李志生，呂勇斌，劉恒甲

（中南財經(jīng)政法大學 金融學院，武漢430073）

0 引言

隨著生活水平的提高和醫(yī)療條件的改善，人類壽命不斷延長。據(jù)世界衛(wèi)生組織的統(tǒng)計，2005年我國大陸居民人均壽命為72.4歲，較2000年的70.8歲提高了1.6歲，據(jù)預測，到2050年我國大陸人均壽命將超過85歲。壽命的延長一方面提高了退休生活的成本，另一方面也加大了退休金準備不足的風險。

退休計劃中決策者主要面臨兩類風險：第一是財務風險，主要發(fā)生在退休金的積累過程，這類風險可能使投資于各類金融資產(chǎn)的財富部分甚至全部損失。一般來說，因健康和通脹等因素的影響，退休者退休后的年均生活費用會顯著增加，這使退休生活需要越來越多的財富支撐，如果市場陷入連續(xù)滯漲或衰退，退休金將面臨巨大的給付壓力。第二是長壽風險。壽命的延長本來是人類社會進步的一種表現(xiàn)，但是在人類壽命延長過程中也出現(xiàn)了一個引人擔憂的現(xiàn)象，即在生命的最后1/5階段，即使沒有疾病的影響，也往往不同程度地存在生活質(zhì)量下降的趨勢。造成這種現(xiàn)象的主要原因是壽命延長了而工作時間并沒有相應延長，這使人們退休后無收入或者低收入生活的年限越來越長。針對這種現(xiàn)象，經(jīng)濟學家引入了長壽風險的概念來表示因壽命過長而導致的退休金準備不足的風險。

雖然長壽風險已經(jīng)受到國內(nèi)外學者的廣泛關注，但目前學者們關于長壽風險的討論還局限在定性的層面上，在定量計算方面還沒有系統(tǒng)的研究成果。本文借用健康經(jīng)濟學和壽險精算領域中廣泛使用的Lee-Carter死亡率模型，并結合經(jīng)典的下方風險計量方法，探討退休計劃中長壽風險評價的一般方法和定量計算矩陣。本文的研究成果將為年金產(chǎn)品定價、養(yǎng)老年金經(jīng)濟價值的分析、各類養(yǎng)老計劃的財務安全和可持續(xù)發(fā)展問題提供參考。

1 長壽風險的識別與度量

根據(jù)Richard（2006）的定義，長壽風險是指由于個人或總體人群未來的實際壽命高于預期壽命而產(chǎn)生的財富短缺風險。基于上述定義可以發(fā)現(xiàn)，長壽風險主要來自兩個方面：一是由于人口死亡率下降而帶來的壽命增加；二是個人或社會群體自身財富效用的變化。一般來說，現(xiàn)實生活中消費者會根據(jù)自己的收入狀況來安排生活消費支出和投資決策。但是，在目標消費函數(shù)確定的情況下，財富總量在退休之后不斷減少的趨勢可能使目標消費無法滿足。因此，對長壽風險的識別需要同時考慮實際壽命高于預期壽命和財富效用短缺這兩種可能性。

1.1 死亡率模型

為了度量長壽風險的大小，首先需要對人口死亡率的現(xiàn)狀和未來變化趨勢進行合理的估計。死亡率數(shù)據(jù)最直接的來源是人口調(diào)查統(tǒng)計結果和保險業(yè)經(jīng)驗生命表，但是前者反映的只是死亡率的歷史狀況，不能直接用來對死亡率進行預測，后者則是源于參保人的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，并不具有廣泛的代表性。本文選擇被學者們廣泛應用的Lee-Carter模型對死亡率進行預測。

Lee-Carter模型的主要思路是將死亡率的變化分解為時間因子t和年齡因子x。如果用mx,t表示時間t時年齡為x歲的人群的中心死亡率，那么mx,t滿足以下函數(shù)關系：

其中αx為依賴于年齡因子的參數(shù)，反映特定年齡人群死亡率自然對數(shù)的平均水平；kt為依賴于時間因子的參數(shù)，通常稱為死亡率指數(shù)（Mortality Index），反映死亡率隨時間變化的速度；βx表示年齡因子對kt的敏感度；εx,t是均值為0、方差為的誤差項。李志生、劉恒甲（2010）利用1992～2007年中國人口分年齡組死亡率數(shù)據(jù)對Lee-Carter模型進行了估計，并得出了最優(yōu)的擬合模型。

