趙春暉，趙艮平

（哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

隨著光學(xué)遙感技術(shù)的發(fā)展，高光譜遙感無(wú)論在軍用或民用的各個(gè)領(lǐng)域中都發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。高光譜圖像分類是遙感圖像處理定量化和智能化發(fā)展的主要方面，目前比較成熟的分類方法是基于光譜統(tǒng)計(jì)分析的方法，包括監(jiān)督分類和非監(jiān)督分類。近幾年出現(xiàn)了一些遙感圖像分類的新方法，如基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分類、基于小波分析的分類、基于分形技術(shù)的分類、模糊聚類、樹分類器等，但是分類過程仍然存在著如過學(xué)習(xí)、有限樣本、維數(shù)災(zāi)難等問題。在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論上發(fā)展而來(lái)的支持向量機(jī)（SVM）［1］是一種能有效解決非線性、過學(xué)習(xí)、局部極值、維數(shù)災(zāi)難等一系列難題的監(jiān)督分類算法，因而在高光譜圖像分類中被廣泛研究與應(yīng)用。LSSVM算法提出了用等式約束求解線性方程組，有效地改善了標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)中不等式約束下求解二次規(guī)劃的復(fù)雜計(jì)算過程，同樣也能取得良好的分類效果。但無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)SVM還是LS－SVM都不可避免地受到噪聲或是孤立點(diǎn)樣本對(duì)分類性能的影響。

引入模糊理論能夠有效改善這一缺點(diǎn)，應(yīng)運(yùn)而生的模糊支持向量機(jī)最關(guān)鍵的問題是模糊隸屬度函數(shù)的確定［2］。本文引進(jìn)核光譜角余弦作為一種高光譜圖像地物的相似性測(cè)度，以一種簡(jiǎn)單的方式利用這一測(cè)度實(shí)現(xiàn)對(duì)模糊隸屬度函數(shù)的構(gòu)造，繼而在LS－SVM基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了FLS－SVM算法。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明FLS－SVM可有效改善LS－SVM的分類性能。

1 模糊最小二乘支持向量機(jī)算法

1.1 LS－SVM模型

設(shè)給定的訓(xùn)練樣本集S＝ ｛（x1，y1），…，（xl，yl）｝∈Rn，i＝1，2，…，l，yi∈［－1，1］。在非線性情況下通過引入變換φ，將樣本從輸入空間映射到一個(gè)高維特征空間。標(biāo)準(zhǔn)SVM二分類問題最終可歸結(jié)為求解下面的二次規(guī)劃：

其中ξi為松弛變量；C為懲罰因子。

將標(biāo)準(zhǔn)SVM中二次規(guī)劃約束條件變?yōu)榈仁剑覔p失函數(shù)變?yōu)槎魏瘮?shù)，即為最小二乘支持向量機(jī)的數(shù)學(xué)描述形式。引入Lagrange算子αi，得到如下方程：

根據(jù)Mercer條件，存在映射φ和核函數(shù)K（·，·），使得K （xi，xj）＝φ（xi）φ（xj）。令L對(duì)變量w，b，ξi，αi的偏導(dǎo)數(shù)等于零，并將得到的等式代入式 （2），可得下列矩陣方程：

其中y＝［y1，…，yl］，Iv＝［1，…，1］；α＝［αi，…，αl］；K的中元素為Kij＝K （xi，xj）.i，j＝1，2，…，l。

求解矩陣方程（3），最后得到最小二乘支持向量機(jī)的函數(shù)估計(jì)為：

以上便是LS－SVM的數(shù)學(xué)求解描述模型。

1.2 FLS－SVM模型

為了解決SVM（包括LS－SVM）對(duì)噪聲及孤立點(diǎn)樣本同等對(duì)待而使分類性能降低的問題，Lin等將模糊隸屬度的概念引入SVM，模糊化輸入樣本集，提出了模糊支持向量機(jī) （FSVM）的概念［3］。同樣把這種模糊理念運(yùn)用到LS－SVM中，為每一個(gè)輸入樣本賦予一個(gè)模糊隸屬度，則模糊化訓(xùn)練樣本集為S＝｛（x1，y1，u1），…，（xl，yl，ul）｝，那么模糊化后的LS－SVM求解變換方程由式（3）變?yōu)椋?/p>

