陳兆兵，郭 勁，林 森

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國人民解放軍裝甲兵技術學院，吉林長春130117）

有限元-邊界法在光電目標散射計算中的應用

陳兆兵1，郭 勁1，林 森2

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國人民解放軍裝甲兵技術學院，吉林長春130117）

為了解決三維目標電磁散射計算中準確性與有效性的矛盾，建立了有限元-邊界法的計算模型，對三維腔體目標的電磁散射計算方法進行了研究。首先，分析了針對三維電磁腔體目標的電磁散射計算邊界積分方法，引入了矢量格林函數，利用麥克斯韋方程得到電磁場形式與三維腔體形式的關系，建立了三維開口腔體邊界模型；然后，結合光電目標曲面建模方法及高階基函數的方法，建立了三維光電目標的有限元泛函，完成了有限元-邊界法在三維腔體目標電磁散射計算中的應用；最后，進行了實例驗證。分析顯示，當三維腔體內部為空或為各向異性物質時，角度吻合非常理想，與傳統(tǒng)模式匹配法所得結果的吻合度達90％以上。結果表明，采用本方法對三維腔體目標進行電磁散射計算，準確度、效率均有所提高。

光電目標；電磁散射；有限元；邊界積分

1 引 言

三維光電復雜目標電磁散射的計算一直是某些工程應用中亟待解決的問題之一［1，2］。光電及電磁探測裝備在現代戰(zhàn)爭中具有不可或缺的地位，及時有效地對來襲導彈、飛機等目標進行探測、識別與跟蹤在未來戰(zhàn)爭中具有非常重要的意義。當前的飛行裝置普遍采用隱身截面設計并覆有隱身涂層，隱身技術的應用給光電探測增添了難度，隱身飛機的特殊截面設計也使其被敵方有效探測的概率大大降低，如何有效計算這些復雜三維形體光電目標的電磁與光電散射截面已成為光電對抗及隱身與反隱身研究中的重要課題［3～6］。

電磁截面散射的計算主要有快速多極子方法，多層快速多極子方法，矩陣分解算法和阻抗矩陣小波稀疏化方法等［7～9］，這些算法在某種程度上滿足了電磁截面計算的需要，然而隨著隱身技術的進一步發(fā)展，這些算法卻表現出極大的局限性。為了對隱身能力不斷增強的當代飛行器進行有效的探測與識別，一些綜合上述電磁散射截面計算方法的復合式方法相應問世，其中結合有限元方法與邊界積分方法進行計算就是一個重要的研究方向。這種方法的原理是在所探測與計算的三維目標周圍引入具有虛構性質的邊界，其內部采用有限元方法進行計算，而外部則采用邊界積分中的矩量法進行計算，邊界兩邊的場通過場的連續(xù)性耦合，生成一個內部邊界的耦合方程組［10，11］。以往的研究中有限元-邊界方法主要用于求解外部場或無邊界場的問題，用于光電目標中具有隱身特性的三維復雜目標的電磁散射的計算并不多見，且實際應用多集中于單一方法的運用［12～15］。本文以復雜三維目標的電磁散射計算為研究內容，以有限元-邊界法為主要手段對復雜型三維腔體單元目標的電磁散射進行建模與計算，目的在于尋求一種求解效率高、求解精度好的復雜三維目標電磁散射計算方法。本文首先對腔體目標計算的一般方法與模型進行了探討，然后應用該方法對某實例進行了計算，從而驗證了理論的有效性。

2 電磁腔體有限元邊界積分

圖1 三維開口腔體邊界模型示意圖Fig.1 Sketch map of three-dimensional boundary mode

三維電磁腔體目標的邊界積分分析是目標散射分析與計算的前提。要對三維腔體目標進行精確的預估、電磁透射及耦合計算，首先需要對三維腔體目標進行合理的簡化與模型描述，然后對模型進行分析與數學計算。在整個模型建立過程中三維腔體的內部場用矢量有限元變分方程來計算，而電磁腔體的外部場則以邊界積分法來計算。在整個計算過程中，以有限元-邊界方法對任意激勵源作用下的無限大導電平面上的復雜三維開口腔體目標的散射進行了分析。圖1表示復雜三維開口腔體目標的結構，圖中的V假設為腔體內部空間，V′假設為腔體外部空間，該腔體為兩端開口結構，其側面為無限大的接地空間。

