汪昭

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

超混沌Chen系統(tǒng)周期映射下的廣義同步

汪昭

（常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，江蘇常熟 215500）

研究了超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步化問題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了混沌系統(tǒng)在周期性映射下的廣義同步方法.用理論和數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了該方法.最后討論了各參數(shù)對(duì)同步的影響.

超混沌系統(tǒng)；廣義同步；周期映射

混沌信號(hào)的同步是混沌和非線性理論應(yīng)用于通信工程的核心問題之一.從Pecora和Carroll開創(chuàng)性地提出混沌同步并在電路中實(shí)現(xiàn)以來[1]，因?yàn)榛煦缤竭\(yùn)用廣泛，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視[2].隨著研究的深入，同步概念由最初的精確同步（identical synchronization,簡(jiǎn)稱IS）拓展到了廣義同步（generalized synchronization,簡(jiǎn)稱GS）[3].文獻(xiàn)[4]給出了一類不含平方項(xiàng)混沌系統(tǒng)的精確同步方法.在混沌通信的實(shí)際應(yīng)用中，由于參數(shù)失配和各種失真不可避免，同時(shí)也出于二次加密的需要，廣義同步比精確同步具有更廣泛的應(yīng)用.

廣義同步是混沌系統(tǒng)軌道經(jīng)過二次映射后再進(jìn)行同步的方法.常規(guī)的二次映射有線性映射[5]和非線性映射[6].常見的研究中，映射規(guī)則通常不顯含時(shí)間t.本文以超混沌Chen系統(tǒng)為例，研究了混沌系統(tǒng)的一種特殊含時(shí)映射系統(tǒng)，即周期性函數(shù)映射下的廣義同步方法.

1 廣義同步的定義和響應(yīng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

1.1 廣義同步定義

定義如下兩個(gè)非線性系統(tǒng)：

式（1）和式（2）分別為n階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)，式（1）是一個(gè)典型的混沌或超混沌系統(tǒng).其中xi,yi∈R，X=(x1,x2,x3...xn)T，A為n×n維矩陣，φ(x)是非線性向量函數(shù).

現(xiàn)定義一個(gè)實(shí)數(shù)域上的映射zi(t)=H(xi,t)，且H(xi,t)可微.

若當(dāng)t→∞時(shí)，yi(t)=zi(t)，則可認(rèn)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)成了廣義同步.特殊情況下，若zi(t)=H(xi,t)=xi(t)，為精確同步（IS），所以IS是GS的一種特例.

1.2 超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步

超混沌系統(tǒng)是一類具有四維或四維以上的微分系統(tǒng)，且至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上正Lyapunov指數(shù).2004年，Li等通過設(shè)計(jì)非線性狀態(tài)反饋控制器從Chen系統(tǒng)中得到了超混沌系統(tǒng)[7].超混沌Chen系統(tǒng)的微分方程如下：

當(dāng)參數(shù)a=35,b=3,c=12,d=7，并且0≤r≤0.085時(shí)，該系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=35,b=3, c=12,d=7，且0.085≤r≤0.798時(shí)，該系統(tǒng)表現(xiàn)為超混沌運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a=35,b=3,c=12,d=7，且0.798≤r≤0.90時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng).定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間的映射為zi(t)=H(xi,t).

設(shè)計(jì)一個(gè)響應(yīng)系統(tǒng)Y，滿足Y˙=F(y,x,t).令

可證明（4）式可與（3）式達(dá)成廣義同步.

證明定義廣義同步誤差系數(shù)，用e表示：

顯然V≥0，當(dāng)ki＜0時(shí)，顯然V·≤0，根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定性理論，此時(shí)響應(yīng)系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)混沌同步.證畢.

不失一般性，定義一個(gè)周期映射規(guī)則：H(xi,t)=xisinωt.由（4）式，響應(yīng)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

理論上，該響應(yīng)系統(tǒng)可以與周期映射后的混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步.下面我們利用數(shù)值仿真的方法對(duì)該響應(yīng)系統(tǒng)的有效性進(jìn)行驗(yàn)證.

2 數(shù)值仿真和結(jié)果

使用MATLAB的ODE45方法對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)進(jìn)行模擬仿真，以驗(yàn)證響應(yīng)系統(tǒng)的有效性.為了保證驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，我們選取以下參數(shù)：a=35,b=3,c=12,d=7，r=0.6；定義k=k1=k2=k3=-3；ω=π，初值：t0=0，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)初值如下：（x1=10,x2=15,x3=30,x4=10），響應(yīng)系統(tǒng)初值如下：（y1=-10,y2=-14,y3=5,y4=8）.

如圖1所示為四條誤差曲線，四條誤差曲線分別在2s內(nèi)穩(wěn)定收斂于0，即超混沌Chen系統(tǒng)（3）與響應(yīng)系統(tǒng)（9）達(dá)到了同步，可見本文設(shè)計(jì)的廣義同步方法是有效的.

圖1 廣義同步誤差系數(shù)隨時(shí)間變化曲線

3 討論

廣義同步的效率受到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)、映射系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)各種參量的影響.這些影響主要體現(xiàn)在同步的效率速度和同步穩(wěn)定性兩個(gè)方面.Lyapunov函數(shù)值的情況是系統(tǒng)同步的主要指標(biāo).本文主要利用觀察Lyapunov函數(shù)值變化的方式，具體分析各參量對(duì)同步的作用和影響.

3.1 反饋系數(shù)k對(duì)同步效率的影響

一般來說，反饋系數(shù)k絕對(duì)值越大，同步速度越快，保證其他參數(shù)不變，觀察不同的k值下Lyapunov函數(shù)值的變化情況（如圖2所示）.

