李尚生，宋亞平，殷 勇，叢 軍，陳如山

（1.海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系，山東 煙臺 264001；2.91436部隊，廣西 柳州 545613；3.南京理工大學(xué)電光學(xué)院，南京 210094）

0 引言

矩量法（MOM）[1]求解體積分方程（VIE）在解決非均勻介質(zhì)的電磁散射問題中應(yīng)用非常廣泛，它是一種嚴格的數(shù)值方法，其計算結(jié)果精度高，但同時具有未知量大的缺點。假設(shè)它離散所得的SWG基函數(shù)[2]個數(shù)為N，那么它需要占用O (N2)的內(nèi)存，并且通過迭代解法需要執(zhí)行 O (N2)次矩陣矢量乘的操作。因此，用傳統(tǒng)的矩量法很難求解電大尺寸目標的電磁散射問題。

本文將體積分方程方法與重疊型區(qū)域分解法（ODDM）[3]結(jié)合，得到改進的體積分方程方法（VIE-ODDM），這種分區(qū)域求解的方法能夠減少每次求解時的未知量，從而可以減少計算機占用內(nèi)存。另外，由于每個子域邊界的電流奇異性得到有效地抑制，因而外迭代過程能夠很快地收斂，大大減少了計算時間，特別是在解決電大尺寸的問題上這些優(yōu)點更加突出。

1 VIE-ODDM 基本原理

用體極化電流J表示體積分方程如下：

用矩量法求解上式都將轉(zhuǎn)化為求解一個矩陣方程：ZD=V。對于電大結(jié)構(gòu)，阻抗矩陣Z的逆矩陣的計算幾乎不可能實現(xiàn)，取而代之用迭代法求解，本文所采用的迭代算法是最小余量法（GMRES）[4]。

區(qū)域分解法（DDM）把整個計算區(qū)域Ωi分解成若干個子區(qū)域 Ωi,i=1,…,M，相應(yīng)的Z 則被分裂為若干小塊矩陣，然后分別求解各個子對角塊矩陣方程，再通過迭代方法得到整個矩陣方程的解。由于每次只需對其中的一個塊矩陣進行處理，所以降低了內(nèi)存的消耗，當然因為要通過迭代法得到整個矩陣方程的解，計算時間往往會變長。如果在并行機上進行并行計算，計算效率將會得到提高，也可以通過預(yù)條件技術(shù)來減少迭代次數(shù)和計算時間[5]。

在積分方法中運用DDM時，為抑制子區(qū)邊界處電流的奇異性，保證收斂性并提高迭代算法收斂速度，在求解某一子域Ωi時，在該子區(qū)的所有相鄰子區(qū)內(nèi)增加緩沖區(qū)Ωb(i)[6]，然后將擴展子區(qū)Ω ′i=Ωi+Ωb(i)作為整個求解區(qū)域來計算電流，而后遺棄緩沖區(qū)的電流并保留子區(qū)的電流，該方法即為重疊型區(qū)域分解法。

根據(jù)上述原理，可建立子區(qū)之間積分迭代公式，定義兩個關(guān)于體極化電流J的線性算子，對于體積分方程(1)

從矩陣角度看，式(4)可表示為矩陣迭代公式：

式中：Zii、Zij、Zb(i)i、Zb(i)b(i)分別表示 Ωi內(nèi)基函數(shù)的自作用，Ωj內(nèi)基函數(shù)對 iΩ 內(nèi)基函數(shù)的作用，iΩ 內(nèi)基函數(shù)對Ωb(i)內(nèi)基函數(shù)的作用，Ωb(i)內(nèi)基函數(shù)的自作用；另外的意義見文獻[7]。

由于對應(yīng)相鄰子區(qū)域的矩陣子塊和向量可能重疊，迭代式(5)實際上是變形的Gauss-Seidal 迭代公式。在整個求解過程中涉及到兩重迭代：內(nèi)迭代和外迭代。求解子域的迭代稱為內(nèi)迭代，每求解完一次所有子區(qū)域稱為一次外迭代。一次外迭代中的內(nèi)迭代把所有區(qū)域的電流依次更新一次。

2 VIE-ODDM計算復(fù)雜度分析

設(shè)總未知量為N，為方便起見，設(shè)每個子區(qū)域的未知數(shù)個數(shù)均為其中Nb為緩沖區(qū)電流系數(shù)的平均數(shù)目。由于總的系數(shù)矩陣Z和子矩陣均為滿矩陣，迭代求解這兩種矩陣方程所需內(nèi)存分別是ηN2和ξNi2，設(shè)VIE-ODDM法的外迭代總共需要?步。則VIE-ODDM的內(nèi)迭代所需內(nèi)存為：

式(5) 右端的矩陣向量積所需內(nèi)存為Ni?(N?Ni)，故VIE-ODDM 外迭代所需內(nèi)存為：

當總的系數(shù)矩陣規(guī)模一定時，VIE-ODDM 迭代方式的計算量主要由來決定。

依算例來看，? 一般取3就可得到足夠精度的雷達散射截面。因此，當M 大于3和ξ 小于η，VIE-ODDM 迭代算法的計算量就可減少，計算效率就能得到提高。

3 數(shù)值算例

所有算例均設(shè)定為：入射波為頻率為300 MHz的平面波，極化方向與X軸平行，入射方向為-Z方向。

算例1：計算一個半徑為0.20λ的介質(zhì)球的RCS，相對介電常數(shù)為3，整個介質(zhì)球的SWG 單元個數(shù)為1 884。將其分為4個子區(qū)，見圖1。

圖1 半徑為0.2λ0的介質(zhì)球

將VIE-ODDM 求解的結(jié)果與MIE級數(shù)[8]進行比較，圖2中顯示數(shù)據(jù)吻合較好，從而驗證了VIEODDM的正確性。

圖2 介質(zhì)球的RCS

算例2：計算一個由3種介質(zhì)材料構(gòu)成的長方體的RCS，采用VIE和VIE-ODDM算法，長方體的SWG個數(shù)都為3 684。目標結(jié)構(gòu)和材料參數(shù)分別見圖3。

圖33 種介質(zhì)材料的長方體

分別利用VIE和VIE-ODDM 程序計算該目標的雙站RCS，結(jié)果見圖4。

圖4 介質(zhì)長方體的RCS

由圖4可見，VIE 程序和VIE-ODDM 程序計算出來的結(jié)果相當吻合，見表1。

表1 相對余量誤差與迭代次數(shù)的函數(shù)關(guān)系

VIE 經(jīng)過25次迭代過程，精度達到9.088×10-4，迭代時間為6.9 s，而VIE-ODDM 只經(jīng)過4次外迭代過程，就達到收斂精度，迭代時間為5.5 s。采用VIE時，所需內(nèi)存為103 M，而在VIE-ODDM中，求解第2個子區(qū)時所需的內(nèi)存最大，為44 M，只相當于采用VIE 所需內(nèi)存的42.718%。

4 結(jié)論

算例1顯示VIE-ODDM的計算結(jié)果與解析解吻合較好，從而保證了VIE-ODDM在解決電磁散射問題中的有效性。算例2證明，VIE-ODDM相比于VIE在計算中占用更少的內(nèi)存，并且通過對兩者在迭代次數(shù)和迭代時間上的比較，進一步證明VIE-ODDM外迭代過程具有更快的收斂速度。

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