張 永 立， 程 會 鋒， 李 洪 興

（大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

倒立擺系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性和不確定性，并且對外部干擾極其敏感，是廣泛用于教學(xué)和理論研究的典型平衡控制范例和欠驅(qū)動控制系統(tǒng).另外，倒立擺的研究對工業(yè)過程中的控制問題具有一定的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值.目前，關(guān)于倒立擺的研究主要分為兩個方面：一是倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制[1～4]，二是倒立擺系統(tǒng)的自動擺起控制[5～14].對二級倒立擺控制系統(tǒng)的研究成果很多，李祖樞等采用仿人智能控制方法，實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺系統(tǒng)的自動擺起控制[9、11].逆系統(tǒng)方法[10、15～18]是直觀實(shí)用的非線性控制方法，文獻(xiàn)[10、15、16]對逆系統(tǒng)軌跡控制方法的應(yīng)用進(jìn)行了研究，并結(jié)合基于LQR的增益調(diào)度反饋控制實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺的自動擺起.

與文獻(xiàn)[10]不同，本文采用逆系統(tǒng)前饋控制與H∞增益調(diào)度反饋控制相結(jié)合來實(shí)現(xiàn)二級倒立擺的自動擺起，并設(shè)計(jì)變增益H∞反饋控制器在穩(wěn)擺控制階段進(jìn)行穩(wěn)定控制.

1 模型建立

二級倒立擺主要由小車、擺桿1、擺桿2組成，它們之間自由鏈接，如圖1所示.a為小車的加速度，x為小車的位移，θi（i＝1，2）為擺桿i與擺桿豎直方向的夾角，Oi、Gi為擺桿i的鏈接點(diǎn)與質(zhì)心的位置.二級倒立擺系統(tǒng)的具體物理參數(shù)見表1.

圖1 二級倒立擺系統(tǒng)簡化結(jié)構(gòu)Fig.1 The simplified structure of the double inverted pendulum

表1 二級倒立擺物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of the double inverted pendulum

采用分析力學(xué)中的Lagrangian方程建模，得到如下二級倒立擺模型.

于是，方程組（1）可以寫成

其中θ＝ （θ1θ2）T，向量函數(shù)α＝ （α1α2）T.取狀態(tài)向量根據(jù)式（2）、（3）容易得到n＝6維的二級倒立擺的狀態(tài)方程

其中向量函數(shù)f＝（f1f2…f6）T.

2 控制器的設(shè)計(jì)

二級倒立擺自動擺起控制有兩個控制階段.首先，將兩擺桿從懸垂位置擺起到豎直倒立位置；其次，將兩桿穩(wěn)定在倒立平衡位置.本文采用基于逆系統(tǒng)的前饋控制和H∞增益調(diào)度反饋控制相結(jié)合的兩自由度 （2DOF）控制策略進(jìn)行擺起控制；在兩擺桿擺起到倒立位置后，問題轉(zhuǎn)化為平衡控制問題，采用變增益H∞反饋控制來實(shí)現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定控制.如圖2所示，圖中x、x＊分別為小車位移的實(shí)際軌跡和參考軌跡，θ、θ＊分別為擺桿擺角的實(shí)際軌跡和參考軌跡.

2.1 逆系統(tǒng)前饋控制

逆系統(tǒng)方法作為反饋線性化方法的一種，是比較直觀且實(shí)用的非線性控制方法，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人控制、過程控制及航天飛行器等領(lǐng)域.所謂系統(tǒng)Σ的逆系統(tǒng)Π，就是指以系統(tǒng)Σ預(yù)期的輸出y＊（t）作為系統(tǒng)Π的輸入來產(chǎn)生系統(tǒng)Σ的控制a＊（t），以驅(qū)動原系統(tǒng)Σ，從而使得其輸出y（t）與所希望的輸出y＊（t）一致，即y（t）＝y(tǒng)＊（t）.

