張勇明 王 濤 周 敏

（重慶市電力公司綦南供電局，重慶401420）

1.問題的提出

電力系統(tǒng)靜態(tài)安全分析、可靠性評估，都要進(jìn)行潮流計算，如果采用牛頓－拉夫遜方法，經(jīng)常會遇到雅可比矩陣奇異的現(xiàn)象。其實，在常規(guī)牛頓－拉夫遜計算潮流計算時，有時，也會遇到這種情況，由于這種現(xiàn)象對所研究的問題結(jié)果沒有產(chǎn)生特別的影響，因此，人們往往不太注意，一筆代過。其實，在某些情況下，這種現(xiàn)象對所研究的問題有意想不到的影響，對此，很有必要進(jìn)行分析。我們知道，引起雅可比矩陣出現(xiàn)奇異的原因很多，網(wǎng)絡(luò)孤島（無平衡節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)）是其中的一個原因。那么，怎樣檢測雅可比矩陣奇異性、怎樣識別網(wǎng)絡(luò)孤島，是本文所要解決問題。

2.目前研究的現(xiàn)狀

雅可比矩陣奇異現(xiàn)象，在牛頓－拉夫遜計算潮流中經(jīng)常會遇到，這是由多種原因造成的。網(wǎng)絡(luò)孤島是雅可比矩陣出現(xiàn)奇異性的一個重要原因。許多文獻(xiàn)由此提出了許多識別網(wǎng)絡(luò)孤島拓樸論基礎(chǔ)上的方法。例如：基于Boolean乘法關(guān)聯(lián)矩陣的判別方法、一種簡單的樹類型尋找的方法、深度優(yōu)先搜索方法等。

拓樸論基礎(chǔ)上搜索網(wǎng)絡(luò)孤島至少有以下三個缺陷。第一，網(wǎng)絡(luò)孤島并不是雅可比矩陣出現(xiàn)奇異的唯一原因；第二，即便是一個分裂的網(wǎng)絡(luò)，只要孤島中存在平衡母線，潮流問題也是可以解決的；第三，拓樸論上的方法，不論網(wǎng)絡(luò)是否連通，在潮流計算前都被執(zhí)行，比較費時。

【2】中方法，克服了上述缺陷只需對分解后的雅可比矩陣進(jìn)行判斷，如果奇異，僅需對分解后的雅可比矩陣進(jìn)行回代運算，計算列相關(guān)系數(shù)，判斷網(wǎng)絡(luò)孤島。但在該文中，用NM方法比用FD方法速度慢得多。

3.基本原理

A是n×n階矩陣，無論A是否奇異，都可經(jīng)過如下規(guī)格化、消去過程，分解成LDU的形式：

由式(1a)、(1b)可明顯看出：

當(dāng)aii＝0時，規(guī)格化、消去過程不能進(jìn)行下去。對此，作如下處理：

（i）如果 aik＝0(k＞i)，就繞過此行繼續(xù)進(jìn)行分解過程。

（ii）如果aik(k＞i)不全是零，就推遲此行的規(guī)格化、消去過程。

A矩陣經(jīng)過(1a)、(1b)式的運算后，可表示為：A=LDU=LU*=L*U

其中：L是n×n階下三角矩陣，對角元素全為1；

U是n×n階上三角矩陣，對角元素全為1；

D是n×n階對角矩陣。

由線性代數(shù)知識，可引出如下定理：

定理一 矩陣奇異當(dāng)且僅當(dāng)矩陣分解后，(2a)或(2b)式中一個成立：

即：U*中有一零行或L*中有一零列，那么矩陣奇異。

由于U*中有一零行或L*中有一零列，則│U*│=0 或│L*│=0

所以，│A│=0，矩陣奇異。

充分性：矩陣A奇異，那么│A│=0

由 (3)式可得：│D│=0由于D是對角矩陣，因此，至少有一對角元素為0。

因為U*=DU，L*=LD

所以(2a)或(2b)式有一個成立，即U*中有一零行或L*中有一零列。

U*中行為零，這是行相關(guān)情況；L*中列為零，這是列相關(guān)情況。

A矩陣奇異，那么A矩陣行向量、列向量線性相關(guān)，即:

其中，ri和ci分別是A矩陣的行向量和列向量，δi和ηi是不全為零的系數(shù)。

另一個有用的結(jié)論在下面給出：

推論一 當(dāng)行相關(guān)或列相關(guān)發(fā)生時，即(4a)或(4b)式成立時，對應(yīng)最后一個不為零的δi和ηi是U*的零行或L*的零列。

證明:設(shè)rk和ck是最后一個δk≠0（ηk≠0）對應(yīng)的行或列。顯然，由前k-1行（列）向量確定的向量空間的維數(shù)不因增加第k行（列）而增加。因為行（列）空間的維數(shù)等于U*(或 L*)中非零行（列）的個數(shù)，這可推出U*(L*)中第k行（列）必是一個零行（列）。

4.網(wǎng)絡(luò)孤島的識別方法

4.1 原理

系統(tǒng)中若存在孤立節(jié)點，在形成導(dǎo)納矩陣就可檢測出，因為孤立節(jié)點在導(dǎo)納矩陣中所在的行和列全是零。因此，在本文中，不考慮孤立節(jié)點的情況。由于平衡節(jié)點不參與雅可比矩陣的運算，因此，在H矩陣中，它所對應(yīng)的行和列全為零，在判斷奇異性和列相關(guān)時，要排除這種情況。