圖1所示的三維腔體目標具有兩端開口的性質，在電磁計算中要用到的介電常數有各向同性和各向異性之分。為了使計算模型具有一定的代表性，文中假設腔體內部的介質具有各向異性的特點，式（1）和式（2）分別為腔體內部介質的介電常數和相對磁導率的表達式。計算三維腔體外部無限大空間的電磁場需要滿足一定的條件，其中最為重要的條件之一便是式（3）所示的矢量波動方程。

式中J（r）為作Δ用于腔體產生入射場的任意激勵源，E為場強， 為旋度，κ0，z0為相應的系數。矢量格林函數是求解三維腔體電磁輻射的基本工具，在引入該函數的過程中需要注意該函數式必須滿足一定的非齊次微分方程，本文將引入的矢量格林函數與式（3）進行點乘，同時在三維腔體的外部空間進行積分運算。而腔體的外部空間的場強函數表達式可以通過應用矢量格林函數恒等式來求解。在計算過程中，為了達到簡化目標的目的，假設了場源被限制在有限的空間內，并且沿著半球面以及三維腔體中切向電場方向（除掉該腔體兩開口以外）各個部分的積分均為零。在這種情況下，該類型的三維腔體的場強形式可以簡化為式（4）所示的形式，該式中為典型半空間矢格林函數，s0為開口的平面區(qū)域。場強的最終形式可以通過將進行求解后帶入式（4）來得到，將該場強的最終形式的函數式兩側分別取旋度，可以利用麥克斯韋方程得到電磁場形式與三維腔體形式的關系。而三維腔體開口處的電磁場求解是腔體目標電磁散射求解的關鍵之一，此處的電場與磁場關系可以通過將上述關系式進行z方向的取零準確獲得，該關系式用式（5）表示。

式中Hinc為入射磁場，V′為含有電流源J的積分區(qū)域，S為包圍V′的面積。

3 三維目標有限元泛函建立

獲得電磁場求解的基本公式后需要建立三維腔體目標的有限元泛函。在模型建立過程中，首先定義腔體內部為各向異性填充體；其次需要滿足式（6）所示的波動方程。三維腔體電磁場計算的有限元邊界條件有兩個，分別為計算腔體內部電磁場的形式（如式（7）所示）和計算腔體兩端開口處電磁場的形式（如式（8）所示）。

將式（5）代入式（8）可以獲得三維腔體開口處電磁計算的有限元邊界條件的精確表達式。依據變分不等式理論將上述式（6）～（8）進行變分。為了對泛函F進行離散，可以將腔體所在的區(qū)域分為M個六面體單元（非開口處），開口處剖分為Ms個矩形單元。這樣可以得到總體的三維腔體目標電磁散射計算有限元泛函，如式（9）所示。對式（9）進行求和，并采用全局編號的形式代替上述建模中采用的局部棱邊編號，進而得到式（10）所示的泛函簡化式。

式中M為有限元單元函數，Ms為腔體開口部分三角形單元函數，κ是Ge在S0上的積分，P為稠密矩陣.

