦距的初始值的同時，還能提供明晰的幾何解釋。

1 B－dual－space中的點線面性質(zhì)

以攝像機的光心為原點構(gòu)造三維歐式空間F=(Oc，Xc，Yc，Zc)，如圖 1 所示，空間中某點P記作=［X，Y，Z］T，歐式空間中的平面∏的解析式為

若平面∏不經(jīng)過光心Oc，即式(1)中的πt始終不為0，式(1)適當(dāng)變形有

在圖像平面中構(gòu)造二維坐標系(c，xc，yc)，其中c是光軸(Oc，Zc)與像平面的交點，稱為主點，(c，xc)和(c，yc)分別平行于(Oc，Xc)和(Oc，Yc)。

空間中點P在圖像平面的投影為點p，記其坐標=［x，y］T，由射影關(guān)系式(3)也被稱作針孔成像模型。

圖1 攝像機坐標系和圖像平面

圖像平面內(nèi)點與線具有下述性質(zhì):

性質(zhì)2 λ1和λ2是圖像平面的兩條不同的直線，對應(yīng)的向量分別為和2。那么這兩條直線的交點p的齊次坐標為如果兩條直線平行，那么x做坐標的第三分量為0，表示p點位于無限遠處。

B－dual－space空間中點、線、面具有的性質(zhì):

性質(zhì)4 ∏a和∏b是兩個平行平面且對應(yīng)于B－dual－space的和，那么消失線H表示兩個平行平面在無限遠處的相交。在B－dualspace中H的對應(yīng)是連接和并且穿過原點的直線。這條直線的方向不僅指示了兩個平面的法向量，同時也是H在圖像平面的投影λH的對應(yīng)。雖然H在歐式空間中不能明確的表示出來，但在射影幾何下，在圖像平面卻可以有確定的形狀。一旦這條線確定了，那么平面的方向也就確定了

性質(zhì)5 兩條平行直線Λa和Λb在平面∏內(nèi)，那么是和的交點。在 B －dual－space中，包含和的平面是消失點V的對應(yīng)，V是歐式空間中平行直線Λa和Λb的交點。如果H是平面∏的消失線，則V∈H，從而B－dual－space中?。因為經(jīng)過原點，所以也必然經(jīng)過原點。

性質(zhì)6 Λ1和Λ2是平面∏上的正交的直線并使=∩?？紤]與∏垂直的所有平面。在B－dualspace里，所有這些平面的對應(yīng)位于通過原點并且垂直于向量的平面表上，令其為。在這些平面中，考慮兩個特殊位置∏1和∏2，它們經(jīng)過Λ1和Λ2。在B－dual－space中兩個平面的向量分別為和，它們與的連線分別對應(yīng)于直線和。因為Λ1和Λ2正交，故向量和也正交。這就表明與直線Λ1和Λ2相關(guān)聯(lián)的消失點在B－dual－space的對應(yīng)平面和也是相互垂直的。

2 利用B－dual－space計算等效焦距

圖2 用平面上的正方形標定示意圖

引入定理［7］:K是任意矩陣和是任意三維向量，那么(K)×(K)=K*×)，其中K*是K的伴隨矩陣，如果 K 可逆，K*=det(K)(KT)－1，并且K＊＊∝K。

用上述定理，計算可得

式(7)中，a1、a2、b1、b2、c1和c2是已知的消失點坐標分量［a1，b1，c1］T和［a2，b2，c2］T。以上推導(dǎo)只使用了正方形兩組對邊垂直的性質(zhì)，考慮到正方形兩對角線AC和BD相互垂直，還可以得到另一約束條件。λ5和λ6分別表示兩條對角線，它們與消失線λH的交點記為V3和V4，那么V3與V4垂直。推導(dǎo)如下

轉(zhuǎn)換為像素值坐標

式中參數(shù)的含義與第一個約束條件相同。聯(lián)立式(7)和式(10)就可以得到等效焦距fx、fy。

3 新的標定算法

這里提出的方法是將B－dual－space與張正友平面標定法［1］的融合，先用B－dual－space把兩個等效焦距求出，再利用張正友的模型確定最終精確的內(nèi)外參數(shù)。