針對二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，將方程（2）作為系統(tǒng)的輸入輸出動態(tài)，其中，a為系統(tǒng)的輸入量，x為系統(tǒng)的輸出量.很明顯＝a，那么可得系統(tǒng)的相對度r＝2.方程組（3）是系統(tǒng)的內(nèi)部動態(tài).因此，如果給定某擺起軌跡x＊，使得該控制系統(tǒng)嚴(yán)格沿著軌跡x＊運(yùn)動，那么，根據(jù)逆系統(tǒng)軌跡控制原理，前饋控制可取

圖2 二級倒立擺的自動擺起和穩(wěn)定控制框圖Fig.2 The block diagram of swing－up and stabilizing of the double inverted pendulum

這時總有x＝x＊成立.如何獲得合理的參考軌跡x＊是以下要討論的問題.

2.1.1 兩點(diǎn)邊值問題 二級倒立擺系統(tǒng)在有限時間t∈[0，T]內(nèi)，從靜止懸垂?fàn)顟B(tài)自動擺起到豎直倒立位置的過程滿足如下邊值條件：

其中式（6）為初值條件，式（7）為終值條件.另外，根據(jù)硬件的性能，并考慮到二級倒立擺控制系統(tǒng)的強(qiáng)不穩(wěn)定性，在擺起過程中小車的運(yùn)動軌跡須滿足

令

則得

很顯然方程（9）和條件（10）是一個超定非線性兩點(diǎn)邊值問題.求解超定兩點(diǎn)邊值問題時需要n－r＝4個附加參數(shù)才能求解.一般地，設(shè)參考軌跡函數(shù)為

其中b＝（b1b2b3b4），為附加自由參數(shù).

2.1.2 參考軌跡 參考軌跡x＊＝η（t，b）的設(shè)計(jì)方法很多，一般情況下要求輸入a＊（t）連續(xù)，因此η（t，b）必須滿足r（r＝2）次可微.常用的軌跡方程有多項(xiàng)式函數(shù)和余弦級數(shù).

其中式（11）為多項(xiàng)式函數(shù)，式（12）為余弦級數(shù).考慮到在數(shù)值計(jì)算上余弦級數(shù)的穩(wěn)定性比較好，因此這里選用余弦級數(shù)來設(shè)計(jì)參考軌跡函數(shù)x＊＝η（t，b）.此外，由條件（10）可得

于是有

將式（12）代入式（9），利用函數(shù)bvp4c解得隨時間t變化的參考軌跡θ＊（t）和自由參數(shù)b＝（b1b2b3b4）.再由式（12）得到x＊，進(jìn)而求出于是根據(jù)方程（5）就可以很容易得到前饋控制a＊.

分別選取T為1.9、2.2、2.5s時，得到的參考軌跡如圖3所示；表2為對應(yīng)于擺起時間T的自由參數(shù)b＝ （b1b2b3b4）.

圖3 x＊為余弦級數(shù)時二級倒立擺自動擺起參考軌跡Fig.3 Reference trajectories for the swing－up of the double inverted pendulum when x＊is a cosine series

表2 對應(yīng)于不同T的自由參數(shù)bTab.2 Free parameter bcorresponding to T

由圖3可以看出，T是一個重要的參數(shù)，它的選擇受條件（8）和方程（9）的限制.T的取值對x＊有很大影響.由于受機(jī)電系統(tǒng)響應(yīng)速度的限制，T取值不能太小，否則將導(dǎo)致失控；此外，目前只能通過數(shù)值方法得到常微分方程兩點(diǎn)邊值的數(shù)值解，受此限制，T也不能取值過小，否則將會導(dǎo)致兩點(diǎn)邊值問題無解，或者得到一個不合實(shí)際的解，同樣使系統(tǒng)不能得到有效控制.在數(shù)值求解過程中，如果增大T的取值，在實(shí)際控制中將使得擺桿擺起的時間延長.由于各擺桿之間為無約束自由鏈接，如果擺起時間太長，則會引起擺桿擺起的空中姿態(tài)失調(diào)，從而導(dǎo)致控制失敗.因此，T的取值不能太大.由圖3可知，當(dāng)T＝1.9s時參考軌跡的振幅明顯超出了約束條件（8）的要求；當(dāng)T＝2.5s時，小車的移動范圍明顯增大.因此，根據(jù)以上分析選擇T＝2.2s.

