任 斐， 孫 玉 文， 郭 東 明

（1.大連理工大學(xué) 精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.上海航天設(shè)備制造總廠，上海 200245）

0 引 言

隨著航空航天、國防和汽車制造等工業(yè)的廣泛發(fā)展，很多零件因采用整體結(jié)構(gòu)件而使材料的去除量顯著加大，提高該類零件的加工效率受到越來越多的重視.進(jìn)給率定制是影響加工過程的重要因素，進(jìn)行進(jìn)給率的自適應(yīng)定制對改善切削狀況，提高加工質(zhì)量和效率具有重要的工程應(yīng)用價值.

在進(jìn)給率定制模型中，通常以恒定材料去除率［1～3］或恒定切削力［4～6］為目標(biāo).Eridm 等［7］分別從理論和實驗方面對基于兩種模型的進(jìn)給率優(yōu)化方法進(jìn)行了比較分析，指出前一種模型能獲得更大的進(jìn)給率，但隨之增大的切削力有可能引起刀具的變形和磨損，甚至破壞加工過程的穩(wěn)定性和機床本身.目前，基于恒力的進(jìn)給率定制策略［8～11］通常假定預(yù)測的切削合力與進(jìn)給率呈線性關(guān)系來修正進(jìn)給率，使加工過程中切削合力保持恒定，但其依據(jù)的銑削力預(yù)測模型也多以近似圓弧計算切屑厚度.此外，在進(jìn)給率優(yōu)化模型的約束條件中，一般主要使用刀具橫向斷裂強度約束峰值力［8］，或考慮切屑厚度約束對進(jìn)給率的制約［9］.由于加工中自由曲面上各點切削狀態(tài)的復(fù)雜性以及進(jìn)給率的加大，建立在水平直線槽切基礎(chǔ)上的刀刃運動軌跡的近似圓弧假定已受到很大的限制，針對帶有傾角的平面直線加工已有相應(yīng)的修正公式［12、13］，但仍不能滿足任意軌跡下精確銑削力預(yù)測的要求.此外，約束條件的不全面也可能對工件加工表面誤差以及刀具和機床的安全性等帶來不利的影響.

為此，本文提出一種基于切削力精確預(yù)測的進(jìn)給率定制模型.該模型首先基于刀具與工件的相對運動分析，建立銑削力的預(yù)測模型；在此基礎(chǔ)上綜合考慮實際加工中的各種制約因素，實現(xiàn)以精度、刀具應(yīng)力、扭矩等約束下材料去除率最大化為目標(biāo)的進(jìn)給率優(yōu)化定制.

1 切削力精確預(yù)測模型

1.1 銑削力模型

對于球頭銑刀刀刃上任意切削微元，根據(jù)切削力與未變形切屑厚度成正比的假設(shè)，建立切向（dFt）、徑向（dFr）和軸向（dFa）微元切削力公式：

式中：m＝t，r，a；Km（MPa）表示切削力系數(shù)，可通過文獻(xiàn)［14］所述驗證方法獲得；ψij表示第i個切削刃上第j個微元刀刃在刀具轉(zhuǎn)角為θ時的角度，ψij（θ，z）＝θ＋2π（i－1）/N＋zj（tani0）/R0，zj表示該微元刀刃在刀具坐標(biāo)系下的z坐標(biāo)；tn（mm）為相應(yīng)的未變形切屑厚度；db（mm）表示微元刀刃的厚度.

1.2 未變形切屑厚度

由式（1）可以看出未變形切屑厚度是影響銑削力仿真結(jié)果的重要因素之一.根據(jù)圖1所示的幾何關(guān)系，全局坐標(biāo)系下切削微元的瞬時未變形切屑厚度可通過計算點P和Q之間的距離得到.

使用式（2）計算切屑厚度需解決：（1）描述P點對應(yīng)的前刀刃軌跡；（2）定義線段CP.

圖1 未變形切屑厚度計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of undeformed chip thickness calculation

1.2.1 任意微元刀刃的前刀刃軌跡 考慮復(fù)雜曲面加工中零件幾何特征和刀具路徑拓?fù)湫螤钣绊懡⒒诿枋鑫⒃度姓鎸嵾\動軌跡的切屑厚度準(zhǔn)確計算模型.假設(shè)P點在全局坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分量為XP、YP和ZP，根據(jù)文獻(xiàn)［14］分析，前刀刃軌跡為

1.2.2CP與前刀刃軌跡的交點 設(shè)為t時刻P點的位置矢量，rcPl為相應(yīng)的刀位點矢量，則CP可定義為

由給定的微元刀刃和式（3）、（4）可知交點滿足

考慮到參數(shù)t＊和之間的隱式關(guān)系，使用數(shù)值方法求解該方程.通過迭代可解變換后前刀刃軌跡和CP的交點.當(dāng)有多個交點存在時，根據(jù)文獻(xiàn)［15］，可求出所有的交點（Q1，Q2，…），真實的未變形切屑厚度值為對應(yīng)每個交點的未變形切屑厚度中的最小值

