錢 鋒，王可人，馮 輝，金 虎

（解放軍電子工程學院，合肥230037）

混沌時間序列預測的改進型加權一階局域法?

錢 鋒，王可人，馮 輝，金 虎

（解放軍電子工程學院，合肥230037）

提出了一種用于混沌時間序列預測的改進型加權一階局域法。用衰減系數對分維指數加權一階局域法的向量距離公式進行修正，調節(jié)鄰近點與中心點的相關性，也調節(jié)了同一鄰近點的各個分量和中心點的最后一個分量的關聯(lián)程度。利用該方法對Logistic混沌時間序列進行預測的結果表明，衰減系數取最佳值時，相對于現(xiàn)有算法，該方法可以更精確地預測混沌時間序列。

混沌時間序列；預測模型；加權一階局域法；衰減系數

1 引言

混沌時間序列預測已經成為一個非常重要的研究方向，并在天氣預報、電力負荷預測調度、信號處理、邊坡位移、自動控制、電子對抗等領域中得到了廣泛應用［1-2］。

用相空間重構［3-5］來預測時間序列有多種方法，根據擬合相空間中吸引子的方式可分為全域法和局域法兩種。全域法是將軌跡中的全部點作為擬合對象，找出其規(guī)律，由此預測軌跡的走向。局域法是將相空間軌跡的最后一點作為中心，把離中心點最近的若干軌跡點作為相關點，然后對這些相關點作出擬合，再估計軌跡下一點的走向，最后從預測出的軌跡點的坐標中分離出所需要的預測值。

呂金虎等人［6］提出了用加權一階局域法進行點預測，在電力系統(tǒng)短期負荷預測中有較好的應用。由于引進了權值，加權一階局域法有較好的自適應能力和較高的預測精度，在交通流量預測［7］、諧波電流預測［8］、低壓電力線信道噪聲預測［9］等方面也得到了成功應用。文獻［10］分析了基于歐氏距離局域預測法存在的缺點，以關聯(lián)度代替歐氏距離定義權重，在一定程度上克服了歐氏距離不能完全反映最鄰近點與預測中心點之間關聯(lián)程度的缺點。文獻［9］基于鄰近點的各分量對預測的影響依其時間延遲呈Lyapunov指數衰減的思想，對歐氏距離公式進行修改，提出分維指數加權一階局域法。修正后的距離公式體現(xiàn)了各相點與中心點的相關性，其方法相對于加權一階局域法在預測精度上有明顯提高，而且時間序列的混沌性越強，嵌入維數越大，改進效果越明顯。

本文在文獻［9］的基礎上從修正的向量距離公式中消除最大Lyapunov指數，引入衰減系數β，對具有指數形式的衰減因子進行修正，修正后的向量距離公式能夠更好地體現(xiàn)相點的不同分量對預測的影響程度。通過調節(jié)衰減系數的大小，可以調節(jié)各相點與中心點的相關性，進一步優(yōu)化鄰近點的選取，使得每個鄰近點對應的權值能更好地體現(xiàn)鄰近點對預測的貢獻，進而提高預測性能。通過數值仿真發(fā)現(xiàn)，衰減系數取最佳值βopt時，本文方法的預測效果明顯優(yōu)于文獻［9］的預測效果。另外，本文方法不需要計算最大Lyapunov指數，不僅節(jié)省了計算時間，而且大大減少了計算時所需的存儲空間。

2 算法介紹

加權一階局域法一般包括重構相空間、選取鄰近點、計算預測模型的參數、預測計算4個步驟。

2．1 重構相空間

在重構相空間中，時間延遲τ和嵌入維數m的選取具有十分重要的意義。本文采用互信息法計算時間延遲τ，由G-P算法計算時間序列的關聯(lián)維數d，再由Takens定理選定嵌入維數m，于是時間序列xi（i=1，2，…，N）的相空間可以表示為

式中，t=1，2，…，M；M=N-m( ) -1τ。

2．2 選取鄰近點

設中心點Xl的k個最鄰近點為Xli（i=1，2，…，k），并且到Xl的距離為di，設dm是di中最小值，定義點Xli的權值為

式中，c為參數，一般取c=1。

文獻［9］在文獻［6］方法的基礎上提出分維指數加權一階局域法，用表征混沌系統(tǒng)軌道發(fā)散快慢的最大Lyapunov指數和鄰近點的各維所對應的時間延遲的乘積作為冪，構造一個指數形式的衰減因子對歐氏距離公式進行修改。本文引入衰減系數β替換原向量距離公式中的最大Lyapunov指數λ1，于是向量距離公式修改為