式（5）即為FLS－SVM的求解模型，也就是本文采用的算法形式。

2 模糊隸屬度函數(shù)

對(duì)于FSVM，或者是FLS－SVM，關(guān)鍵部分是模糊隸屬度函數(shù)的構(gòu)造。不同的隸屬度函數(shù)會(huì)對(duì)算法的處理結(jié)果以及算法實(shí)現(xiàn)的難易程度產(chǎn)生不同的影響。模糊隸屬度函數(shù)要求能夠?qū)ふ业揭环N可以客觀、準(zhǔn)確地表征系統(tǒng)中樣本存在的不確定性測(cè)度，而此前提是必須找到一種有效衡量相似性測(cè)度的物理量。以往的方法中常常利用距離這種相似性測(cè)度來(lái)對(duì)樣本與樣本或是樣本與類中心的差異性度量，從而設(shè)計(jì)不同的處理過程從不同角度構(gòu)造實(shí)現(xiàn)這種模糊性反映的函數(shù)式，即構(gòu)造出模糊隸屬度矩陣。由于高光譜數(shù)據(jù)多譜段的特性，即地物光譜信息用光譜向量來(lái)表示，如果總光照增加或減少這個(gè)向量的長(zhǎng)度會(huì)隨之相應(yīng)變化但是角度方向保持不變［4］。在多維光譜空間里，不同地物的光譜角度是不同的，那么角度會(huì)是一種很好的衡量光譜向量相似性或者說(shuō)差異性的測(cè)度。光譜角度間的差異大小可以理解為其互相歸屬程度的大小，也是一種不確定性的表述。本文引入核光譜角余弦從向量方向的角度來(lái)表征樣本間相似性大小的不確定性，并以這一物理量來(lái)實(shí)現(xiàn)隸屬度函數(shù)的構(gòu)造。

1）從數(shù)學(xué)的角度考慮有其客觀性，因?yàn)楣庾V角余弦的范圍是0～1，這符合隸屬度的數(shù)值范圍要求。

2）上面分析的引入原因，也說(shuō)明對(duì)光譜向量而言，光譜角余弦是一種相對(duì)于歐氏距離表征的亮度差異更為準(zhǔn)確的差異性測(cè)度。以上兩點(diǎn)也是對(duì)上文中提到的引入模糊技術(shù)改善分類性能的前提要求，做出的一個(gè)很好解釋。

3）本文提出的新的隸屬度函數(shù)構(gòu)造過程極其簡(jiǎn)單明了，它是相對(duì)于其他文獻(xiàn)中的方法在效率上更為可選的一種做法，而且也改善了分類效果。

2.1 核光譜角余弦表示

在支持向量機(jī)理論應(yīng)用中，如前文所述我們把原始輸入空間通過一種非線性映射φ，將x映射到特征空間里的φ （x），所有的分類過程在特征空間實(shí)現(xiàn)。而且因?yàn)楹撕瘮?shù)的特點(diǎn)，可以不必弄清這種非線性映射的具體形式，我們可以利用：

只要知道K （·，·）的具體表達(dá)式就能回避φ（x）的求解，實(shí)際上只需簡(jiǎn)單進(jìn)行輸入空間里樣本點(diǎn)積運(yùn)算。在特征空間里基于核的光譜向量角余弦表達(dá)式為：