需要注意的是，在使用bvp4c函數(shù)求解常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題時，網(wǎng)格點(diǎn)tk∈[0，T]的數(shù)量要設(shè)置合理，并且要采用合理的方法估計(jì)網(wǎng)格點(diǎn)上的初值θt＝tk，本文網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量選取為5，并采用兩點(diǎn)三次埃爾米特插值方法進(jìn)行初值估計(jì).

2.2 H∞增益調(diào)度反饋控制

在擺起時間t∈[0，T]內(nèi)，將二級倒立擺系統(tǒng)（4）沿著參考軌跡，通過泰勒展開方法進(jìn)行線性化得其狀態(tài)空間方程：

考慮到實(shí)際系統(tǒng)中具有許多不確定因素，例如系統(tǒng)參數(shù)的測量誤差、小車軌道上的干摩擦、電氣系統(tǒng)的輸出誤差等.這里假設(shè)小車軌道上的干摩擦為外界不確定干擾w，可以將方程（13）變?yōu)槿缦聫V義被控對象：

其 中 －B1（t） ＝B2（t） ＝B（t），D12＝（0 0 0 0 0 1）T，C2＝diag｛1，1，1，1，1，1｝.取加權(quán)矩陣（這里矩陣退化為常數(shù)）R＝5，C1＝

當(dāng)?shù)沽[兩擺桿從靜止下垂?fàn)顟B(tài)擺起到豎直倒立位置后，問題就轉(zhuǎn)化成了平衡控制問題，這時相當(dāng)于參考軌跡為x＊＝0，Δx＝0－x＝－x，那么廣義被控對象（14）就轉(zhuǎn)化為

其中當(dāng)T＝2.2s時，有

容易驗(yàn)證（A（T）B2（T））可控，（C2A（T））可觀.通過迭代試算取γ＝1.12，使得‖Tzw‖∞＜γ，這里，Tzw為由w至z的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，即Tzw＝（C1＋D12K）（sI－A－B2K）－1B1，其中s為拉普拉斯算子，I為單位矩陣.求解如下代數(shù)黎卡提方程：

得到狀態(tài)反饋矩陣

當(dāng)γ→∞時，則得到的H∞反饋控制就是Q＝時的LQR狀態(tài)反饋控制，可以說H∞反饋控制是LQR控制的推廣.因此，本文將H∞最優(yōu)反饋控制推廣到二級倒立擺自動擺起的軌跡跟蹤控制中.針對廣義被控對象（14），離線逆時間方向求解如下微分黎卡提方程：

其中初值條件（21）可以通過求方程（18）得到.于是得到反饋增益矩陣P（t），t∈ [0，T]，從而有

反饋增益矩陣K（t）隨時間變化的曲線如圖4所示.

于是，可以得到二級倒立擺系統(tǒng)自動擺起過程中的反饋控制如下：

考慮逆系統(tǒng)前饋控制（5）得到二級倒立擺系統(tǒng)自動擺起控制如下：

圖4 反饋增益矩陣K（t）曲線Fig.4 The curves of feedback gain matrix K（t）

2.3 變增益H∞反饋控制器

兩擺桿擺起到豎直位置后，需要進(jìn)行穩(wěn)定控制，這是一個無窮時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題.為此，本文設(shè)計(jì)了變增益H∞反饋控制器對二級倒立擺進(jìn)行穩(wěn)定控制.該控制器是一種新型的增益調(diào)度反饋控制器，在每個控制周期 （采樣間隔）內(nèi)，根據(jù)采樣或者計(jì)算得到的系統(tǒng)狀態(tài)值，把非線性系統(tǒng)線性化為線性定常系統(tǒng)，然后再針對這個線性定常系統(tǒng)構(gòu)建H∞反饋控制器，在線求解代數(shù)黎卡提方程，得到隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化的反饋增益矩陣，從而使得控制更為精確.

