陳云，黃振

基于到達角誤差約束的穩(wěn)健寬帶波束合成算法?

陳云，黃振

（清華大學航天航空學院，北京100084）

針對陣列天線存在系統(tǒng)誤差的情況，在Frost結構的基礎上提出了一種改進的穩(wěn)健寬帶波束合成算法。該算法以信號到達角（DOA）誤差為約束條件合成期望信號，并把濾波器優(yōu)化設計轉化為凸優(yōu)化問題，使用內(nèi)點迭代法有效解決，進一步使得期望的信號響應具有一定的波動性，從而使得更多的自由度應用在干擾和噪聲的抑制上，達到優(yōu)化加權制的目的。仿真結果表明，當系統(tǒng)存在一定的DOA誤差、幅相誤差和位置誤差時，所提出的寬帶波束合成算法獲得的信干噪比（SINR）比worstcase約束算法提高約1～3 dB。

陣列天線；穩(wěn)健寬帶波束合成；Frost結構；DOA誤差約束

1 引言

波束合成是一種空域濾波，它可以應用在雷達、聲納、無線通信等系統(tǒng)中，其主要作用是接收特定方向的信號，并且削弱其它方向的干擾。在文獻［1，2］中，穩(wěn)健的復數(shù)加權算法能夠?qū)崿F(xiàn)窄帶信號的波束合成。但是隨著接收信號的帶寬越來越大，天線陣接收的信號之間不滿足相位差的關系，如果直接使用復數(shù)加權方法，信號可能會發(fā)生畸變。相對復數(shù)加權，F(xiàn)rost［3，4］結構是針對寬帶信號的波束合成器。在文獻［3］中，假設期望信號方向為線性陣元的法線方向，這樣的假設在實際當中往往不成立。后來，有作者提出了對Frost方法的修正方法［5］，其重要思想是增大波束主瓣寬度，從而減小寬帶波束合成方法對于信號達到方向的敏感性。但是在實際系統(tǒng)中，往往存在DOA誤差、陣元幅相不一致、互耦誤差、位置誤差等多種系統(tǒng)誤差，從而導致陣列響應失配。在系統(tǒng)誤差較大時文獻［5］的方法可能會失去作用。

在Frost結構的基礎上，穩(wěn)健的寬帶波束合成算法是研究的熱點［6，7］。一種穩(wěn)健的寬帶波束合成算法是帶有對角加載的LCMV算法［6］。但是該算法存在加載量不確定，并且算法無法適應信號SNR較高的情形。另一種典型的穩(wěn)健波束合成算法是worst

-case約束算法［7］，這種算法可以提高波束合成的穩(wěn)健性。但是，當期望信號SNR較高時，該算法對噪聲的抑制不夠大，導致高SNR時合成信號的信干噪比（SINR）相對SNR提高程度不夠大。針對這種情況，本文提出了一種改進的穩(wěn)健寬帶波束合成算法，該算法的設計原理是增加DOA誤差約束，使得期望信號在一定方向內(nèi)的幅度響應大于1，并且使信號響應具有一定的波動，從而使得更多的自由度［8］來抑制干擾和噪聲，達到提高波束合成SINR的目的。

2 Frost波束合成器的結構和原理

在M個均勻線陣中，陣元接收信號向量為

式中，s（t）是期望的信號，i（t）是干擾，n（t）是噪聲。假定信號與陣元法線方向夾角為θ，則陣元m相對于參考陣元的延遲為

在式（2）條件下，第m個陣元接收信號為

假設信號頻段在Ku頻段，所以一般說來，信號載頻f0＞＞B，故s（t-τm）≈s（t）成立［9］。在這種條件下，式（1）離散化，得到

其中，a為陣列響應向量，其表達式為

當B＞0.1 f0時，此時信號為寬帶信號，式（3）不成立，此時的復數(shù)加權方法如果直接應用于寬帶波束合成，信號會產(chǎn)生畸變。對于寬帶信號，一般采用如圖1所示的Frost結構來實現(xiàn)寬帶波束合成［3-5］。

Frost結構由兩部分組成：一部分是延時補償，可以通過采樣周期的整數(shù)倍補償或者通過分數(shù)時延濾波器來實現(xiàn)，目的是為了疊加期望信號以最大程度地獲得期望信號的能量；另一部分是分數(shù)時延后面的加權器，其作用是抑制噪聲和干擾。

設計分數(shù)時延濾波器時，在第m個陣元，其時間延遲為τm（θ），為了保證補償器延時為正，補償器一般延時為

式中，m=1，2，…，M；T0=M*d／c。

設計延時補償器，使其群時延滿足式（5）就可以得到分數(shù)時延濾波器［9，10］。在延時補償器和加權器的共同作用下，F(xiàn)rost結構的波束合成器的響應為

