李志生，呂勇斌，劉恒甲

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 金融學(xué)院，武漢430073）

0 引言

隨著生活水平的提高和醫(yī)療條件的改善，人類壽命不斷延長。據(jù)世界衛(wèi)生組織的統(tǒng)計(jì)，2005年我國大陸居民人均壽命為72.4歲，較2000年的70.8歲提高了1.6歲，據(jù)預(yù)測，到2050年我國大陸人均壽命將超過85歲。壽命的延長一方面提高了退休生活的成本，另一方面也加大了退休金準(zhǔn)備不足的風(fēng)險。

退休計(jì)劃中決策者主要面臨兩類風(fēng)險：第一是財(cái)務(wù)風(fēng)險，主要發(fā)生在退休金的積累過程，這類風(fēng)險可能使投資于各類金融資產(chǎn)的財(cái)富部分甚至全部損失。一般來說，因健康和通脹等因素的影響，退休者退休后的年均生活費(fèi)用會顯著增加，這使退休生活需要越來越多的財(cái)富支撐，如果市場陷入連續(xù)滯漲或衰退，退休金將面臨巨大的給付壓力。第二是長壽風(fēng)險。壽命的延長本來是人類社會進(jìn)步的一種表現(xiàn)，但是在人類壽命延長過程中也出現(xiàn)了一個引人擔(dān)憂的現(xiàn)象，即在生命的最后1/5階段，即使沒有疾病的影響，也往往不同程度地存在生活質(zhì)量下降的趨勢。造成這種現(xiàn)象的主要原因是壽命延長了而工作時間并沒有相應(yīng)延長，這使人們退休后無收入或者低收入生活的年限越來越長。針對這種現(xiàn)象，經(jīng)濟(jì)學(xué)家引入了長壽風(fēng)險的概念來表示因壽命過長而導(dǎo)致的退休金準(zhǔn)備不足的風(fēng)險。

雖然長壽風(fēng)險已經(jīng)受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，但目前學(xué)者們關(guān)于長壽風(fēng)險的討論還局限在定性的層面上，在定量計(jì)算方面還沒有系統(tǒng)的研究成果。本文借用健康經(jīng)濟(jì)學(xué)和壽險精算領(lǐng)域中廣泛使用的Lee-Carter死亡率模型，并結(jié)合經(jīng)典的下方風(fēng)險計(jì)量方法，探討退休計(jì)劃中長壽風(fēng)險評價的一般方法和定量計(jì)算矩陣。本文的研究成果將為年金產(chǎn)品定價、養(yǎng)老年金經(jīng)濟(jì)價值的分析、各類養(yǎng)老計(jì)劃的財(cái)務(wù)安全和可持續(xù)發(fā)展問題提供參考。

1 長壽風(fēng)險的識別與度量

根據(jù)Richard（2006）的定義，長壽風(fēng)險是指由于個人或總體人群未來的實(shí)際壽命高于預(yù)期壽命而產(chǎn)生的財(cái)富短缺風(fēng)險。基于上述定義可以發(fā)現(xiàn)，長壽風(fēng)險主要來自兩個方面：一是由于人口死亡率下降而帶來的壽命增加；二是個人或社會群體自身財(cái)富效用的變化。一般來說，現(xiàn)實(shí)生活中消費(fèi)者會根據(jù)自己的收入狀況來安排生活消費(fèi)支出和投資決策。但是，在目標(biāo)消費(fèi)函數(shù)確定的情況下，財(cái)富總量在退休之后不斷減少的趨勢可能使目標(biāo)消費(fèi)無法滿足。因此，對長壽風(fēng)險的識別需要同時考慮實(shí)際壽命高于預(yù)期壽命和財(cái)富效用短缺這兩種可能性。

1.1 死亡率模型

為了度量長壽風(fēng)險的大小，首先需要對人口死亡率的現(xiàn)狀和未來變化趨勢進(jìn)行合理的估計(jì)。死亡率數(shù)據(jù)最直接的來源是人口調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果和保險業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表，但是前者反映的只是死亡率的歷史狀況，不能直接用來對死亡率進(jìn)行預(yù)測，后者則是源于參保人的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并不具有廣泛的代表性。本文選擇被學(xué)者們廣泛應(yīng)用的Lee-Carter模型對死亡率進(jìn)行預(yù)測。

Lee-Carter模型的主要思路是將死亡率的變化分解為時間因子t和年齡因子x。如果用mx,t表示時間t時年齡為x歲的人群的中心死亡率，那么mx,t滿足以下函數(shù)關(guān)系：