將式 （6）帶入式 （7）則得到基于核的光譜角余弦表達(dá)式為：

本文選用經(jīng)典的、常用的高斯徑向基核函數(shù)：

不光考慮到其良好的非線性映射性能，而且因?yàn)橐蜃?（xi－xj）的存在形式，該核函數(shù)也是歐式距離的一種表示，體現(xiàn)了樣本在特征空間里光譜亮度差異，其次再與角余弦所實(shí)現(xiàn)的光譜向量方向表示相結(jié)合，很好地融合這兩方面的優(yōu)點(diǎn)來(lái)提高分類精度。將式 （9）帶入式 （8）得到高斯核下化簡(jiǎn)后的光譜角余弦：

2.2 光譜余弦值構(gòu)造隸屬度函數(shù)的過程

根據(jù)余弦角在主值區(qū)間上的單調(diào)遞減特性，余弦值越小 （大）夾角越大 （?。?，對(duì)于光譜向量間則說(shuō)明二者越不相似 （越相似）。在現(xiàn)有的光譜向量之中，如果能找到最小和最大的光譜向量余弦值，當(dāng)新的光譜向量輸入時(shí)只要求其與已知類別的光譜向量角余弦，當(dāng)其超過最小、最大兩范圍界限時(shí)，可以明確賦予其0表示不屬于、1表示屬于，而位于之間的數(shù)值就是一種模糊不確定性的隸屬度值。

基于以上分析，首先計(jì)算各樣本間的光譜角余弦值，實(shí)際上計(jì)算K （xi，xj）即可。然后需要找出每一類地物中各訓(xùn)練樣本間最大和最小的余弦值，二分類中則找出4個(gè)值，2個(gè)大值max1，max2，2個(gè)小值min1，min2。在2個(gè)大值里找出較小的設(shè)為zmax，在2個(gè)小值里找出較大的設(shè)為zmin，這樣做是為了放寬對(duì)相似性的要求。若是余弦值＞zmax則認(rèn)為兩光譜向量方向差異很小判別為一類，隸屬度為1；若反之，余弦值＜zmin，則認(rèn)為兩光譜向量方向差異很大判別為不同類，隸屬度為0；除此之外，余弦值介于zmin和zmax之間的則隸屬度為與該余弦值相關(guān)的一個(gè)數(shù)值表示。鑒于以上的分析，要尋找一個(gè)函數(shù)表達(dá)式u＝f（cosθ）能讓隸屬度與角余弦一一對(duì)應(yīng)，這樣的函數(shù)表達(dá)式理論上應(yīng)該滿足以下條件：①定義域?yàn)椋?～1）時(shí)，值域?qū)?yīng)為 （0～1）；②在上述定義域區(qū)間單調(diào)遞增。

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)最好滿足f（0）＝0，f（1）＝1，但是由于這個(gè)函數(shù)是分段的隸屬度函數(shù)的一部分，所以對(duì)于定義域里的0、1兩點(diǎn)一般不會(huì)出現(xiàn)在這一部分，因此這個(gè)條件可不嚴(yán)格滿足。

根據(jù)以上限制條件可以找出很多符合的函數(shù)表達(dá)式，其中比較常用的有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和一些三角函數(shù)等。而且可以在這些函數(shù)形式上加以改動(dòng)，例如，可以引入可調(diào)參數(shù)來(lái)靈活改變函數(shù)的非線性性能從而調(diào)控分類性能。無(wú)論是哪種形式對(duì)分類結(jié)果都有一定的改善作用，只不過改善程度大小以及靈活性是不同的。綜上，可以選用模糊隸屬度矩陣為以下3種形式：

隸屬度函數(shù)Ⅰ：

其中可調(diào)參數(shù)滿足0≤d≤1；

隸屬度函數(shù)Ⅲ：）

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析

3.1 實(shí)驗(yàn)圖像

本文采用的是AVIRIS高光譜遙感圖像。該圖像取自1992年6月拍攝的美國(guó)印第安納州西北部印第安遙感試驗(yàn)區(qū)的一部分，它包含了農(nóng)作物和森林植被的混合區(qū)，圖像數(shù)據(jù)特點(diǎn)見表1。原始AVIRIS的220波段圖像第50、27、17波段作為RGB通道的假彩色圖像見圖1。實(shí)驗(yàn)采用LS－SVM和FLS－SVM算法對(duì)該高光譜遙感圖像進(jìn)行分類比較實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中支持向量機(jī)均采用高斯型徑向基核函數(shù)K（xi，xj）＝exp（－（xi－xj）2／σ2）。