其中：

式中，?表示克羅內(nèi)克積；m=1，2，…，M；l=1，2，…，L。

3 增加DOA誤差約束的穩(wěn)健寬帶波束合成

對于圖1的波束合成器，為了使得信號全通需要期望方向信號幅度響應為1［3］，這種算法便是LCMV算法：

在延時補償精確的條件下，可以使得加權器系數(shù)某一列和為1。這樣式（7）的頻域表達式可以轉化為時域表達式：

式中，IL是單位陣，1M是M個1組成的列向量；C= IL?1TM，g=［1，…，0］T。解上式，可以得到最優(yōu)解：

由于系統(tǒng)誤差的存在，需要穩(wěn)健的波束合成算法。一種加強寬度波束合成魯棒性的算法是對角加載［6］。帶有對角加載的LCMV算法的優(yōu)化函數(shù)為

解上式，可以得到最優(yōu)解：

這樣在懲罰因子γ的作用下，波束合成器對于白噪聲的抑制能力加強，對于干擾的抑制能力減弱，這樣當系統(tǒng)誤差存在時，對于期望信號的抑制就會減弱，從而增強寬帶波束合成的穩(wěn)健性。對角加載雖然可以使得寬帶波束合成的穩(wěn)健性增強，但卻存在加載量不確定的問題。

在實際中由于測向獲得的DOA有一定的誤差，同時，當接收的信號是運動目標時，波束合成需要對DOA誤差有一定的穩(wěn)健性［8，11］?；谶@個原理，本文設計了DOA約束下的寬帶波束合成算法。

信號的DOA為θ，此時Δθ為到達角的變化范圍。對于陣列響應矢量，由泰勒展開得到：

其中，m=［0，1，…，M-1］T。代入式（6），可以得到：D（f）a（f，θ+Δθ）=

使期望的信號獲最大程度通過，則有：

結合式（14）和式（15）：

利用三角不等式得到：

為了使式（17）恒成立，只需要

進一步，可以把式（18）轉化為

同樣，為了抑制干擾和白噪聲，要使波束合成后的方差最小。這樣穩(wěn)健的自適應波束合成問題可以轉化為

對于式（20），第二個約束不是凸約束，為了使其轉化為凸問題，可以使加權器系數(shù)對稱［7］，從而使式（20）變?yōu)?/p>

其中，Lmid=（L+1）／2，B∈RL×Lmid，g（f）∈RLmid×1且兩者滿足式（22）。

這樣，式（21）的第二個約束變?yōu)橥辜s束，式（21）完全轉化為一個凸問題，可以通過典型的內(nèi)點迭代算法實現(xiàn)。

在信號到達方向內(nèi)，可使期望信號的響應具有一定的波動性，從而可以把更多的自由度［8］用在對干擾和噪聲的抑制上，這時需要：

針對worst-case約束算法在高SNR時合成SINR提高相對較低的現(xiàn)象，為了加大對于噪聲的抑制，可以在式（21）的基礎上加懲罰因子βwTw，這樣其變?yōu)?/p>

綜合以上思路，得到如下新算法：計算協(xié)方差矩陣Rxx，給α和β賦初值，然后按照如下步驟執(zhí)行算法：

（1）更新協(xié)方差矩陣Rxx=Rxx+βI；

（2）根據(jù)式式（21）計算w；

（3）計算式（23）是否成立，若成立，算法結束；若不成立，β=αβ，跳到步驟1。

4 仿真及分析

仿真環(huán)境如下：在Ku頻段，陣元M=10的等距線，加權器階數(shù)L=9，載頻f0=12 GHz，陣元距離d =0.5λ0，帶寬B=2 GHz。信干比SIR=-20 dB。進行100次蒙特卡洛仿真。取α=β=4。其中，4種算法分別是線性約束算法（LCMV）［3-5］、帶有對角加載的線性約束算法［3，6］（加載量γ=11.8 dB）、worst -case約束算法［7］和本文算法。

圖2是在SIR=-20 dB時，DOA存在4°誤差條件下，4種算法合成性能隨SNR的變化曲線。從圖2可以看出LCMV算法穩(wěn)健性最差，這是由于期望信號實際的DOA與理想DOA存在誤差，此時LCMV的波束合成把期望信號當作干擾進行了抑制，從而導致算法合成的SINR降低，且隨著信號能量越強，合成的信號的SINR反而更低。帶有對角加載的LCMV算法在低SNR穩(wěn)健性較好，但是由于加載量過低，導致該算法在SNR較高時，穩(wěn)健性較差；相反，如果加載量過大，合成信號的SINR在低SNR時會比較差。由于考慮了系統(tǒng)誤差的影響，worst-case約束算法和本文算法在整個SNR內(nèi)，穩(wěn)健性相對較好。相比之下，本文算法的合成SINR相對于worst -case提高1～3 dB。

圖3 是相位誤差為±20°、幅度誤差為±2 dB時4種算法下SINR隨SNR變化的曲線。從圖3可以看出，在SIR=-20 dB時，幅度誤差和相位誤差分別為±2 dB和±20°以下，worst-case約束和本文算法在整個SNR內(nèi)穩(wěn)健性相對較好。相比worst-case約束算法，本文算法的合成SINR提高約1～2 dB。

