劉 燕， 楊 潔， 李 龍

（1.大連理工大學 數(shù)學科學學院，遼寧 大連 116024；2.大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院，遼寧 大連 116034；3.衡陽師范學院 數(shù)學與計算科學系，湖南 衡陽 421008）

0 引 言

模糊邏輯和神經網絡在信息處理系統(tǒng)中各有其優(yōu)缺點，最近，許多學者的工作都致力于將模糊系統(tǒng)與神經網絡結合在一起，其中對模糊神經網絡有很多的關注.文獻[1、2]提出了模糊感知器的一些學習算法；文獻[3]對0階Takagi－Sugeno推理系統(tǒng)的學習算法進行了收斂性證明；文獻[4、5]對多層模糊感知器進行了研究.

具有遞歸環(huán)節(jié)的動態(tài)模糊神經網絡可以解決靜態(tài)網絡無法處理的暫態(tài)問題.FRNN（模糊遞歸神經網絡）通過在網絡輸入層中加入遞歸連接，使網絡具有動態(tài)映射能力，從而對動態(tài)系統(tǒng)有更好的響應.

如果訓練樣本線性可分，傳統(tǒng)的感知器算法能在有限步確定一個線性決策邊界，從而分離這兩類訓練樣本[6、7].對于模糊感知器，文獻[8]提出了一種新的訓練算法，并證明當樣本可分時，該算法有限收斂.那么，在模糊感知器中加入遞歸單元是否還能得到算法的收斂性？本文將對這個問題進行討論，給出若訓練樣本模糊可分，在一定條件下，帶遞歸的模糊感知器算法有限收斂的結論及證明.證明過程的難點和關鍵在于確認遞歸項權值在學習過程中的單調遞減性.

1 帶遞歸的模糊感知器的結構及梯度學習算法

1.1 帶遞歸的模糊感知器的結構

本文研究的是具有n個外部模糊輸入單元、一個輸出單元和一個遞歸神經元的感知器.其結構如圖1所示，網絡的模糊訓練樣本對為｛ξ（s），其 中是n維模糊輸入向量，O（s）是其理想輸出.

圖1 具有n－1－1結構的遞歸模糊感知器的結構Fig.1 The structure of recurrent fuzzy perceptron with n－1－1structure

將這些樣本隨機排列組成一個無窮序列｛ξk，其中每個樣本對｛ξ（s），O（s）｝出現(xiàn)無窮多次∈[0，1]n，為網絡在第k時刻的外部輸入向量，網絡第k時刻遞歸層的輸入

其中ζ0＝0，遞歸層的輸出為

其中 ∨ 是取大運算；∧ 是取小運算；代表max－min（∨ －∧）合成算子；權重向量W ＝（w1w2… wn）T∈ [0，1]n，其中 wj（j＝1，2，…，n）代表連接第j個外部輸入神經元和輸出神經元的權值；連接遞歸神經元和輸出神經元的權值為λ，λ∈ [0，1].

網絡的訓練目標是對給定的激活函數(shù)g（x）：R→｛0，1｝，確定權值（W，λ）∈ [0，1]n×[0，1]，使得訓練樣本能夠被正確地分類，即ζ（ξ（s））－O（ξ（s））＝0.

為證明方便，記理想輸出為O（s）＝0的樣本為Xm，m＝1，2，…，M，1≤M＜S；另一些對應理想輸出O（s）＝1的樣本，記為Yp，p＝1，2，…，P，1≤P＜S，M＋P＝S.定義兩個集合：ΦM＝｛1，2，…，M｝，ΦP＝ ｛1，2，…，P｝.

假設訓練樣本可分，即存在一個模糊向量A＝（a1a2… an）T∈ [0，1]n使得

1.2 樣本集性質

首先對訓練樣本做一個假設[8].

假設Ⅰ 對任意一個m∈ΦM，至少存在一個m0，使得

下面給出模糊訓練樣本對的3條重要性質[8].

性質1 對式（3）中模糊向量A，存在下標j1與j2，使得aj1≥0.5與aj2＜0.5分別成立.

基于性質1，不失一般性，假設存在正整數(shù)q，1≤q＜n，使得a1，…，aq≥0.5，aq＋1，…，an＜0.5.

性質3 對每一個Yp，p＝1，2，…，P，至少存在一個rp≤q，使得

接下來給出訓練樣本的另一個假設[8].

假設Ⅱ 對任意一個j，R＜j≤n，至少存在一個mj，使得對每個1≤j≤q，至少存在一個pj，使得

2 有限收斂定理

在這一部分，分別給出迭代算法式（4）在n＝2和n＞2兩種情況下的收斂結果.

定理1 當n＝2時，若假設Ⅰ和Ⅱ成立，則算法式（4）有限收斂.

首先證明wk1＜0.5的情況下，權值的迭代不會停止.事實上，若wk1＜0.5且wk2≥0.5，那么對所有λk和ζk－1，都有

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則

若λk≥0.5，有

從而g（Sk）＝1＝O（Yp），p∈ΦP.由的單調不減性知，當k≥K1時，對｛（Wk，λk）｝真正起更新作用的只有因此，在無窮序列中除去

現(xiàn)在令k≥K1，若且λk＜0.5，則對ζk－1，（Wk，λk）滿足式（5），已是所求的解.否則，若對λk和ζk－1，有

故ζ（SK）＝1≠O（Xm）.因此｛（Wk，λk）｝的迭代不會停止.

接下來，考慮n＞2的情況.為了保證收斂性，需要一些比較強的條件.

定理2 若假設Ⅰ和Ⅱ滿足，那么在以下條件成立時，算法式（4）有限收斂：

（a）存在一個r0，1≤r0≤q，使得p∈ΦP成立；

證明 由定理2條件（a）和性質2，有η（Ok－，從而注意到當ξk沒被正確分類時，不等式嚴格成立.那么若達到0.5之前，（Wk，λk）滿足式（5），則算法式（4）有限收斂；否則，若，注意到其他權值的更新不影響的單調不減性，故在真正迭代有限步之后，會有即存在正整數(shù)K5，使得當k≥K5，有且WkYp≥

現(xiàn)令k≥K5，若wkj＜0.5，j＝R＋1，…，n，且λk＜0.5，則

從而對ξk－1，都有Sk＝max｛WkXm，λk∧ζk－1｝＜0.5，那么式（5）成立，即（Wk，λk）已經是所求的解.

若λk≥0.5，當ζk－1＝0時，仍有Sk＜0.5，從而式（5）成立；若ζk－1＝1，則

則

從而存在正整數(shù)K6，使得當k≥K6時，λk＜0.5.

說明（Wk，λk）不能將正確地分類，即使只有一個與ζk－1＝1）成立，式（5）就不成立，且有

由定理2條件 （b），可 得η（Ok－ζk）（ξjm－0.5）≤0，R＜j≤n，故.結合假設Ⅱ，有成立，那么對每一個l＝

1，2，…，L，存在.因此，存在Kjl∈N，s.t.當成立.令則當1，…，n，此時式（5）成立，故算法式（4）有限收斂.證畢.

3 結 論

本文考慮的是帶遞歸的模糊感知器的有限收斂問題，其內部運算基于max－min模糊邏輯運算，并且網絡結構類似于內部運算基于加法－乘法的傳統(tǒng)感知器.如果訓練樣本線性可分，傳統(tǒng)的感知器算法能通過有限步的權值學習來分離屬于不同類別的訓練樣本.本文拓廣了文獻[8]的結論，對遞歸模糊感知器學習算法的有限收斂性進行了探討.

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