對原棱邊的電場表示函數進行求導計算，并設其偏導數為零，便可得到三維腔體電磁散射計算有限元泛函的線性方程組，如式（11）所示，其中A=K+P。

式（11）所示的線性方程組可以通過多波前法進行求解，從而得到上述形式的三維開口腔體的內部電磁場值，在求解過程中需要通過邊界條件來限制，以保證使腔體內壁上的棱邊場為零。這樣就可以做到無論在何種激振源的激勵下，三維腔體內部諸元素均可通過三點-高斯積分計算獲得。

4 有限元-邊界法的實例應用

針對上述形式的三維腔體目標的有限元泛函是否能精確計算其電磁散射進行了實例分析和實驗驗證，本文僅作實例仿真分析。在驗證過程中，首先計算在平面波入射條件下三維開口腔體的雷達散射截面，同時計算產生入射場源離散射目標的距離能夠在一個范圍時該三維開口腔體的散射。為了進行對比，在驗證過程中對腔體內部為空和腔體內部為各向異性材料兩種情況下的電磁散射截面進行計算。三維腔體的結構尺寸為0.8λ×0.1λ×1.63λ（λ為激勵源的工作波長）。三維腔體目標的電磁散射計算可以在上述兩種情況下進行基于有限元-邊界的應用性驗證。

在驗證過程中，首先對無限大接地矩形三維開口腔體的雷達散射截面（Radar Cross Section，RCS）隨φ角的變化進行了分析，當腔體內部無填充物時，分析結果如圖2所示；當腔體內部為各向異性介質時，對腔體RCS進行計算的結果如圖3所示。在這種情況下，將入射平面波的θ角設為40°，腔體內部各向異性介質參數取式（12）所示情況。

?

圖2 腔體內部為空時RCS隨φ角的變化

Fig.2 Change of RCS following φ when the dimensional bosom is empty

圖2中當φ為0～90°時，按傳統(tǒng)模式匹配法得到的計算結果與本文所探討的有限元-邊界法所計算得到的結果吻合程度較高，在一定程度上可認為有限元-邊界方法在計算空腔電磁散射方面具有較高的精度。圖3中顯示的結果表明，當腔體中的物質為各向異性時，外部的雷達散射截面比圖2中內腔為空時要小得多，而計算結果則有較高的準確性，本方法與模式匹配法得到的結果匹配重合度達90％以上。

圖3 腔體內部為各向異性物質時RCS隨φ角的變化Fig.3 Change of RCS following φ when dimensional bosom is anisotropic matter

5 結 論

當前飛行器普遍采用隱身設計，其電磁散射較小時，會給探測告警增添極大難度。本文以有限元-邊界法為計算方法對開口型三維腔體目標的電磁散射的計算方法進行了探討。針對三維腔體的電磁散射，主要進行了有限元積分運算、有限元函數模型設計、腔體目標實例計算等。結果顯示，有限元-邊界法在計算三維腔體目標的電磁散射方面具有較高的精度。后續(xù)的工作中將圍繞本方法的計算效率展開探討。

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Application of FE-BI to calculation of opto-electronic target scattering

CHEN Zhao-bing1，GUO Jin1，LIN Sen2

（1.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Armor Technique Institute of the People′s Liberation Army，Changchun 130117，China）

In order to solve the contradiction between veracity and validity for calculating the three-dimensional target electromagnetic scattering，a calculator mode about Finite Element-Boundary Integral（FE-BI）was set up to calculate the three-dimensional target electromagnetic scattering.Firstly，the three-dimensional target electromagnetic scattering calculation borderline integral was analyzed，and the vector Green function was introduced.On the basis of the connection between electromagnetism form and three-dimensional cavity form，the three-dimensional hatch cavity borderline mode was set up.Then，the finite element commonly function wasestablished by combining the optical target surface modeling method with the higher order function method，and the application of the FE-BI to calculating three-dimensional target electromagnetic scattering was achieved.Finally，the following example analysis was proved.It is shown that the angle tally is very ideal when the dimensional bosom is empty or anisotropic matter.The consistance has been 90％as compared with the traditional matching method.In conclusion，the veracity and validity of calculation are improved by the proposed method.

opto-electronic target；electromagnetic scattering；finite element；boundary integral

TN97；TP312

A

1674-2915（2011）02-0169-06

2010-11-11；

2011-02-13

陳兆兵（1980—），男，山東五蓮人，博士，主要從事光電對抗裝備的光機電結構一體化設計方面的研究。E-mail：chenzhaobing999@163.com