1.2 長壽風險度量模型

本文構建的長壽風險量化模型如下：

其中，LRx,t表示當前年齡為x歲的人群第t年所面臨的長壽風險的大小，F(xiàn)x,t表示x歲的人群在第t年的存活概率（Fx,t=1-mx,t），Pr o(Ut＜0)表示財富效用小于0的概率。

式（2）中的財富演化函數(shù)Wt可以進一步表示為：

其中α為財富的自然增長率，假設其服從正態(tài)分布；y是一個服從泊淞分布的參數(shù)，代表每年由于意外事件（如重大疾病和自然災害）的發(fā)生而產(chǎn)生的額外支出的次數(shù)；Pt表示意外事件發(fā)生而產(chǎn)生的額外費用；It為其他收入所得，如社會養(yǎng)老福利和年金福利等；Ct為第t年的目標消費額，包括生活消費、醫(yī)療和其他常規(guī)支出，其大小由第t－1年的目標消費額Ct-1和居民消費價格指數(shù)（CPI）決定。

為了簡化分析，這里采用直線效用函數(shù)，即假設Ut=Wt。通過分析可以看出，當財富量Wt小于0時，將產(chǎn)生財務風險。通過式（3）獲得年齡為x歲的人群未來各年的財富水平，并結合式（1）來獲取相應的死亡率數(shù)據(jù)，便可對未來長壽風險發(fā)生的概率進行模擬計算。

理論上，長壽風險發(fā)生的時間是退休計劃、年金條款以及養(yǎng)老保障制度設計的關鍵因素，因此在既定的消費目標和其他約束條件下，對長壽風險首次發(fā)生時間的估計有著重要意義。通過改變模型中各參數(shù)的取值，并模擬計算不同參數(shù)取值下的結果，可以進行相應的敏感性分析，以檢驗模型中各個參數(shù)對長壽風險的影響方向和程度的大小。這將有利于加深對長壽風險的認識，更好地制定出應對和管理長壽風險的方法和工具。

2 數(shù)值計算

根據(jù)第1部分提出的長壽風險度量模型，本部分對不同參數(shù)設置下的長壽風險進行模擬計算，并就各參數(shù)對長壽風險的影響進行分析。

2.1 算法構建

模型（2）對LRx,t的計算涉及到時間和年齡兩個維度，同時還需考慮年齡X隨時間t的變化。本文將實際壽命超過預期壽命情況下財富短缺的可能性定義為長壽風險?；诶钪旧?、劉恒甲（2010）的研究，2011年我國新生人口的期望壽命為75歲，為此我們以未來24年（t=1…24）75～99歲人口死亡率預測值和財富演化路徑兩個參數(shù)來實現(xiàn)對長壽風險的模擬，模型（2）可簡化為：

模型（4）將年齡和時間兩個維度的參數(shù)結合為單一參數(shù)在一定程度上簡化了計算。模型（4）得到的長壽風險是一個相對指標，表明在未來24年里75～99歲各年齡的人群面臨長壽風險的概率。模型（4）的仿真和模擬計算可經(jīng)過以下幾個步驟完成：

第一步：使用Lee-Carter模型獲取未來不同年份不同年齡組人口的死亡率預測值，并將分年齡組人口死亡率分解為各歲數(shù)人口的死亡率；

第二步：根據(jù)影響財富效用函數(shù)（3）的四個因素設定若干組參數(shù)，并計算每組參數(shù)設置下的目標消費函數(shù)和財富效用函數(shù)的演化路徑；

第三步：從60歲年齡分組開始，判斷效用函數(shù)Ut是否小于0，當Ut＜0時，即認為在t年60＋t歲的人群將面臨財務風險；將60＋t與期望壽命75歲進行比較，如果60＋t＞75，則認為存在發(fā)生長壽風險的可能性；

第四步：在特定的參數(shù)設置下，對模型（4）進行N次模擬計算，并對第三步識別出的長壽風險發(fā)生時間點t時的Ut＜0做出統(tǒng)計，并以此計算第t年長壽風險發(fā)生的概率。

