黨小寶，張建花，王沙威

（中國飛行試驗研究院陜西西安710089）

柔性連桿機構(gòu)運動時，長徑比較大的構(gòu)件會發(fā)生顯著的彈性變形和劇烈的彈性振動。對機構(gòu)的運行精度和使用壽命都有很大影響。應(yīng)用于航天飛機上的機械臂、空間站上的大型可展天線、太陽能帆板等系統(tǒng)，其變形對于定位、操作及運動穩(wěn)定性都有嚴重的影響。所以，考慮機構(gòu)中的柔性影響并利用控制方法抑制其影響成為一個被廣泛關(guān)注的領(lǐng)域。

柔性機構(gòu)的控制主要分為以下4類[1-4]：1）基于運動學(xué)模型的控制策略，該策略假設(shè)末端執(zhí)行器位移的微小變化與驅(qū)動器位移的微小變化呈線性關(guān)系.根據(jù)運動學(xué)方程計算出與機構(gòu)輸出位移微小增量相對應(yīng)的驅(qū)動器位移連續(xù)的微小增量，但這類控制策略并未考慮并聯(lián)機構(gòu)的強耦合、非線性的動力學(xué)特性，只適合速度和精度要求不高的應(yīng)用場合；2）基于動力學(xué)模型的控制策略，該類控制策略根據(jù)機構(gòu)運動輸出的要求，依靠動力學(xué)逆模型的求解得到驅(qū)動力的控制向量作為開環(huán)控制量，這類控制策略的弱點是不能在有效載荷發(fā)生變化時改變反饋增益，并且求解柔性逆動力學(xué)存在著解的存在性和唯一性不能滿足、計算效率低等問題；3）基于性能的控制策略，這類控制不需要依賴于精確的被控對象模型及負載參數(shù)，而是通過控制器的設(shè)計技巧來獲得良好的控制效果以及魯棒性，這類控制器包括自適應(yīng)控制，變結(jié)構(gòu)控制和魯棒控制等；4）冗余驅(qū)動控制，可以改善甚至消除工作空間中的奇異位形，解決奇異點導(dǎo)致的運動精度降低、剛度減小和驅(qū)動關(guān)節(jié)無法實施控制等問題，但由于冗余驅(qū)動力的存在同樣使得逆動力學(xué)方程的唯一性無法保證，增加了控制難度。

針對含柔性體的機構(gòu)特點，即目標運動由快變的彈性小變形和慢變的剛體大范圍運動組成，本文提出了一種基于解耦的控制方法，這種方法有效利用了模型信息，將反饋劃分為由剛性和柔性影響產(chǎn)生的運動兩路反饋，通過兩組不同的控制器分別計算各自的輸出量，并在控制器輸出端疊加輸出。

文章針對曲柄滑塊機構(gòu)進行了柔性動力學(xué)建模并實施了軌跡跟蹤仿真。與同樣基于動力學(xué)模型的計算力矩法進行了對比，證明本方法獲得了良好的效果。

1 曲柄滑塊動力學(xué)模型建立

曲柄滑塊機構(gòu)在機械和航空工程中得到廣泛的應(yīng)用，所以它的動力學(xué)建模的準確性有很重要的意義。通常情況下，曲柄滑塊機構(gòu)的曲柄被設(shè)計為短而粗的構(gòu)件，所以可以被看作剛體處理。而連桿一般根據(jù)需要被設(shè)計為一個剛度較小的細直桿，所以應(yīng)該考慮柔性對整個機構(gòu)運動的影響。曲柄滑塊機構(gòu)如圖1所示。

