翟高鵬，花向紅，劉金標，趙言

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢 430079；3.武漢市勘測設(shè)計研究院，湖北武漢 430022)

基于逐步回歸的GPS高程擬合方法研究

翟高鵬1，2?，花向紅1，2，劉金標3，趙言1，2

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢 430079； 2.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢 430079；3.武漢市勘測設(shè)計研究院，湖北武漢 430022)

介紹基于逐步回歸的GPS高程擬合方法原理和實現(xiàn)步驟，并通過SAS統(tǒng)計軟件計算實現(xiàn)。通過實例計算，并與二次曲面擬合模型結(jié)果進行了比較，驗證了方法的正確性。

逐步回歸；GPS高程；曲面擬合；顯著性檢驗

1 引 言

GPS測量具有速度快、精度高、全天候和不要求地面通視等特點。它不僅能獲取平面位置，而且能得到高精度的大地高[1]。但GPS測定的大地高是以WGS－84橢球面為基準面的，它與我國采用的以似大地水準面為基準面的正常高系統(tǒng)不一致。隨著社會發(fā)展需要，無論是區(qū)域似大地水準面精化或在實際工程應(yīng)用中，將GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高都是非常必要的。

目前解決GPS高程轉(zhuǎn)換問題的方法主要有兩種:一是用地球重力場模型直接求高程異常ζ，但該方法需要足夠多且精度足夠的重力測量資料，從我國現(xiàn)有的重力資料來看難以滿足現(xiàn)實需要。第二種方法是用數(shù)學(xué)模型擬合的方法，也是最常用的方法。該方法是綜合利用GPS測量和水準測量的資料，獲得部分GPS點的高程異常值，然后用一個函數(shù)模型來模擬該區(qū)域的高程異常曲面，最后通過內(nèi)插方法求解區(qū)域內(nèi)任意一點的高程異常。求得了高程異常，再由大地高與正常高的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可得GPS點的正常高。根據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型的不同，又有加權(quán)平均法、多面函數(shù)法、曲面擬合等方法[2，3]。本文是在一般多次曲面擬合法基礎(chǔ)上，提出基于逐步回歸的GPS高程多次曲面擬合法，通過與一般多次曲面擬合結(jié)果的對比分析，得到一些有益結(jié)論。

2 基于逐步回歸的GPS高程擬合

2.1 方法原理

在一定范圍內(nèi)，高程異常ζ可以看做是平面坐標x，y或大地坐標B、L的函數(shù)，多次曲面擬合法的模型為:

其中ε為隨機誤差。函數(shù)f(x，y，xy…)中的每一項看做是因變量ζ所對應(yīng)函數(shù)的自變量。多次曲面擬合模型是把x，y，xy…(B，L，BL…)這些自變量全部考慮進行建模分析，而逐步回歸法的思想是先選入最顯著的因子，建立單因子擬合模型，然后再對自變量進行一個一個地引入，引入變量的條件是其偏回歸平方和經(jīng)檢驗是顯著的。每引入一個新變量后，對已選入的變量還要進行逐個檢驗，將不再顯著的變量剔除，從而保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的。這就是逐步回歸的方法[4]。

2.2 方法實現(xiàn)步驟

基于逐步回歸的GPS高程擬合方法的步驟，以多次曲面擬合為例如下:

假設(shè)有n組GPS大地高與水準聯(lián)測點數(shù)據(jù)，已引入模型的自變量因子為x，y，函數(shù)模型此時為:

變?yōu)?

增加一個自變量為xy，相應(yīng)的資料向量為xyn×1，式(3)寫為:

式(3)與式(4)的差別僅在于自變量的個數(shù)不同，因而變量的個數(shù)以及觀測資料都沒有改變。要確定變量xy是否進入變量子集，只需檢驗假設(shè):

檢驗統(tǒng)計量為:

其中k為式(3)中的自變量個數(shù)，如果經(jīng)檢驗假設(shè)H0∶a3＝0被接受，則變量不能入選；若H0∶a3＝0被拒絕，則變量xy應(yīng)入選。

每引入一個新變量后，還要對已選入的變量進行逐個檢驗，將不顯著的變量剔除，從而保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的。本文假設(shè)經(jīng)上步假設(shè)檢驗后自變量xy入選，下面要考察x，y，xy，看其中是否有變量需要被剔除，不妨先考察x?？疾斓牟襟E與引入變量的步驟類似，只需要把變量引入步驟中的xy項與x項互換，構(gòu)造出如式(6)的統(tǒng)計檢驗量，根據(jù)設(shè)定的顯著性水平對被檢驗項進行剔除或保留。

按以上方法選入變量與剔除變量，經(jīng)過若干步驟，直到多次曲面擬合模型中所有的變量因子全部是顯著因子為止。

3 實例分析

3.1 算例一

結(jié)合工程應(yīng)用需求，采用SAS統(tǒng)計軟件，實現(xiàn)了基于逐步回歸的GPS高程擬合方法。采用某沿江地形平緩區(qū)域的GPS控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)，該網(wǎng)有無粗差同精度的水準點17個。平均邊長約1 km，區(qū)域面積約10 km2。其坐標和大地高為國家GPS網(wǎng)B級要求施測、正常高為二等水準測量施測[3]。測量點的點位分布如圖1所示。