2.2 長壽風險的模擬計算和分析

我們用一年期國債來近似代表財富的自然增長率，過去十年我國一年期國債的平均利率為3.7%，標準差為15%；意外事件發(fā)生的次數(shù)y服從泊淞分布，即Pr o(y=k)=e-λλk/k!，我們假設意外事件發(fā)生的頻率為10%；因意外事件發(fā)生而產(chǎn)生的額外費用Pt為0.5倍的當期消費，即Pt=0.5Ct；It為0，即假設退休后不存在其他收入；初始財富為10個單位，消費額Ct-1為0.6個單位。為了分析不同參數(shù)的變化對長壽風險首次發(fā)生時間的影響和長壽風險首次產(chǎn)生的概率的影響，我們設置以下五組參數(shù)。

表1中，第二組模擬計算改變了參數(shù)Ct-1，以考察目標消費與長壽風險的關系；第三組模擬計算改變了參數(shù)μ，以考察財富增長率對長壽風險的影響；第四、五組模擬計算分別改變了σ和λ，以考察財富增長的波動率和意外事件發(fā)生的頻率與長壽風險的關系。

針對表1的每組參數(shù)，我們分別對模型（3）進行2000次模擬計算，并計算出當年發(fā)生財富效用短缺的概率，結果如圖1所示。

從圖1可以看出，當參數(shù)Ct-1從0.6減小到0.3時，在75歲之前發(fā)生財富短缺的概率大幅度降低；當財富平均年增長率μ從3.7%增加到6%時，在73歲之前發(fā)生財富短缺的概率普遍降低；當財富增長的波動率15%增加到了30%時，短期內(nèi)發(fā)生財富短缺的概率顯著增加；當意外事件發(fā)生的概率增加到20%（即平均每5年發(fā)生一次意外事件）時，短期內(nèi)發(fā)生財

表1 五組模擬計算中模型參數(shù)的設置

圖1 首次發(fā)生財富短缺的概率

圖2 首次發(fā)生長壽風險的概率

3 結論與建議

本文在對長壽風險進行定性分析的基礎上，提出了一個定量化的長壽風險度量模型，并根據(jù)相關數(shù)據(jù)對未來人口的長壽風險進行了模擬計算。結果顯示目標消費量、財富增長率的均值與方差、意外事件發(fā)生的頻率等參數(shù)對長壽風險發(fā)生的時間及其概率分布有較大影響。

人類壽命的延長本身是社會進步的一種表現(xiàn)，但是如果社會不能提供足夠的財富來維持壽命延長所帶來的更多消費支出，社會個體退休后的生活水平將會出現(xiàn)大幅度的下降，進而產(chǎn)生嚴重的社會問題。歐美發(fā)達國家的人口老齡化是伴隨著城市化和工業(yè)化的進程而出現(xiàn)的，也就是說經(jīng)濟高度發(fā)達和人口結構轉(zhuǎn)變是同時發(fā)生的。而在我國，2005年60歲以上的人口已占總人口的11%，并且這一比例將在本世紀中葉超過30%，但屆時我國人均GDP和經(jīng)濟發(fā)展質(zhì)量只能達到中等發(fā)達國家水平?！拔锤幌壤稀钡默F(xiàn)實，加之龐大的人口基數(shù)，使得長壽風險日益成為一個亟待解決的新的社會問題。對于如何應對人口老齡化所帶來的長壽風險，結合本文的分析結果，我們提出以下幾點建議：

（1）重視不同社會群體長壽風險的區(qū)別

從第2章中五組參數(shù)的不同計算結果來看，不同參數(shù)設置下長壽風險發(fā)生的時間點和概率大小都存在明顯差別。當然還有更多影響長壽風險的因素需要我們識別和研究。識別這些不同的影響因素，劃分不同的社會群體，了解不同社會群體在面臨長壽風險時的財務狀況顯得尤為重要。

居民收入分配不均和地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展不平衡等導致貧富分化加重的現(xiàn)象，使得不同的社會群體在財務安全感和穩(wěn)定感上存在很大差別。社會保障體系特別是農(nóng)村保障體系的不完善和低水平，直接導致這部分人群有可能面臨較為嚴重的長壽風險。同樣，長壽風險的差別存在于公務員、自由職業(yè)者、運動員、教師、私營經(jīng)濟者和農(nóng)民等不同職業(yè)者之間，以及富短缺的概率也明顯增加。