在二級倒立擺兩擺桿處于豎直倒立位置的穩(wěn)定控制過程中，受各種不確定因素的影響，系統(tǒng)的各狀態(tài)變量不會完全收斂為零，而是在一定的范圍內(nèi)波動，因此該過程是一個受控穩(wěn)定的過程.在這個過程中，位移x和擺角θi可以通過光電編碼器獲得，再利用差分方法就可得到和，記采樣時刻的系統(tǒng)狀態(tài)為，于是得到實(shí)時狀態(tài)

根據(jù)二級倒立擺模型（2）～（4），可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程

記

經(jīng)過數(shù)學(xué)推導(dǎo)并舍去其中的高階無窮小項(xiàng)，可以看出雅可比矩陣只與狀態(tài)x有關(guān)，而與控制輸入a無關(guān).因此可以將A（x，a）、B（x，a）分別簡記為A（x）、B（x）.

在平衡點(diǎn)附近，系統(tǒng)（25）在采樣點(diǎn)上的線性化方程為

其中分別為雅可比矩陣

σ＝為當(dāng)前采樣時刻的控制量.

當(dāng)＝0＝0時，σ＝0，方程（27）轉(zhuǎn)化為平衡點(diǎn)上的線性系統(tǒng)

取可控性矩陣

當(dāng)x＝0，即x＝0，θi＝0（i＝1，2）時，有rank（Uc（x）｜x＝0）＝6，因此，可知（AoBo）可控.為了方便，記平衡點(diǎn)的鄰域?yàn)锽（0，ε），根據(jù)可控性判據(jù)，當(dāng)x∈B（0，ε）時，如果det（Uc（x））≠0，則rank（Uc（x）｜x）＝6，那么可得系數(shù)矩陣對（A（x）B（x））可控.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)det（Uc（x））與小車的位移無關(guān)，與擺角θ1、θ2有關(guān).當(dāng)x∈B（0，ε）時，det（Uc（x））與θ1、θ2之間的函數(shù)關(guān)系如圖5所示.由圖5可知，當(dāng)∈B（0，ε）時，det（Uc（x））≠0，也就是說）可控.因此可以得到如下結(jié)論：如果系統(tǒng)在平衡點(diǎn)線性化的系數(shù)矩陣（AoBo）可控，那么當(dāng)∈B（0，ε）時，基于采樣點(diǎn)線性化的系數(shù)矩陣）也可控.

圖5 平衡點(diǎn)附近det（Uc（x））與θ1、θ2 之間的函數(shù)關(guān)系Fig.5 The functional relationship between det（Uc（x））andθ1，θ2near the equilibrium point

即

令

得

同樣考慮到小車上的外界不確定干擾w，可以將方程（33）變?yōu)槿缦聫V義被控對象：

得到

由于反饋增益矩陣K隨系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)時變化，該控制器具有比較強(qiáng)的自適應(yīng)性和魯棒性.