其中αx為依賴于年齡因子的參數(shù)，反映特定年齡人群死亡率自然對數(shù)的平均水平；kt為依賴于時間因子的參數(shù)，通常稱為死亡率指數(shù)（Mortality Index），反映死亡率隨時間變化的速度；βx表示年齡因子對kt的敏感度；εx,t是均值為0、方差為的誤差項(xiàng)。李志生、劉恒甲（2010）利用1992～2007年中國人口分年齡組死亡率數(shù)據(jù)對Lee-Carter模型進(jìn)行了估計(jì)，并得出了最優(yōu)的擬合模型。

1.2 長壽風(fēng)險度量模型

本文構(gòu)建的長壽風(fēng)險量化模型如下：

其中，LRx,t表示當(dāng)前年齡為x歲的人群第t年所面臨的長壽風(fēng)險的大小，F(xiàn)x,t表示x歲的人群在第t年的存活概率（Fx,t=1-mx,t），Pr o(Ut＜0)表示財(cái)富效用小于0的概率。

式（2）中的財(cái)富演化函數(shù)Wt可以進(jìn)一步表示為：

其中α為財(cái)富的自然增長率，假設(shè)其服從正態(tài)分布；y是一個服從泊淞分布的參數(shù)，代表每年由于意外事件（如重大疾病和自然災(zāi)害）的發(fā)生而產(chǎn)生的額外支出的次數(shù)；Pt表示意外事件發(fā)生而產(chǎn)生的額外費(fèi)用；It為其他收入所得，如社會養(yǎng)老福利和年金福利等；Ct為第t年的目標(biāo)消費(fèi)額，包括生活消費(fèi)、醫(yī)療和其他常規(guī)支出，其大小由第t－1年的目標(biāo)消費(fèi)額Ct-1和居民消費(fèi)價格指數(shù)（CPI）決定。

為了簡化分析，這里采用直線效用函數(shù)，即假設(shè)Ut=Wt。通過分析可以看出，當(dāng)財(cái)富量Wt小于0時，將產(chǎn)生財(cái)務(wù)風(fēng)險。通過式（3）獲得年齡為x歲的人群未來各年的財(cái)富水平，并結(jié)合式（1）來獲取相應(yīng)的死亡率數(shù)據(jù)，便可對未來長壽風(fēng)險發(fā)生的概率進(jìn)行模擬計(jì)算。

理論上，長壽風(fēng)險發(fā)生的時間是退休計(jì)劃、年金條款以及養(yǎng)老保障制度設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素，因此在既定的消費(fèi)目標(biāo)和其他約束條件下，對長壽風(fēng)險首次發(fā)生時間的估計(jì)有著重要意義。通過改變模型中各參數(shù)的取值，并模擬計(jì)算不同參數(shù)取值下的結(jié)果，可以進(jìn)行相應(yīng)的敏感性分析，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭懈鱾€參數(shù)對長壽風(fēng)險的影響方向和程度的大小。這將有利于加深對長壽風(fēng)險的認(rèn)識，更好地制定出應(yīng)對和管理長壽風(fēng)險的方法和工具。

2 數(shù)值計(jì)算

根據(jù)第1部分提出的長壽風(fēng)險度量模型，本部分對不同參數(shù)設(shè)置下的長壽風(fēng)險進(jìn)行模擬計(jì)算，并就各參數(shù)對長壽風(fēng)險的影響進(jìn)行分析。

2.1 算法構(gòu)建

模型（2）對LRx,t的計(jì)算涉及到時間和年齡兩個維度，同時還需考慮年齡X隨時間t的變化。本文將實(shí)際壽命超過預(yù)期壽命情況下財(cái)富短缺的可能性定義為長壽風(fēng)險?；诶钪旧?、劉恒甲（2010）的研究，2011年我國新生人口的期望壽命為75歲，為此我們以未來24年（t=1…24）75～99歲人口死亡率預(yù)測值和財(cái)富演化路徑兩個參數(shù)來實(shí)現(xiàn)對長壽風(fēng)險的模擬，模型（2）可簡化為：

模型（4）將年齡和時間兩個維度的參數(shù)結(jié)合為單一參數(shù)在一定程度上簡化了計(jì)算。模型（4）得到的長壽風(fēng)險是一個相對指標(biāo)，表明在未來24年里75～99歲各年齡的人群面臨長壽風(fēng)險的概率。模型（4）的仿真和模擬計(jì)算可經(jīng)過以下幾個步驟完成：