圖1 某沿江地形平緩地區(qū)的GPS控制網(wǎng)

通過軟件計算，并與常規(guī)的二次曲面擬合模型結(jié)果進行了比較。其結(jié)果如下:基于逐步回歸的GPS高程擬合模型(引入與剔除因子的顯著性水平α均設(shè)為0.05)為:

二次曲面擬合模型為:

計算時，為了考察兩種方法的擬合精度，將2、3、8、20、21五個點作為外部檢核點不參與擬合。分別根據(jù)模型(7)、(8)進行內(nèi)插并求得檢核點的高程異常，計算了擬合值的殘差和精度，如表1所示。

由表1可以看出:二次曲面擬合模型與逐步回歸模型都達到了比較高的精度，數(shù)值上逐步回歸精度略高一些，但總體而言沒有顯著的差別。說明該區(qū)域可以用曲面模型來擬合高程異常，解決GPS大地高與正常高的轉(zhuǎn)化問題。

檢核點高程異常擬合殘差及精度 表1

3.2 算例二

本文還選取了《莆田市高精度三維控制網(wǎng)的建立及似大地水準面精化工程》的部分測量數(shù)據(jù)進行了擬合實驗分析。所選數(shù)據(jù)為11個分布比較均勻的GPS與水準聯(lián)測點，并且分布在兩個海島上，已知點覆蓋面積約200 km2[4]。本次建模是用經(jīng)緯度作為自變量，其計算過程及設(shè)定的顯著性指標均與算例一相同。分別采用逐步回歸方法與二次曲面擬合模型進行運算，得到的逐步回歸擬合模型為:

二次曲面擬合模型為:

其中，△B、△L為點的大地坐標與該區(qū)域點的平均緯度和平均經(jīng)度之差。將D001、D003、D004、496P、D133作為外部檢核點，不參與擬合。分別根據(jù)模型(9)、(10)進行內(nèi)插并求得檢核點的高程異常，計算了擬合值的殘差和精度，如表2所示。

由表2可以看出:通過逐步回歸的算法最后得到的是一個平面模型，但該模型相對于二次曲面擬合模型精度有了明顯的提高。說明對該區(qū)域采用基于逐步回歸的GPS高程多次曲面擬合模型有助于提高一般多次曲面擬合模型的精度。

檢核點高程異常擬合殘差及精度 表2

4 結(jié) 論

在多次曲面擬合中的自變量之間可能會相互影響，或者說存在線性相關(guān)。有些自變量單獨看可能對因變量起作用，但與其他變量放在一起其作用可能就會被其他變量所代替，使其在擬合中的作用微不足道。再或者有些自變量對于因變量沒有顯著作用?；谥鸩交貧w的多次曲面擬合模型在因子選取上對參選因子的顯著性進行了檢驗，保證了入選因子在模型中都是顯著的。計算表明，基于逐步回歸的GPS高程多次曲面擬合模型具有較好的擬合效果，當擬合范圍比較大時，采用逐步回歸方法能明顯提高多次曲面擬合模型的精度。

[1] 張正祿，鄧勇，羅長林等.利用GPS精化區(qū)域似大地水準面[J].大地測量與地球動力學(xué)，2006(11):14～17

[2] 高偉，徐紹銓.GPS高程分區(qū)擬合轉(zhuǎn)換正常高的研究[J].武漢大學(xué)學(xué)報信息科學(xué)版，2004(10):908～911

[3] 胡伍生，高成發(fā).GPS測量原理及其應(yīng)用[M].北京:人民交通出版社，2002

[4] 花向紅.跨海大橋的測量基準與監(jiān)測技術(shù)研究[D].武漢大學(xué)博士論文，2006

[5] 王黎明，陳穎，楊楠.應(yīng)用回歸分析[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2008

[6] 徐紹銓，張海華，楊志強等.GPS測量原理及應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2006

Research on GPS Elevation Fitting Methods Based on Stepwise Regression

Zhai Gaopeng1，2，Hua Xianghong1，2，Liu Jinbiao3，Zhao Yan1，2
(1.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.Hazard Monitoring and Prevention Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079，China；3.Wuhan Geotechnical Engineering and Surveying Institute，Wuhan 430022，China)

The article introduced the principle of GPS elevation fitting method based on stepwise regression，which is realized by SAS software.Through calculation，and be compared with quadric surface fitting model results，the correctness of the method is validated.

stepwise regression；GPS elevation；fitting of surface；significance test

2011—06—05

翟高鵬(1985—)，男，碩士研究生，主要研究精密工程測量與工程變形監(jiān)測等。

國家自然科學(xué)基金資助項目(40901214)

1672－8262(2011)05－84－03

P228.43

A