變增益H∞控制器的關(guān)鍵在于實(shí)時求解代數(shù)黎卡提方程（35）.很多人討論了黎卡提方程的求解方法[19～21]，克萊曼迭代法和舒爾方法是目前廣泛用于求解代數(shù)黎卡提方程的數(shù)值算法.大量的實(shí)時計(jì)算和數(shù)據(jù)存儲是這些算法在實(shí)際應(yīng)用中的主要障礙，本文基于舒爾方法設(shè)計(jì)了一個快速求解黎卡提方程的算法，用C語言代碼編制程序，并在倒立擺的實(shí)物系統(tǒng)控制中應(yīng)用成功.該算法主要包括以下過程：

（1）構(gòu)造哈密頓矩陣；

（2）將哈密頓矩陣正交化為海森伯格形矩陣；

（3）采用雙步隱式QR分解將矩陣化為實(shí)Schur形矩陣；

（4）對實(shí)Schur形矩陣進(jìn)行復(fù)分解，將其化為嚴(yán)格上三角矩陣；

（5）根據(jù)正交變換矩陣得到代數(shù)黎卡提方程的解矩陣P，從而得到反饋增益K.

3 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證本文控制方案的有效性，利用Matlab進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).圖6為二級倒立擺自動擺起控制的仿真曲線，其中a和x分別表示小車的控制量（加速度）、小車的速度和小車的實(shí)際位移分別表示小車加速度、小車速度和小車位移的參考軌跡分別表示擺角的輸出軌跡和參考軌跡.仿真結(jié)果表明采用本文的控制方案能夠?qū)崿F(xiàn)對參考軌跡的精確跟蹤，并在較短的時間內(nèi)將兩擺桿擺起到倒立位置.

實(shí)際上，由于實(shí)際系統(tǒng)存在測量誤差、結(jié)構(gòu)誤差以及電氣系統(tǒng)的輸出誤差等，倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際系統(tǒng)存在不可避免的偏差.因此，離線或者在線求得的控制數(shù)據(jù)與實(shí)際控制系統(tǒng)不可能完全匹配.為了驗(yàn)證本文控制方案的魯棒性，在控制參數(shù)和數(shù)據(jù)不變的情況下，改變控制對象的物理參數(shù)來進(jìn)行仿真，并在相同條件下與文獻(xiàn)[10] 的控制方案進(jìn)行了對比.

圖6 二級倒立擺自動擺起控制的仿真曲線Fig.6 Simulation curves for the swing－up control of the double inverted pendulum

因?yàn)樵谙到y(tǒng)建模時，擺桿的質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量和軸承的摩擦因數(shù)這幾個物理量的測量誤差比較大，所以，下面的仿真實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)質(zhì)心位置、轉(zhuǎn)動慣量、摩擦因數(shù)的誤差分別為＋5%、＋10%、＋10%（實(shí)際誤差一般不會超過±5%）.圖中aLQR表示文獻(xiàn)[10]中的控制方案（即逆系統(tǒng)前饋與基于LQR反饋控制相結(jié)合）中的控制量a，aH∞表示本文的控制方案（即逆系統(tǒng)前饋與基于H∞反饋控制相結(jié)合）中的控制量a，其他參數(shù)符號意義與此相同.如圖7所示，在控制參數(shù)與實(shí)際系統(tǒng)有相當(dāng)大的偏差時，本文的控制方案仍然能實(shí)現(xiàn)比較精確的軌跡跟蹤，只有小車位移軌跡xH∞偏差較大，但仍能滿足約束條件（8），精度優(yōu)于xLQR.仿真結(jié)果表明本文的控制方案具有較好的魯棒性.

圖7 具有模型偏差的仿真曲線Fig.7 Simulation curves of a deviation model

4 結(jié) 論

本文針對二級倒立擺自動擺起控制問題，通過離線求解常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題，得到系統(tǒng)擺起的參考軌跡；設(shè)計(jì)了H∞增益調(diào)度反饋控制器以保證對擺起軌跡的精確跟蹤和擺起控制的魯棒性；此外，設(shè)計(jì)了變增益H∞反饋控制器使二級倒立擺的兩個擺桿保持豎直倒立.變增益H∞反饋控制器的反饋增益隨狀態(tài)的變化而實(shí)時變化，因此從自動擺起到穩(wěn)定控制過渡自然，不會引起系統(tǒng)的抖振.實(shí)驗(yàn)表明，該方案能夠?qū)崿F(xiàn)二級倒立擺的自動擺起，而且穩(wěn)定性和魯棒性明顯提高.