圖2所示k分別為-3，-4，-5，-10條件下Lyapunov函數(shù)值的變化情況.由圖2可以看到，k的絕對(duì)值越大，Lyapunov函數(shù)收斂越快.所以反饋系數(shù)k可以有效調(diào)節(jié)響應(yīng)系統(tǒng)的收斂速度.當(dāng)然，也可以通過分別調(diào)整k1,k2,k3,k4的值，以達(dá)到單獨(dú)控制各同步誤差曲線的收斂速率的目的.

圖2 不同k值下Lyapunov函數(shù)的收斂情況

3.2 響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)數(shù)據(jù)積分采樣步長(zhǎng)對(duì)廣義同步的影響

響應(yīng)系統(tǒng)是一個(gè)反饋系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)取決于自身當(dāng)前狀態(tài)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的共同作用.數(shù)值模擬通常都是離散系統(tǒng).響應(yīng)系統(tǒng)（9）的積分過程中必須要對(duì)映射驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)信號(hào)進(jìn)行采樣，得到的數(shù)值是一些離散值，并且在下一次采樣之前，響應(yīng)系統(tǒng)積分計(jì)算使用的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)信息維持不變.系統(tǒng)積分采樣頻率大小會(huì)影響同步系統(tǒng)的穩(wěn)定性和計(jì)算效率.設(shè)采樣間隔時(shí)間為S，分別在不同的采樣時(shí)間間隔內(nèi)研究Lyapunov函數(shù)的收斂穩(wěn)定性，得到的結(jié)果如圖3所示，時(shí)間間隔分別為0.05 s、0.02 s、0.01 s、0.001 s.

參數(shù)同上文，k=-3，如圖3所示，當(dāng)s=0.05秒時(shí)，Lyapunov函數(shù)在收斂與0之后又反復(fù)震蕩，峰值達(dá)到100.函數(shù)值在該過程中顯得非常不穩(wěn)定，且具有一定的隨機(jī)性.這種情況下，同步系統(tǒng)無法滿足實(shí)際應(yīng)用的要求；當(dāng)s=0.02秒時(shí)，Lyapunov函數(shù)相對(duì)穩(wěn)定，收斂后振蕩的峰值在10-20左右，但仍然可以看出明顯的波動(dòng)，當(dāng)s=0.01秒時(shí)，函數(shù)曲線收斂后已經(jīng)基本平直，函數(shù)值只是在少數(shù)點(diǎn)上出現(xiàn)了幅度較?。ㄐ∮?0）的波動(dòng)，s=0.001秒時(shí)的曲線已經(jīng)基本平直.由此可見，采樣頻率越大，廣義同步越穩(wěn)定.但是，并非采樣頻率越大越好，提高采樣頻率會(huì)造成響應(yīng)系統(tǒng)的計(jì)算量變大，會(huì)影響同步的效率.所以，必須根據(jù)實(shí)際應(yīng)用要求確定響應(yīng)系統(tǒng)精度，選擇恰當(dāng)?shù)牟蓸宇l率，兼顧響應(yīng)精度和效率.

圖3 不同采樣時(shí)間間隔下Lypunov函數(shù)的收斂情況.

3.3 映射系統(tǒng)頻率對(duì)廣義同步的影響

圖4 在不同的映射頻率下系統(tǒng)的穩(wěn)定性

綜上所述，若發(fā)現(xiàn)映射系統(tǒng)頻率增加造成廣義同步誤差偏大時(shí)，需要通過減小反饋系統(tǒng)的采樣步長(zhǎng)來解決上述問題.

4 總結(jié)

本文提出了一種在周期映射下，超混沌Chen系統(tǒng)的廣義同步問題，并且研究了各參數(shù)對(duì)同步的影響.含時(shí)映射具有一定的普遍性，該方法可以應(yīng)用到其他的混沌或超混沌系統(tǒng)的廣義同步中.

當(dāng)然，這個(gè)問題還有許多方面值得探究和思考：假設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)時(shí)間同步，則在響應(yīng)系統(tǒng)中缺少參數(shù)t的情況下，是否可能達(dá)成兩個(gè)系統(tǒng)的廣義同步，如可能，該如何做？另外我們觀察到在圖3和圖4中，由采樣步長(zhǎng)和映射頻率改變而造成的Lyapunov函數(shù)不穩(wěn)定起伏曲線圖，盡管幅值不同，但位置和相對(duì)比例具有一致性，這種相似結(jié)構(gòu)的成因是否與混沌系統(tǒng)自相似結(jié)構(gòu)有關(guān)，有待進(jìn)一步研究.

[1]PECORA L M，CARROL T L.Synchronization in chaos system[J].Phys Rev Lett,1990,64（8）：821-824．

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Generalized Synchronization of Periodic Mapped Hyperchotic Chen System

WANG Zhao

(School of Physics and Electronics Engineering,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

In this paper，the nonlinear generalized synchronization of hyperchaotic Chen system is presented. Based on the Lyapunov stability theory,a new generalized synchronization for chaotic system,which is periodic mapped,is proposed.Theoretical analysis and numerical calculation are provided to show its feasibility.The effect of parameters to the synchronization is also discussed.

hyperchaotic system;generalized synchronization;periodic mapping

O415.5

A

1008-2794（2011）10-0080-05

2011-09-08

常熟理工學(xué)院青年教師科研啟動(dòng)基金（KY2009120）資助項(xiàng)目．

汪昭(1982—)，男，江蘇常熟人，常熟理工學(xué)院物理與電子工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)師，碩士，研究方向：量子混沌，混沌通信．