圖4 是陣元相對位置誤差為10%時，4種算法下SINR隨SNR變化的曲線。從圖4可以看出，在SIR=-20 dB條件下，陣元相對位置誤差為10%時，worst-case和本算法在整個SNR內(nèi)穩(wěn)健性好。相比worst-case約束算法，本文算法的合成SINR提高約1～2 dB。

綜合來看，本文提出的算法在存在DOA誤差、幅相誤差、位置誤差時，其性能優(yōu)于LCMV、對角加載的LCMV和worst-case約束。

5 結論

本文提出了一種改進的穩(wěn)健寬帶波束合成算法。為了提高波束合成的穩(wěn)健性，算法增加DOA誤差約束合成期望信號，并使得信號響應有一定的波動，從而使得更多的自由度應用在對噪聲和干擾的抑制。仿真驗證了在系統(tǒng)誤差下，本算法波束合成的SINR相對于LCMV、對角加載的LCMV和worst-case算法的合成的SINR有一定程度的提高，從而使得算法在天線陣的寬帶波束合成上具有一定的實用性。

［1］Vorobyov SA，Gershman A B，Luo Z Q.Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization：A solution to the signalmismatch problem［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（2）：313-324.

［2］Li J，Stoica P，Wang Z.On robust Capon beamforming and diagonal loading［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（7）：1702-1715.

［3］Forst O L III.An algorithm for linearly constrained adaptive processing［J］.Proceedingsof the IEEE，1972，60（8）：926-935.

［4］Barry D Veen，Kevin M Buckley.Beamforming：A Versatile： Approach to Spatial Filtering［J］.IEEE ASSP Magazine，1988，5（2）：4-24.

［5］Er M H，Cantoni A.Derivative constraints for broad-band element space antenna array processors［J］.IEEE Transactions on Acoustic Speech Signal Processing，1983，31（6）：1378-1393.

［6］Cox H，Zeskind RM，Owen M H.Robust adaptive beamforming［J］.IEEE Transactions on Acoustic Speech Signal Processing，1987，35（10）：1365-1376.

［7］Amr El-Keyi，Thia Kirubarajan，Gershman A B.Wideband roubust beanforming based on worst-case performance optimization［C］／／Proceedings of2005 IEEE／SP 13thWorkshop on Statistical Signal Processing.Bordeaux：IEEE，2005：265-270.

［8］Zhu Liang Yu，Meng Hwa Er，Wee Ser.A Novel Adaptive Beamformer Based on Semidefinite Programming（SDP）With Magnitude Response Constraints［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2008，56（5）：1297-1307.

［9］WEIWen，LINing，TANG Jun，PENG Yingning.Broadband Digital Beamforming Based on Fractional Delay in SAR Systems［C］／／Proceedings of the 2nd Asian-Pacific Conference on Synthetic Aperture Radar.Xi′an：IEEE，2009：575-578.

［10］Chien-Cheng Tseng.Design of Variable Fractional Delay for Filter Using Symmetry［J］.IEEE Signal Processing Letters，2005，13（7）：477-480.

［11］Chun-Yang Chen，Vaidyanathan P P.Quadratically Constrained Beamforming Robust AgainstDirection-of-Arrival Mismatch［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55（8）：4139-4150.

CHEN Yun was born in Lanzhou，Gansu Province，in 1984.He received the B.S.degree from Tsinghua University in 2008.He is now a graduate student.His research direction is signal processing.

Email：confucianer＠gmail.com

黃振（1969—），男，重慶人，副研究員，主要研究方向為信號處理。

HUANG Zhen was born in Chongqing，in 1969.He is now an associate research fellow.His research direction is signal processing.

A Robust Broadband Beam form ing Algorithm Under the Constraint of DOA Error

CHEN Yun，HUANG Zhen
（School of Aerospace，Tsinghua University，Beijing 100084，China）

In view of the system errors ofarray antenna，amodified robustbroadband algorithm is designed based on the Froststructure.The basic idea of the algorithm is thatone desired signal is composed under the constraint of direction of arrival（DOA）error，and the optimization of the filters is transformed into a convex optimization problem，which can be effectively solved by interior point iterativemethods.Then the response of desired signal ismade to have some ripple，somore degree of freedom is used to suppress the noise and interference to optimize the coefficientof the filters.Simulation results show that the proposed broadband algorithm improves signal to interference noise ratio（SINR）1～3 dB than the worst-case algorithm.

array antenna；robust broadband beamformer；Frost structure；constraint of DOA error

The National Natural Science Foundation of China（No.60972021）；The National Program on Key Basic Research Project（973 Program）（2008BAH25B03）；The Funds for Creative Research Groups of China（No.61021001）

TN911.7

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.10.012

陳云（1984—），男，甘肅蘭州人，2008年于清華大學獲工學學士學位，現(xiàn)為清華大學航天航空學院碩士研究生，主要研究方向為信號處理；

1001-893X（2011）10-0055-05

2011-04-29；

2011-07-06

國家自然科學基金資助項目（60972021）；國家重點基礎研究發(fā)展規(guī)劃（973計劃）項目（2008BAH25B03）；創(chuàng)新研究群體科學基金項目（61021001）