[1] 張明廉，郝健康，何衛(wèi)東.擬人智能控制與三級倒立擺[J].航空學(xué)報，1995，16（6）：654－661

[2] 李德毅.三級倒立擺的云控制及動平衡模式[J].中國工程科學(xué)，1999，1（1）：41－46

[3] KHALED G E，KUO C Y.Nonlinear optimal control of a triple link inverted pendulum with single control input[J].International Journal of Control，1998，69（2）：239－256

[4] 李洪興，苗志宏，王加銀.四級倒立擺的變論域自適應(yīng)模糊控制[J].中國科學(xué)（E輯），2002，32（1）：65－75

[5] ASTR M K J，F(xiàn)RUTA K.Swinging up apendulum by energy control[J].Automatica，2000，36（2）：287－295

[6] SPONG M W.Energy based control of a class of underactuated mechanical systems[C]//Thirteenth IFAC World Congress.San Francisco：IFAC，1996：431－435

[7] FANTONI I，LOZANO R，SPONG M W.Energy based control of the pendubot[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45（2）：725－729

[8] YOSHIDA Kazunobu. Swing－up control of an inverted pendulum by energy based methods[C]//Proceedings of the American Control Conference.Piscataway：IEEE，1999：4045－4047

[9] 李祖樞，王育新，譚 智.小車二級擺系統(tǒng)的擺起倒立控制與實(shí)踐 [C]//第五屆全球智能控制與自動化大會會議論文集.杭州：浙江大學(xué)出版社，2004：2360－2364

[10] GRAICHEN K，TREUER M，ZEITZ M.Swing－up of the double pendulum on a cart by feed－forward and feedback control with experimental validation[J].Automatica，2007，43（1）：63－71

[11] LIU T K，CHEN C H，LI Z S，etal.Method of inequali－based multi－objective genetic algorithm for optimizing a cart－double－pendulum system [J].International Journal of Automation and Computing，2009，6（1）：29－37

[12] YANG J H，SHIM S Y，SEO J H，etal.Swing－up control for an inverted pendulum with restricted cart rail length [J].International Journal of Control，Automation，and Systems，2009，7（4）：674－680

[13] 么健石，曾鵬鑫，徐心和.基于混合遺傳算法的力矩受限圓軌二級倒立擺擺起控制[J].控制理論與應(yīng)用，2005，22（4）：615－618

[14] TAO C W，TAUR J，CHANG J H，etal.Adaptive fuzzy switched swing－up and sliding control for the double－pendulum－and－cart system[J].IEEE Transactions on Systems， Man，and Cybernetics— Part B：Cybernetics，2010，40（1）：241－252

[15] GRAICHEN K，HAGENMEYER V，ZEITZ M.A new approach to inversion－based feedforward control design for nonlinear systems [J].Automatica，2005，41（12）：2033－2041

[16] DEVASIA S，CHEN D，PADEN B.Nonlinear inversion－based output tracking [J]. IEEE Transactions on Automatic Control，1996，41（7）：930－942

[17] LANE S H，STENGEL R F.Flight control design using nonlinear inverse dynamics[J].Automatica，1988，24（4）：471－483

[18] 李春文，馮元琨.多變量非線性控制的逆系統(tǒng)方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，1991

[19] KLEINMAN D L.On an iterative technique for Riccati equation computation[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1968，AC－13（I）：114－115

[20] LAUB A J.A Schur method for solving algebraic Riccati equations [J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1979，24（6）：913－921

[21] GRANAT R，KAGSTR M B，KRESSNER D.A parallel Schur method for solving continuous－time algebraic Riccati equations[C]//Proceedings of the IEEE International Symposium on Computer－Aided Control System Design.Piscataway：Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc.，2008：583－588