2 進(jìn)給率優(yōu)化模型

通過調(diào)節(jié)刀具進(jìn)給率加快工件材料去除是提高加工效率的有效途徑.本文基于提出的切削力精確預(yù)測模型，結(jié)合懸臂梁模型、應(yīng)力模型和扭矩計算公式，分析了進(jìn)給率調(diào)節(jié)過程中由切削力引起的刀具內(nèi)應(yīng)力、刀桿受力變形以及機床主軸扭矩的變化規(guī)律.通過約束這些影響加工過程的關(guān)鍵因素，在保證加工精度、刀具和機床安全的基礎(chǔ)上，最大限度地實現(xiàn)高效率加工.

式中約束條件分別對應(yīng)加工誤差約束、刀具內(nèi)應(yīng)力約束和機床主軸扭矩極限.

2.1 材料去除率模型

在被加工曲面任意刀具路徑的采樣點處，材料去除率可由刀具進(jìn)給率和行距的乘積描述：

式中：f為刀具進(jìn)給率；l為給定加工誤差條件下最大可行行距，

式中：［ε］為給定加工誤差，κn（l）為行距方向曲面法曲率.

2.2 加工誤差

刀具受力變形是曲面加工誤差產(chǎn)生的重要原因.為保證零件加工精度，刀具變形引起的加工誤差應(yīng)控制在許可范圍內(nèi)：

2.2.1 刀具變形 基于將刀具簡化為懸臂梁結(jié)構(gòu)的假設(shè)對刀具受力變形進(jìn)行分析.作用在切削合力位置的瞬時切削合力在刀具坐標(biāo)系下分解為刀軸方向的力FcZ和刀具橫截面內(nèi)的力FcX和FcY.由于刀軸方向的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于刀具橫截面方向的，忽略刀軸方向的變形，只考慮刀具受FcX和FcY產(chǎn)生的彎曲變形.

定義瞬時切削合力對刀具在球心位置產(chǎn)生的變形為此刻的刀具變形：

式中：E為彈性模量；I為慣性矩；λ＝X，Y；運算法〈〉表示〈b〉＝b當(dāng)b≥0，否則〈b〉＝0.

2.2.2 刀具變形引起的加工誤差 在切削成形過程中，零件與刀具相互作用產(chǎn)生的對理論位置的偏離決定了加工誤差.如圖2所示，被加工曲面上點P由刀刃點B運動到理想曲面上點P＊加工生成.理想情況下，P與P＊重合，P與該時刻刀具球心點O＊間的距離為刀具半徑：

但受加工參數(shù)以及刀刃幾何形狀影響（螺旋角不為零），B與P＊接觸時，除刀刃點B之外的其他參與切削的微元產(chǎn)生的切削力使得刀具受力變形造成點P出現(xiàn)

刀刃切削后剩余材料厚度在點P＊法矢上的投影即為點P＊的加工誤差：

式中：F為點P＊與其法矢構(gòu)成的直線與以O(shè)為球心、R0為半徑構(gòu)成的球的交點.

圖2 由刀具變形引起的加工誤差計算示意圖Fig.2 Schematic diagram of establishing the machining error caused by tool deflection

2.3 刀具內(nèi)應(yīng)力

切削力引起的銑刀內(nèi)部最大拉應(yīng)力不能超過刀具材料的極限應(yīng)力：

式中：σmax為刀具內(nèi)部最大拉應(yīng)力；σ0為刀具材料的極限應(yīng)力，可由軸向拉伸實驗獲得.

加工中任意時刻刀具受力如圖3（a）所示，在考慮軸向力拉壓作用情況下，刀具橫截面所受應(yīng)力

式中：M x和M y為對過梁質(zhì)心的x和y軸的力矩，I為慣性矩，A為刀具橫截面面積.

在分析刀具橫截面幾何模型的基礎(chǔ)上，給出慣性矩和橫截面面積的解析計算公式.如圖3（b）所示，刀具橫截面區(qū)域由半徑為r和rcf/2的多個圓弧構(gòu)成，在△OzjBA中，根據(jù)余弦定理有