第一步：使用Lee-Carter模型獲取未來不同年份不同年齡組人口的死亡率預(yù)測值，并將分年齡組人口死亡率分解為各歲數(shù)人口的死亡率；

第二步：根據(jù)影響財(cái)富效用函數(shù)（3）的四個因素設(shè)定若干組參數(shù)，并計(jì)算每組參數(shù)設(shè)置下的目標(biāo)消費(fèi)函數(shù)和財(cái)富效用函數(shù)的演化路徑；

第三步：從60歲年齡分組開始，判斷效用函數(shù)Ut是否小于0，當(dāng)Ut＜0時，即認(rèn)為在t年60＋t歲的人群將面臨財(cái)務(wù)風(fēng)險；將60＋t與期望壽命75歲進(jìn)行比較，如果60＋t＞75，則認(rèn)為存在發(fā)生長壽風(fēng)險的可能性；

第四步：在特定的參數(shù)設(shè)置下，對模型（4）進(jìn)行N次模擬計(jì)算，并對第三步識別出的長壽風(fēng)險發(fā)生時間點(diǎn)t時的Ut＜0做出統(tǒng)計(jì)，并以此計(jì)算第t年長壽風(fēng)險發(fā)生的概率。

2.2 長壽風(fēng)險的模擬計(jì)算和分析

我們用一年期國債來近似代表財(cái)富的自然增長率，過去十年我國一年期國債的平均利率為3.7%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%；意外事件發(fā)生的次數(shù)y服從泊淞分布，即Pr o(y=k)=e-λλk/k!，我們假設(shè)意外事件發(fā)生的頻率為10%；因意外事件發(fā)生而產(chǎn)生的額外費(fèi)用Pt為0.5倍的當(dāng)期消費(fèi)，即Pt=0.5Ct；It為0，即假設(shè)退休后不存在其他收入；初始財(cái)富為10個單位，消費(fèi)額Ct-1為0.6個單位。為了分析不同參數(shù)的變化對長壽風(fēng)險首次發(fā)生時間的影響和長壽風(fēng)險首次產(chǎn)生的概率的影響，我們設(shè)置以下五組參數(shù)。

表1中，第二組模擬計(jì)算改變了參數(shù)Ct-1，以考察目標(biāo)消費(fèi)與長壽風(fēng)險的關(guān)系；第三組模擬計(jì)算改變了參數(shù)μ，以考察財(cái)富增長率對長壽風(fēng)險的影響；第四、五組模擬計(jì)算分別改變了σ和λ，以考察財(cái)富增長的波動率和意外事件發(fā)生的頻率與長壽風(fēng)險的關(guān)系。

針對表1的每組參數(shù)，我們分別對模型（3）進(jìn)行2000次模擬計(jì)算，并計(jì)算出當(dāng)年發(fā)生財(cái)富效用短缺的概率，結(jié)果如圖1所示。

從圖1可以看出，當(dāng)參數(shù)Ct-1從0.6減小到0.3時，在75歲之前發(fā)生財(cái)富短缺的概率大幅度降低；當(dāng)財(cái)富平均年增長率μ從3.7%增加到6%時，在73歲之前發(fā)生財(cái)富短缺的概率普遍降低；當(dāng)財(cái)富增長的波動率15%增加到了30%時，短期內(nèi)發(fā)生財(cái)富短缺的概率顯著增加；當(dāng)意外事件發(fā)生的概率增加到20%（即平均每5年發(fā)生一次意外事件）時，短期內(nèi)發(fā)生財(cái)

表1 五組模擬計(jì)算中模型參數(shù)的設(shè)置

圖1 首次發(fā)生財(cái)富短缺的概率

圖2 首次發(fā)生長壽風(fēng)險的概率

3 結(jié)論與建議

本文在對長壽風(fēng)險進(jìn)行定性分析的基礎(chǔ)上，提出了一個定量化的長壽風(fēng)險度量模型，并根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)對未來人口的長壽風(fēng)險進(jìn)行了模擬計(jì)算。結(jié)果顯示目標(biāo)消費(fèi)量、財(cái)富增長率的均值與方差、意外事件發(fā)生的頻率等參數(shù)對長壽風(fēng)險發(fā)生的時間及其概率分布有較大影響。