3.2 LS－SVM與FLS－SVM分類比較

為了驗(yàn)證本文提出的FLS－SVM分類算法的有效性，用LS－SVM和FLS－SVM分類算法對(duì)高光譜圖像上相同的3類地物 （監(jiān)督圖像里的2，3，10 3類地物）進(jìn)行分類。

表1 實(shí)驗(yàn)圖像數(shù)據(jù)特點(diǎn)Table 1 Characteristic of experimental image

圖1 實(shí)驗(yàn)圖像的假彩色圖像Fig.1 Pseudo－color image of experimental image

3.2.1 LS－SVM分類

在最優(yōu)參數(shù)對(duì)為（c，σ）＝（1 000，0.02）下，分類結(jié)果見表2，圖2為L(zhǎng)S－SVM分類仿真結(jié)果，總體精度用正確分類百分比pcc和Kappa系數(shù)給出。

表2 3類地物的分類精度Table 2 Classification accuracy of three objects

總體分類精度：pcc＝88.75%，Kappa＝82.72%。

3.2.2 FLS－SVM分類

在上述優(yōu)化參數(shù)固定的情形下，利用前文提出的模糊隸屬度構(gòu)造法，下面給出3種不同形式隸屬度函數(shù)選擇下，基于核光譜余弦角的FLS－SVM分類結(jié)果的pcc和Kappa值比較，見表3。

由表3可見，采用式Ⅲ作為隸屬度函數(shù)靈活性更高，此時(shí)的混淆矩陣見表4，圖3為FLS－SVM分類仿真結(jié)果，其中圖3（a）、圖3（b）分別為真實(shí)地物分布和仿真分類圖像。

表3 基于核的光譜余弦角的FLS－SVM分類結(jié)果Table 3 Classification results of FLS－SVM based on kernel spectral angel cosine ／%

表4 FLS－SVM的分類結(jié)果Table 4 Classification results of FLS－SVM

表3所示的是利用文中提出的隸屬度構(gòu)造方法實(shí)現(xiàn)FLS－SVM算法的結(jié)果，最好的效果（表4給出的）與LS－SVM分類結(jié)果相比較，分類總體精度有所提高，但程度不是特別大。原因是原始圖像的精度不高，AVIRIS圖像是從高空拍攝，其分辨率僅為20m×20m，像元混合的概率很大。另外還有一些其它如時(shí)令、天氣等客觀存在的原因，使得分類仍存在一定誤差。

4 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于傳統(tǒng)支持向量機(jī)分類結(jié)果受噪聲及孤立點(diǎn)樣本影響，而且存在不可分區(qū)域的狀況，模糊技術(shù)逐漸引起人們的重視繼而被廣泛應(yīng)用到SVM產(chǎn)生FSVM。而對(duì)于模糊理論，最核心的問題是解決模糊隸屬度函數(shù)的構(gòu)造。本文主要對(duì)隸屬度函數(shù)做了深入研究，在LS－SVM基礎(chǔ)之上，通過引入核光譜角余弦構(gòu)造隸屬度函數(shù)實(shí)現(xiàn)高光譜圖像FLS－SVM分類算法。經(jīng)實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果驗(yàn)證，該方法融合了高光譜數(shù)據(jù)在特征空間光譜亮度和光譜方向角度兩方面的信息為一體，提高了LS－SVM的抗噪聲能力，改善了分類性能，雖然改善程度不是很高，但是在處理同樣的實(shí)際問題中，F(xiàn)LS－SVM相對(duì)于LS－SVM更適合于未能完全揭示輸入樣本特性的情況。

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