花文華，陳興林

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱 150001)

0 引言

近年來，微分對策理論在飛行器姿態(tài)控制[1]、威脅規(guī)避[2]、火力分配[3]，目標攔截[4]等方面得到了較為廣泛的研究。在目標攔截中，由于目標的獨立性，其機動策略一般是無法預測的。因此，將攔截情形定義為最優(yōu)控制問題并不合適[5]，而對于微分對策雙邊優(yōu)化問題而言，雙方都是獨立控制的，一方要求性能指標的最大化，而另一方要求性能指標的最小化。

文獻[6]假設目標是靜止的，給出了一種具有終端碰撞角度約束且適用于任意階控制導彈的最優(yōu)制導律。文獻[7]考慮任意階導彈機動動態(tài)，給出了一種滿足終端角度約束的微分對策制導律，但在具體推導過程中，為得到解析解，假設攔截導彈和目標具有理想機動動態(tài)，使得最終結果并不適用于任意階控制的攔截導彈和目標的情形。本文基于微分對策雙邊優(yōu)化理論，給出了一種可適用于具有任意階控制的攔截導彈和目標的一般形式微分對策制導律。首先，對所要研究的問題進行描述和建模，給出任意階控制的攔截導彈和目標的狀態(tài)方程;然后，進行一般形式微分對策制導律的推導，給出解析解;針對一類具有一階正當傳遞函數(shù)的攔截導彈，進行制導律的驗證和仿真，給出該情形下的制導增益和對策空間分析。

1 問題描述及建模

制導末端的彈目運動關系如圖1所示，X軸沿初始視線方向，下標P和E分別對應攔截導彈和目標的相關狀態(tài)，y表示攔截導彈和目標相對于初始視線方向的位移?；谙率黾僭O進行問題分析:

(1)攔截導彈和目標可近似為具有線性動態(tài)特性的質點，并可沿初始視線方向進行線性化;

(2)攔截導彈和目標速度大小不變，導彈機動能力大于目標。

圖1 平面彈目運動關系Fig.1 Planar engagement geometry

基于圖1和假設(1)，攔截導彈和目標相對運動關系可表示為

n階導彈機動動態(tài)為

式中aP為導彈加速度;pP為其余的(n－1)個狀態(tài)變量;a1和b1為標量;a21，aT12和b2為(n－1)×1的向量;a22為(n－1)×(n－1)的矩陣。

參考n階導彈機動動態(tài)定義，m階目標機動動態(tài)可表示為

則系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為

基于假設(1)和(2)，攔截導彈飛行時間為

式中r0為彈目初始距離;vc為接近速度，約為vP+vE。

待飛時間可表示為

2 微分對策制導律推導

定義線性二次型性能指標

其中，G，R，Q為加權設計參數(shù)，R＞0，Q＞0，G=diag(g00 0 0 0 0)，g0→∞表示零脫靶量攔截情形，脫靶量趨于零，g0＜∞時脫靶量為非零的有限值;Q反映了目標相對于導彈的機動能力，當假設目標具有較強的機動能力時，Q取較小值，Q→∞則表示對非機動目標攔截的情形，由假設(2)，Q/R＞1。

結合式(7)，構造哈密頓(Hamiltonian)函數(shù):

式中 p為待定的協(xié)態(tài)向量。

由協(xié)態(tài)方程可得

其中，Φ為相應于系統(tǒng)狀態(tài)式(4)的轉移矩陣，結合橫截條件，則有

由上述條件，可得攔截導彈和目標的最優(yōu)控制為

將式(12)和式(13)代入式(4)，并從t～tf進行積分，可得

定義 D=[1 0 0 0 0 0]，結合式(4)并應用拉氏反變換，可得

代入式(14)，可得

對于這一雙邊優(yōu)化問題，z(t)表示零效脫靶量，對應于攔截導彈和目標由給定的時間t起不施加任何控制，以該瞬時參數(shù)飛行，至命中所產生的脫靶量。

將式(18)代入式(12)和式(13)，則一般形式最優(yōu)制導策略可表示為

式中NP和NE分別為攔截導彈和目標制導增益。

式中 sat()為飽和函數(shù)。

3 算例

3.1 制導律推導

攔截導彈機動動態(tài)采用分子分母同為一階(biproper)的傳遞函數(shù)表示:

數(shù)字出版產業(yè)目前仍然存在著一些問題，例如，數(shù)字出版物的模式單一、盈利相對較少，品牌建設力量不足，數(shù)字出版物的侵權問題等。

式中d表示直接控制部分，d＞0時系統(tǒng)是最小相位，d＜0時系統(tǒng)是非最小相位;τP為導彈機動時間常數(shù)。

假設目標具有一階機動動態(tài)特性:

式中 τE為目標機動時間常數(shù)。

為便于分析問題，定義如下無量綱變量:

目標與攔截導彈機動時間常數(shù)比:

tg0對τP的歸一化:

基于高階控制導彈和目標一般形式最優(yōu)制導策略式(21)和式(22)，該類型攔截導彈和目標的最優(yōu)制導策略可表示為

3.2 制導增益分析

當tg0→0時:

對于零脫靶量攔截情形，g0→∞，NP1與攔截導彈自動駕駛儀直接控制部分成反比。由于目標具有一階機動動態(tài)，目標制導增益NE1趨于零。攔截導彈和目標對應于不同g0值的制導增益變化曲線如圖2所示。

圖2 制導增益 NP1、NE1(d=0.1，R=1，Q=2，ε =1)Fig.2 Guidance gains NP1 and NE1(d=0.1，R=1，Q=2，ε =1)

3.3 對策空間分析

將式(36)兩邊微分，并代入式(31)和(32)可得

假設初始條件已知，求解z1(t)，可表示為

當g0＜∞時，z1(t)是一個與初始條件相關的非零值:

較大的g0值有助于目標的攔截，但也會增加導彈在攔截末端的機動性能要求，如圖2(a)所示。隨著g0的不斷增大，導彈制導末端增益隨之增大。g0體現(xiàn)了導彈機動性能與目標攔截要求間的設計折中。

則存在共軛點。對于微分對策雙方優(yōu)化問題，共軛點不存在的充分條件是存在鞍點解，而鞍點解當且僅當系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)所對應的Riccati微分方程的解P(t)是有限時才存在[8]:

其中，P(tf)=G。而當且僅當制導增益有界時，P(t)才能保持是有限的[9]。進一步由式(47)，可得

由式(39)知，φ(d，η)≥0，f(d，η)是單調增加的，式(49)分母在處取得最大值，而當ε不斷增加時，項ε3增加，項 φ(0，τ)dτ減少，因此Q存在最大值。圖3為ε∈[0，1]范圍內存在共軛時的Q最大值變化曲線，此時目標具有較大的機動動態(tài)優(yōu)勢。如圖3所示，當近似ε＞0.69時，系統(tǒng)不存在共軛點，且當坐標點(ε，Q)位于曲線上方時，同樣也不存在共軛點，如(ε =0.5，Q=2)。

圖3 Q最大值隨 ε變化曲線(g0→∞，d=0.1，R=1)Fig.3 Relationship between themaximum Q and ε(g0→∞，d=0.1，R=1)

圖4(a)為不存在共軛點時的攔截對策空間，對策值收斂到零。圖4(b)為存在偶共軛點[10]時的攔截對策空間，該共軛點為對應Q取得最大值時的點，此時式(34)對應的Riccati微分方程的解在該共軛點兩邊是半正定的，屬于鞍點解的特殊情況。圖4(c)為存在一般共軛點時的攔截對策空間。

可見，只有當近似θ＜0.68時，才存在最優(yōu)彈道使得對策值收斂到零。因此，在目標和攔截導彈機動時間常數(shù)比一定的情況下，為實現(xiàn)導彈在整個待飛時間段內不出現(xiàn)共軛點，導彈應具有足夠的機動性能，即Q/R足夠大。為了保證系統(tǒng)不出現(xiàn)共軛點，除了選取適當?shù)膮?shù)外，結合式(44)，還可通過取有限的g0值實現(xiàn)，即有限脫靶量情形。圖5為g0取有限值時，對于不同初始條件的脫靶量曲線，為保證鞍點解的存在，系統(tǒng)性能被折中。

圖4 攔截對策空間Fig.4 Intercept game space

4 結束語

基于微分對策雙邊優(yōu)化理論，給出了一種可適用于具有任意階控制的攔截導彈和目標的一般形式線性二次型微分對策制導律。針對一類具有一階正當傳遞函數(shù)的攔截導彈進行了制導律的推導，給出了解析表達式，并對其制導增益和對策空間進行了分析，在目標和攔截導彈機動時間常數(shù)比一定時，為實現(xiàn)對目標的零脫靶量攔截，攔截導彈應保證具有足夠的機動優(yōu)勢。同時，仿真結果也驗證了該一般形式微分對策制導律。由于只針對彈目相對質心運動模型進行了研究，未就攔截導彈姿態(tài)控制回路對制導回路的影響加以考慮，且該部分也屬于集成制導與控制的研究范疇，將作為后續(xù)基于微分對策制導理論研究的重點。

圖5 有限脫靶量對策空間(g0=2 000，d=0.1，R=1，ε =0.5，Q=1.5)Fig.5 Finitem iss distance game space

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