式中，xl+(j-1)τ為中心點Xl的第j個分量，xli+(j-1)τ為第i個鄰近點Xli的第j個分量。

式（3）中的衰減系數β和文獻［9］中修正的向量距離公式中的最大Lyapunov指數相比，不再是一個固定的參數，它的引入使得各相點與中心點的距離相關性可以調節(jié)，也調節(jié)了同一鄰近點的各個分量和中心點的最后一個分量的關聯(lián)程度，進而影響鄰近點的選取，使得每個鄰近點對應的權值能更好地體現(xiàn)鄰近點對預測的貢獻。

2．3 計算預測模型的參數

一階加權局域線性擬合為

式中，m維向量e=(1，1，…，1)T，a和b為擬合所需的實系數，Xli+1是Xli一步演化后的相點。應用加權最小二乘法有：

將上式看作是關于未知數a和b的二元函數，兩邊求偏導并令偏導數為零，得到一個方程組：

解此方程組確定a和b的值。

2．4 預測計算

中心點Xl的一步預測相點Xl+1=a·e+b·Xl，代入a和b的值得到預測模型為

式中，中心點Xl的一步預測向量Xl+1的第m維分量xl+1+(m-1)τ即為時間序列下一時刻的預測值。

3 實驗仿真研究

為了檢驗算法的效果，本文取如下數據進行研究。用Logistic映射x（n+1）=μx（n）［1-x（n）］按照表1分別選取不同參數μ生成4組混沌時間序列［9］，迭代初始值均為0.4，重構相空間后每組數據2 600個相點，前400個相點舍棄，中間2 000個相點構成訓練集，根據公式（3）從中選取距中心點最近的m +1個最鄰近點，最后200個點用來預測，即校驗集。

模型預測性能評價標準采用相對誤差er，其定義為

為了便于分析衰減系數β對預測性能的影響效果，本文在衰減系數β的不同取值情況下，分別計算了4組Logistic映射時間序列的預測相對誤差，得到了如圖1和圖2所示的關系曲線。

在圖1和圖2中，“×”表示衰減系數β=λ1時的預測誤差，“+”表示相對誤差曲線的最低點，此時的衰減系數即最佳值βopt，如表1所示。衰減系數β=0時，本文方法等效為常規(guī)加權一階局域法；衰減系數β=λ1時，本文方法等效為分維指數加權一階局域法?？梢钥闯?，通過適當選擇衰減系數β的取值，可以選取與中心點相關性大的鄰近點，進一步突出預測貢獻大的分量所占的比重，從而提高預測精度。

同時還可以看出，衰減系數最佳值βopt和最大Lyapunov指數之間并不存在某種明確的數學關系。最大Lyapunov指數表示的是系統(tǒng)全體軌道在無窮多步演化條件下的平均發(fā)散程度。最大Lyapunov指數不適合直接使用在式（3）中來衡量鄰近點和中心點的相關性。另外，衰減系數β→+∞時，相對誤差曲線會逐步收斂，此時公式（3）體現(xiàn)的距離相關性幾乎只與相點的最后一個分量有關，其它延遲分量對權值Pi的影響全部被忽略，即舍棄了可供利用的大量有用信息，將不可避免地使得相對誤差趨向某個極限值，而非最佳值。

當衰減系數取βopt時，用本文方法和文獻［9］方法對上述4組數據分別進行預測，相對誤差如表2所示?？梢钥闯?，本文方法的預測效果更好。

4 結論

對混沌時間序列重構相空間后，預測值為預測向量的最后一個分量，它與鄰近點的最后一個分量的相關性最大，與其它延遲分量的相關性隨各分量對應的時間延遲而衰減。仿真研究表明，最大Lyapunov指數不適合直接使用在文獻［9］構造的向量距離公式中衡量鄰近點和中心點的相關性。本文引入衰減系數β，替換其向量距離公式中的最大Lyapunov指數，調節(jié)各鄰近相點與中心點的距離相關性，也調節(jié)了同一鄰近點的各個分量和中心點的最后一個分量的關聯(lián)程度，因此，本文模型可以更精確地預測混沌時間序列。

［1］ Vinay Varadan，Henry Leung，Eloi Bosse.Dynamical model reconstruction and accurate prediction of power-pool time series［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2006，55（1）：327-336.

［2］甘建超，肖先賜.基于相空間鄰域的混沌時間序列自適應預測濾波器（I）線性自適應濾波［J］.物理學報，2003，52（5）：1096-1101.

GAN Jian-chao，XIAO Xian-ci.Adaptive predict-filter of chaotic time series constructed based on the neighborhood in the reconstructed phase space（I）linear adaptive filter［J］.Acta Physica Sinica，2003，52（5）：1096-1101.（in Chinese）

［3］ Takens F Mane.Detecting strange attractors in fluid turbulence［M］.Berlin：Springer，1981.

［4］馬軍海，陳予恕，劉曾榮.動力系統(tǒng)實測數據的非線性混沌模型重構.應用數學和力學，1999，20（11）：1128-1134.