(1)原始數(shù)據(jù)獲取。

制作包含正方形的標定平板，在其上建立世界坐標系，設(shè)坐標分別為Xi。對標定平板在不同的方位和距離拍得一系列照片。對所有照片，利用Harris角點檢測算子提取每點的像素坐標值，記為xij。

(2)計算透視矩陣。

將(1)中獲得的Xi和xij改寫成齊次坐標形式和，即增加第3分量并令其為1。對j張圖像的每張計算矩陣Hi，使Hi滿足

(3)利用B－dual－space中線面性質(zhì)計算fx和fy的初值。

理論上，內(nèi)部參數(shù)不隨拍攝方位的變化而變化，只要對j張照片的任意一副上的某個正方形進行上述計算，就可以得到兩個等效焦距，但實際中，為使初始值更精確，對每張圖像上盡可能多的正方形都進行上述計算，使A疊加成2n×2的矩陣，B疊加成2n維列向量，再用最小二乘法求解。這樣

接著再由式(11)得最終結(jié)果。

(4)完全確定內(nèi)參數(shù)的初始值。

令傾斜系數(shù)c=0，則內(nèi)參數(shù)舉證的初始迭代值為

(5)確定外參數(shù)初值。

對每一幅照片，設(shè)(2)中得到的透視矩陣寫成列向量的形式為 H=［h1h2h3］，求

實際操作時，一般還用到對旋轉(zhuǎn)矩陣的優(yōu)化方法，即

(6)計算失真系數(shù)初值。

(7)對內(nèi)外參數(shù)全局優(yōu)化。

利用Levenberg－Marquardt最小化式(17)

此處的Rn是由旋轉(zhuǎn)角度確定的三維向量，具體地

4 算法實現(xiàn)方案

利用Jean Yves Bouguet在Camera Calibration Toolbox for Matlab［8］中使用的數(shù)據(jù)，如圖 3 所示。

圖3 標定方格圖

標定平板上的方格是14×13，為方便點的提取，使用中間13×12=156個點。

關(guān)于B－dual－space中正方形的確定:對每一幅圖像，選取越多的正方形越有利于克服噪聲對像素坐標的影響，在上述標定平板上，可使用的正方形的數(shù)量較多，但隨著數(shù)量的增加，時間消耗顯著增大，這就不利于實時的圖像處理，故而需要折中的方案。

試驗時使用每一幅圖像中的最大的正方形和第一行所用小正方形兩種方案。選取的點如圖4所示。

圖4 兩種取正方形的頂點的方法

5 實驗結(jié)果

原始標定數(shù)據(jù)由上節(jié)展示的10幅圖像提供，標定方法，分別使用Bouguet的Camera Calibration Toolbox for Matlab(B－dual－space結(jié)合Tsai的兩部標定法)，張正友的EasyCalib軟件和設(shè)計的新方法(B－dualspace與張相結(jié)合的方法)，其中文中算法的正方形選取采用兩種方法:A一個最大的正方形;B一列中所有的小正方形。表1和表2列出標定結(jié)果。

表1 等效焦距預(yù)測結(jié)果

表2 標定結(jié)果對照

結(jié)果分析:A、B兩種選取正方形的方法所得到的初始值差異較大，但是全局優(yōu)化后，最終的結(jié)果非常接近，并且與另外兩種方法的結(jié)果基本相同，標準差不大于1個像素，故這種新算法的有效性得到證明。

6 結(jié)束語

提出了一種基于B－dual－space和張正友平面標定方法的算法。它吸收了B－dual－space計算初始迭代值的便捷性和張正友方法的靈活性，可以方便地標定出攝像機的內(nèi)外參數(shù)。實驗表明，該算法能夠得到足夠精確的標定結(jié)果，同時還提供了明晰的幾何解釋。

［1］ZHANG Zhengyou.Flexible camera calibration by viewing a plane from unknown orientations［C］.IEEE International Conference on，Computer Vision，1999(1):666 －673.

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［8］Jean Yves Bouguet.Camera Calibration Toolbox for Matlab［M/OL］.(2002－05－01)［2010－07－09］.http://robots.stanford.edu/cs223b04/JeanYvesCalib/index.html.