潮流方程是依靠流經(jīng)線路及變壓器產(chǎn)生電壓、相角差建立的。由牛頓－拉夫遜潮流可知，如果一個網(wǎng)絡(luò)由至少一個分離不含平衡節(jié)點的孤島組成時，必有如下結(jié)論:

其中：Pi、Qi是 i母線的有功和無功，θj是 j母線的電壓相角，s是組成孤島的那一組母線。

這一結(jié)論不僅適用于經(jīng)典牛拉法，也適用于P-Q分解法，對于P-Q分解法，該結(jié)論 只適用于實數(shù)雅可比矩陣。

潮流雅可比矩陣計算一個有用的結(jié)論下面給出：

引理 潮流計算中，如果雅可比矩陣的子矩陣H奇異，那么，雅可比矩陣奇異。

證明:雅可比矩陣可表示為如下分塊形式：

設(shè)該潮流計算是n節(jié)點系統(tǒng)。

其中：ck1是H矩陣的列向量，ηk是相關(guān)系數(shù)。由潮流雅可比矩陣元素計算可知：

對同一節(jié)點，H元素和J元素的計算具有完全相似的表達(dá)式，因此，J矩陣的各個列向量也應(yīng)滿足(6)式，即：

其中：ck2是J矩陣的列向量，ηk是相關(guān)系數(shù)。

所以，雅可比矩陣奇異。

由3可知：H矩陣也可經(jīng)規(guī)格化、消去過程分解成LDU的形式，但這里要說明的是，在分解過程中，當(dāng) aii=0，aik(k＞i)不全是零時，由于H矩陣對角元素所在的行或列對應(yīng)一個節(jié)點，因此，推遲消去過程中，對角元素始終還是對角元素，基于這種情況，可按如下方法進(jìn)行推遲消去過程；如果aik(k＞i)≠0，那么交換H矩陣的第k行和第i行、第k列和第i列，然后繼續(xù)進(jìn)行。

根據(jù)3的結(jié)論，網(wǎng)絡(luò)分裂的發(fā)生產(chǎn)生列相關(guān)性問題，第k列為零列是與孤島中最后一母線相聯(lián)系的，因為母線k與母線k＋1，……，n不相聯(lián)系。

監(jiān)測孤島網(wǎng)絡(luò)的充分條件下面給出：

定理二 如果H矩陣的某一列如k列與它前面的列線性相關(guān)，那么(8)且ηi=0或-1（ηi不全為0），該網(wǎng)絡(luò)不含有平衡節(jié)點或至少存在一個無平衡節(jié)點的孤島。證明:H矩陣任一行元素的表達(dá)式為：

初次計算H矩陣各元素時：θij=0，(9a)、(9b)變?yōu)椋?/p>

由于H矩陣前k列線性相關(guān)，有：

由 (10a)、(10b)可明顯看出：ηi=0或-1（ηi不全為0），由式(8)和式(5)可知，該網(wǎng)絡(luò)不含有平衡節(jié)點或者至少存在一個無平衡節(jié)點的孤島。

下面給出一個用于識別母線是否屬于同一孤島的簡單算法：

推論二 與定理二相同條件下，一個孤島是由所有ηj=-1的j母線和k母線組成。由以上論述可知：定理一和推論一是由線性代數(shù)推出的一般結(jié)論，是孤島檢測的理論基礎(chǔ)；定理二和引理適用于潮流計算孤島檢測的基本原理；推論二給出了孤島檢測的算法。

4.2 檢測網(wǎng)絡(luò)孤島的算法

（1）分解H矩陣，進(jìn)行奇異性判斷。如果矩陣非奇異，直接進(jìn)行潮流計算，否則，轉(zhuǎn)入（2）。（2）判斷列相關(guān)情況，由式（8）求出 ηi。（3）對列相關(guān)系數(shù)進(jìn)行檢測，判斷網(wǎng)絡(luò)孤島。

如果列相關(guān)系數(shù)全為-1，系統(tǒng)沒有解列，只是沒有平衡節(jié)點；如果列相關(guān)系數(shù)全為0和-1，系統(tǒng)解列，相關(guān)系數(shù)為-1的屬于同一孤島；如果存在不是0和-1的相關(guān)系數(shù)，輸出引起H矩陣奇異的列號。

結(jié)束語：本文在參考文獻(xiàn)【2】的基礎(chǔ)上,提出了一種通過H矩陣奇異性來探測網(wǎng)絡(luò)孤島的更為簡單有效的方法。即：對分解后的H矩陣進(jìn)行判斷、計算列相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而判斷網(wǎng)絡(luò)孤島。

參考文獻(xiàn)

【1】西安交通大學(xué)等：電力系統(tǒng)計算，水利電力出版社，1978年；

【2】M.montagna,G.P.Granelli：Detection of Jacobian Singcdar and network Islanding in power flow compritations IEE Proc-gener.Jransin.Distrob vol.142.NO.6.November.1995；

【3】張伯明、陳壽孫：高等電力網(wǎng)絡(luò)分析，清華大學(xué)出版社，1996年。