式中：Re（θ，zj）為橫截面等效半徑，又因為

式中：R（zj）為z＝zj截面處刀具半徑，因此

圖3 內(nèi)應(yīng)力計算Fig.3 Calculating of the internal stress

根據(jù)定義和邊界條件，可得橫截面面積和慣性矩如下：

當(dāng)0≤zj＜R0時

當(dāng)zj≥R0時

加工中最大刀具應(yīng)力通常發(fā)生在刀具橫截面邊界處，引入等效半徑，則最大應(yīng)力可表示為

2.4 機床主軸扭矩極限

給定加工條件下，切削力產(chǎn)生的扭矩峰值不能超過機床主軸扭矩閾值.任意加工時刻，主軸所受扭矩Tc可表示為

式中：Ne為參與切削微元刀刃的個數(shù)；dFjt和Rj分別為刀刃微元j的切向力和半徑，

對于各tr周期內(nèi) （tr＝1/S）

2.5 優(yōu)化進(jìn)給率計算

對于任一采樣點，計算刀具轉(zhuǎn)動一周內(nèi)加工誤差、刀具應(yīng)力和機床主軸扭矩的最大值：εmax、σmax和Tcmax.計算最大值與給定閾值的比值，其中比值最大的即為當(dāng)前進(jìn)給率下的關(guān)鍵約束因素.根據(jù)關(guān)鍵約束因素，描述加工過程的一階傳遞函數(shù)，以及比例積分控制，計算進(jìn)給率的調(diào)節(jié)增量，并修正當(dāng)前的進(jìn)給率.使用修正的進(jìn)給率重新計算約束因素峰值.整個過程循環(huán)迭代直到約束因素中的任意一個超過給定閾值.

在z域中，用一階傳遞函數(shù)近似表達(dá)進(jìn)給率和最大值之間的關(guān)系：

式中：χ＝ε，σ，Tc；ag＝－e－4，為固定的極點；Kg為時變增益，

采用比例積分控制方法調(diào)節(jié)進(jìn)給率

式中

Kp、Ki、T采用文獻(xiàn)［16］計算結(jié)果.

根據(jù)式（24）～（27）計算的進(jìn)給率被寫入相應(yīng)NC代碼中，構(gòu)成優(yōu)化的數(shù)控加工代碼.

3 實驗驗證

為了驗證所給模型，對圖4（a）所示被加工零件以及由CAM軟件UG生成的數(shù)控加工G代碼程序進(jìn)行自適應(yīng)進(jìn)給率定制.實驗所用刀具為10硬質(zhì)合金兩刃球頭銑刀，工件材料為45＃鋼.設(shè)定許用加工誤差εmax＝0.02 mm，刀具材料的極限應(yīng)力σ0＝355 MPa，機床主軸扭矩極限Tcmax＝53 N·m.以各個代碼對應(yīng)的刀位點為采樣點計算的刀具轉(zhuǎn)動一周內(nèi)加工誤差、刀具應(yīng)力和機床主軸扭矩的最大值見圖4（b）.基于式（27）比較各個制約因素重要性，迭代計算出各個采樣點對應(yīng)的優(yōu)化后的進(jìn)給率.從表中（圖4（b））可以看出，在不同采樣點處制約進(jìn)給率定制的因素各不相同，在采樣點P14位置處，刀具應(yīng)力約束起決定性作用，進(jìn)給率以σ0為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則；在采樣點P9位置處，機床主軸扭矩約束起決定性作用，進(jìn)給率以為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則；在采樣點P5和P18位置處，加工誤差約束起決定性作用，進(jìn)給率以εmax為調(diào)節(jié)準(zhǔn)則.優(yōu)化前后的進(jìn)給率隨工件長度L的變化如圖4（c）所示.圖4（d）給出優(yōu)化前后采樣點加工誤差，可以看出隨進(jìn)給率調(diào)整加工誤差增加但并未超過許用加工誤差.基于優(yōu)化后的數(shù)控代碼，通過實際加工驗證，進(jìn)給率優(yōu)化前加工時間約為71 s，進(jìn)給率優(yōu)化后加工時間僅約為38.6 s，加工效率提高45.6%.

圖4 多約束進(jìn)給率優(yōu)化實驗驗證Fig.4 Verification of multi－constraints feedrate optimization model

4 結(jié) 論

本文給出了基于刀具運動分析的切削力模型和加工過程多約束的進(jìn)給率定制方法.基于刀具－工件相對運動分析，推導(dǎo)出沿任意刀具路徑拓?fù)湫螤罴庸?fù)雜曲面過程中刀刃微元真實運動軌跡的解析表達(dá)，在此基礎(chǔ)上給出了瞬時未變形切屑厚度精確計算結(jié)果，減少了使用基于刀刃運動軌跡為圓弧假設(shè)的切削力模型計算帶來的誤差.以刀具應(yīng)力、加工誤差、機床主軸扭矩為約束，給出用于進(jìn)給率定制的有約束極值計算模型.通過分析球頭刀橫截面幾何特性，給出了計算刀具變形、應(yīng)力時所用到的面積、慣性矩等關(guān)鍵參數(shù)的解析計算公式，改善了使用等效半徑計算面積和慣性矩對結(jié)果精度的影響.通過使用一階傳遞函數(shù)表達(dá)加工過程，并采用比例積分控制方法實現(xiàn)了對進(jìn)給率的調(diào)節(jié).實例驗證了該模型的可行性，在保證加工質(zhì)量的同時提高了加工效率，非常適于復(fù)雜曲面高效高精度加工.

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