MA Jun-hai，CHEN Yu-shu，LIU Zeng-rong.The nonlinear chaotic model reconstruction for the experimental data obtained from different dynamic system［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1999，20（11）：1128-1134.（in Chinese）

［5］陳國華，馬軍海，盛昭瀚.動力系統(tǒng)實測數據相空間重構的改進方法.東南大學學報，2000，30（1）：16-21.

CHEN Guo-hua，MA Jun-hai，SHENG Zhao-han.A new algorithm of the phase space reconstruction for the data obtained in dynamical systems［J］.Journal of Southeast University（Natural Science Edition），2000，30（1）：16-21.（in Chinese）

［6］呂金虎，張鎖春.加權一階局域法在電力系統(tǒng)短期負荷預測中的應用［J］.控制理論與應用，2002，19（5）：767-770.

LV Jin-hu，ZHANG Suo-chun.Application of addingweight one-rank local-region method in electric power system short-term load forecast［J］.Control Theory and Applications，2002，19（5）：767-770.（in Chinese）

［7］董超俊，劉智勇，邱祖廉.基于混沌理論的交通量實時預測［J］.信息與控制，2004，33（5）：518-522.

DONG Chao-jun，LIU Zhi-yong，QIU Zu-lian.Prediction of traffic flow in real-time based on chaos theory［J］.Information and Control，2004，33（5）：518-522.（in Chinese）

［8］李圣清，周有慶，朱英浩，等.基于加權一階局域理論的綜合電力濾波器諧波電流預測方法［J］.中國電機工程學報，2004，24（6）：19-23.

LI Sheng-qing，ZHOU You-qing，ZHU Ying-hao，et al. Harmonic current prediction method of combined power filter system based on weighted first-order local area theory［J］.Proceedings of the CSEE，2004，24（6）：19-23.（in Chinese）

［9］王振朝，趙晨，張士兵，等.用于混沌時間序列預測的分維指數加權一階局域算法［J］.電測與儀表，2010，47（5）：12-15.

WANG Zhen-chao，ZHAO Chen，ZHANG Shi-bing，et al.Dimension-exponent Adding-weight One-rank Local -region Method for Prediction of Chaotic Time Series［J］. Electrical Measurement＆Instrumentation，2010，47（5）：12 -15.（in Chinese）

［10］岳毅宏，韓文秀，張偉波.基于關聯(lián)度的混沌序列局域加權線性回歸預測法［J］.中國電機工程學報，2004，24（11）：17-20.

YUE Yi-hong，HAN Wen-xiu，ZHANG Wei-bo.Local adding-weight linear regression forecasting method of chaotic series based on degree of incidence［J］.Proceedings of the CSEE，2004，24（11）：17-20.（in Chinese）

QIAN Feng was born in Jiangyan，Jiangsu Province，in 1981. He received the M.S.degree in 2006.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns chaos theory and applications.

Email：qian-fn＠126.com

王可人（1957—），男，江蘇鎮(zhèn)江人，1986年獲碩士學位，現(xiàn)為教授、博士生導師，主要研究方向為現(xiàn)代通信理論與技術、非線性理論與應用；

W ANG Ke-ren was born in Zhenjiang，Jiangsu Province，in 1957.He received the M.S.degree in 1986.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research interests include modern communication theory and techniques，nonlinear theory and applications.

馮輝（1978—），男，山東榮成人，2009年獲博士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為盲信號處理；

FENG Hui was born in Rongcheng，Shandong Province，in 1978.He received the Ph.D.degree in 2009.He is now a lecturer.His research direction is blind signal processing.

金虎（1974—），男，安徽潛山人，2006年獲博士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為信號處理、非線性理論與應用。

JIN Hu was born in Qianshan，Anhui Province，in 1974.He received the Ph.D.degree in 2006.He is now a lecturer.His research interests include blind signal processing，nonlinear theory and applications.

An Improved Adding-weight One-rank Local-region Method for Prediction of Chaotic Time Series

QIAN Feng，WANG Ke-ren，F(xiàn)ENG Hui，JIN Hu
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

This paper proposes an improved adding-weight one-rank local-region method for prediction of chaotic time series.An attenuation coefficient is applied to amend the vector distance formula of the dimension-exponent adding-weight one-rank local-region method.The attenuation coefficient not only adjusts different relevance of each adjacent point and the center point，but also adjusts the correlation between each dimension of the same phase point and the last dimension of the center point.The Logistic chaotic time series are forecasted using the improved method，and simulation results show that the prediction accuracy is improved with the optimal attenuation coefficient in the proposed method compared with the original one.

chaotic time series；prediction model；adding-weight one-rank local-region method；attenuation coefficient

TN914；O415.5

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.05.007

錢鋒（1981—），男，江蘇姜堰人，2006年獲碩士學位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為混沌理論及其應用；

1001-893X（2011）05-0033-04

2011-03-04；

2011-04-06