人類壽命的延長本身是社會進(jìn)步的一種表現(xiàn)，但是如果社會不能提供足夠的財(cái)富來維持壽命延長所帶來的更多消費(fèi)支出，社會個體退休后的生活水平將會出現(xiàn)大幅度的下降，進(jìn)而產(chǎn)生嚴(yán)重的社會問題。歐美發(fā)達(dá)國家的人口老齡化是伴隨著城市化和工業(yè)化的進(jìn)程而出現(xiàn)的，也就是說經(jīng)濟(jì)高度發(fā)達(dá)和人口結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變是同時發(fā)生的。而在我國，2005年60歲以上的人口已占總?cè)丝诘?1%，并且這一比例將在本世紀(jì)中葉超過30%，但屆時我國人均GDP和經(jīng)濟(jì)發(fā)展質(zhì)量只能達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平?！拔锤幌壤稀钡默F(xiàn)實(shí)，加之龐大的人口基數(shù)，使得長壽風(fēng)險日益成為一個亟待解決的新的社會問題。對于如何應(yīng)對人口老齡化所帶來的長壽風(fēng)險，結(jié)合本文的分析結(jié)果，我們提出以下幾點(diǎn)建議：

（1）重視不同社會群體長壽風(fēng)險的區(qū)別

從第2章中五組參數(shù)的不同計(jì)算結(jié)果來看，不同參數(shù)設(shè)置下長壽風(fēng)險發(fā)生的時間點(diǎn)和概率大小都存在明顯差別。當(dāng)然還有更多影響長壽風(fēng)險的因素需要我們識別和研究。識別這些不同的影響因素，劃分不同的社會群體，了解不同社會群體在面臨長壽風(fēng)險時的財(cái)務(wù)狀況顯得尤為重要。

居民收入分配不均和地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展不平衡等導(dǎo)致貧富分化加重的現(xiàn)象，使得不同的社會群體在財(cái)務(wù)安全感和穩(wěn)定感上存在很大差別。社會保障體系特別是農(nóng)村保障體系的不完善和低水平，直接導(dǎo)致這部分人群有可能面臨較為嚴(yán)重的長壽風(fēng)險。同樣，長壽風(fēng)險的差別存在于公務(wù)員、自由職業(yè)者、運(yùn)動員、教師、私營經(jīng)濟(jì)者和農(nóng)民等不同職業(yè)者之間，以及富短缺的概率也明顯增加。

接下來我們根據(jù)式（4），對表1的每組參數(shù)分別進(jìn)行2000次模擬，得到長壽風(fēng)險發(fā)生概率，如圖2所示。

我們發(fā)現(xiàn)，75歲之后長壽風(fēng)險的發(fā)生幾乎是必然的，但是在不同年齡長壽風(fēng)險發(fā)生的概率有所不同。對于不同的參數(shù)設(shè)置，長壽風(fēng)險首次發(fā)生在85～88歲之間的概率最大，首次出現(xiàn)在90歲以上的概率很小（小于1%）。此外，平均財(cái)富增長率、財(cái)富增長的波動率、目標(biāo)消費(fèi)量以及意外事件發(fā)生的頻率都在一定程度上影響著長壽風(fēng)險首次發(fā)生的時間及其概率。東西部等地區(qū)之間等。因此如何識別不同社會群體所面臨的長壽風(fēng)險發(fā)生的時間點(diǎn)和概率大小是一個重要的研究課題。

（2）轉(zhuǎn)嫁和對沖長壽風(fēng)險的金融產(chǎn)品的開發(fā)和使用

根據(jù)國家人力資源和勞動保障部公布的數(shù)據(jù)，截至2009年底，全國參加城鎮(zhèn)基本養(yǎng)老保險、基本醫(yī)療保險和失業(yè)保險的人數(shù)為2.35億、4億和1.27億。也就是說我國人口當(dāng)中有近70%的人口未能納入養(yǎng)老保險體系當(dāng)中，這一方面說明我國人民的各項(xiàng)社會保障還處于很低的水平，覆蓋面非常有限，同時也說明針對長壽風(fēng)險的金融產(chǎn)品將存在廣闊的市場空間，比如年金產(chǎn)品、壽險產(chǎn)品和證券化產(chǎn)品等。

養(yǎng)老年金的經(jīng)濟(jì)價值在理論界得到了廣泛的肯定，但實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)卻顯示，養(yǎng)老年金并不被很多人接受，即使是在年金市場較為發(fā)達(dá)的美國，年金的購買比例和年金化率都很低。因此針對長壽風(fēng)險，如何充分發(fā)揮養(yǎng)老年金的重要作用將是一個重要的研究課題。

此外，金融市場的創(chuàng)新性和風(fēng)險轉(zhuǎn)移能力可以為長壽風(fēng)險管理提供新的方式與渠道。發(fā)揮金融市場創(chuàng)造性和風(fēng)險轉(zhuǎn)嫁功能，為長壽風(fēng)險的規(guī)避提供金融工具也具有積極的現(xiàn)實(shí)意義。

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