接下來我們根據(jù)式（4），對表1的每組參數(shù)分別進行2000次模擬，得到長壽風險發(fā)生概率，如圖2所示。

我們發(fā)現(xiàn)，75歲之后長壽風險的發(fā)生幾乎是必然的，但是在不同年齡長壽風險發(fā)生的概率有所不同。對于不同的參數(shù)設置，長壽風險首次發(fā)生在85～88歲之間的概率最大，首次出現(xiàn)在90歲以上的概率很?。ㄐ∮?%）。此外，平均財富增長率、財富增長的波動率、目標消費量以及意外事件發(fā)生的頻率都在一定程度上影響著長壽風險首次發(fā)生的時間及其概率。東西部等地區(qū)之間等。因此如何識別不同社會群體所面臨的長壽風險發(fā)生的時間點和概率大小是一個重要的研究課題。

（2）轉(zhuǎn)嫁和對沖長壽風險的金融產(chǎn)品的開發(fā)和使用

根據(jù)國家人力資源和勞動保障部公布的數(shù)據(jù)，截至2009年底，全國參加城鎮(zhèn)基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險和失業(yè)保險的人數(shù)為2.35億、4億和1.27億。也就是說我國人口當中有近70%的人口未能納入養(yǎng)老保險體系當中，這一方面說明我國人民的各項社會保障還處于很低的水平，覆蓋面非常有限，同時也說明針對長壽風險的金融產(chǎn)品將存在廣闊的市場空間，比如年金產(chǎn)品、壽險產(chǎn)品和證券化產(chǎn)品等。

養(yǎng)老年金的經(jīng)濟價值在理論界得到了廣泛的肯定，但實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)卻顯示，養(yǎng)老年金并不被很多人接受，即使是在年金市場較為發(fā)達的美國，年金的購買比例和年金化率都很低。因此針對長壽風險，如何充分發(fā)揮養(yǎng)老年金的重要作用將是一個重要的研究課題。

此外，金融市場的創(chuàng)新性和風險轉(zhuǎn)移能力可以為長壽風險管理提供新的方式與渠道。發(fā)揮金融市場創(chuàng)造性和風險轉(zhuǎn)嫁功能，為長壽風險的規(guī)避提供金融工具也具有積極的現(xiàn)實意義。

[1]Anderson,Artbur W.Pension Mathematics for Actuaries[M].American:The Windsor Press Inc,1985.

[2]Antolin Pablo.Longevity Risk and Private Pensions[C].OECD Working Paper on Insuranceand Private Pensions,No.3，2007.

[3]Brouhns,N.,Denuit,M.,Van Keilegom,I.Bootstrapping the Poisson log-bilinear Model for Mortality Forecasting[J].Scandinavian Actuarial Journal，2005,（3）.

[4]Brouhns,N.,Denuit,M.,Vermunt,J.K..Measuring the Longevity Risk in Mortality Projections[J].Bulletin of the Swiss Association of Actuaries,2002，（2）.

[5]Lee R.D.The Lee-Carter Method for Forecasting Mortality,with Various Extensions and Applications[J].North American Actuarial Journal，2000,4(1).

[6]Li,N.,Lee,R.,Tuljapurkar,S.Using the Lee Carter Method to Forecast Mortality for Population with.Limited Data[J].International Statistical Review,2004,72(1).

[7]Steinmann Lukas,Scotti Veronica.Annuities:Private Solutions of Longevity Risk[J].Sigma,2007,(3).

[8]Stanley R.Pliska,Jinchun Ye.Optimal Life Purchase and Consumption、Investment under Uncertain Lifetime[J].Journal of Banking and Finance,2007,(10).

[9]陳秉正，祝偉.長壽風險管理研究綜述[R].北大CCISSR(賽瑟)論壇，2008-4-10.

[10]李志生，劉恒甲.Lee-Carter死亡率模型的估計與應用——基于中國人口數(shù)據(jù)的分析[J].中國人口科學，2010,(3).