20世紀90年代后期至今，有關(guān)連桿柔性的建模中文獻[5-7]，大多采用了KED（運動彈性動力學(xué)）方法進行建模，由于沒有考慮彈性和剛體位移之間的耦合，所以建立的數(shù)學(xué)模型不夠精確。文獻[8]中，考慮了彈性位移和剛體位移間的耦合，并考慮了運動副摩擦。文中將連桿看作為彈性梁，根據(jù)模態(tài)截斷準則取連桿的前二階模態(tài)函數(shù)描述變形，最后通過Lagrange第二方程導(dǎo)出曲柄滑塊機構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。然而它的不足是：首先，由于柔性多體系統(tǒng)是非線性變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，各部件經(jīng)歷高速運動時，部件和系統(tǒng)的近似特征頻譜和模態(tài)都將是時變的，模態(tài)截斷的準則還有待于研究，不能簡單取前N階模態(tài)；其次，由于僅取了前二階模態(tài)，所以在精確性上還可以提高。

圖1 曲柄滑塊機構(gòu)Fig.1Crank-slider

基于此，本文同樣將曲柄和滑塊視作剛體，而將連桿看作彈性梁，使用有限單元法對彈性變形進行離散化，而根據(jù)所需精度的要求劃分單元數(shù)。最后，通過拉格朗日第二方程建立了曲柄滑塊機構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，所得到的數(shù)學(xué)模型能夠準確的描述曲柄滑塊機構(gòu)的真實動力學(xué)行為。

為了簡化方程推導(dǎo)，本文將連桿作為一個梁單元處理。

根據(jù)運動及變形特點，選取未變形時連桿的兩端點A、B的連線為動坐標系的X軸，建立Y軸構(gòu)成右手坐標系，如圖2所示。

圖2 彈性連桿Fig.2Elastic rod

于是連桿相對于動坐標系的彈性變形運動相當于一個簡支梁的振動，其形函數(shù)為：

令描述相對于動坐標系變形的廣義坐標為qf=[qf1qf2qf3]T，其中，qf1為A點處的轉(zhuǎn)角，qf2為B點處的x方向位移，qf3為B點處轉(zhuǎn)角。

設(shè)曲柄OA相對于x1軸的角坐標為θ，于是描述系統(tǒng)的廣義坐標共有4個，即：

采用拉格朗日第二方程：

來建立機構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型。

為此，先構(gòu)造出動能：

其中T1為曲柄動能，T2為連桿動能，T3為滑塊動能。

勢能由彈性勢能和重力勢能兩部分組成：

Qk為非保守力對應(yīng)的廣義力，本例中取電機的驅(qū)動力矩τ。將式（2），（3）代入式（1），得到二階微分方程組：

方程（4）就是考慮連桿柔性情況下所建立的曲柄滑塊的動力學(xué)方程，在得到該方程的基礎(chǔ)上，結(jié)合運動的初始條件，用數(shù)值方法（紐馬克β法）求解該方程，則可得到機構(gòu)的運動響應(yīng)。

2 解耦PID控制方法

以往的多柔體機構(gòu)控制研究中，經(jīng)常選取主動件的運動作為控制目標。在曲柄滑塊機構(gòu)中，即選取曲柄作為控制對象，使其角位移、角速度、角加速度滿足理想的軌跡要求。但在實際應(yīng)用中，往往我們需要的是從動件滿足某種特定的軌跡運動。在曲柄滑塊機構(gòu)中，工程中經(jīng)常以滑塊的運動速度為目標，要求其勻速穩(wěn)定運動或是滿足平穩(wěn)啟動及平穩(wěn)停止。這時，因為主動件和從動件間并不是由剛體而是由柔性體相連接，柔體的特性如振動和相位滯后等將使機構(gòu)的控制難度增加。

柔性體上任一點P的位置向量為

其中A為主動旋轉(zhuǎn)變換矩陣，RO′為動坐標系位置向量，u′O為P點在動坐標系的位置向量，Φ為形函數(shù)，qf為描述變形的廣義坐標。

于是P點的速度向量為：

考慮柔性體的運動可以看作是由快變的彈性變形和慢變的剛體運動組成，如果簡單的使用一個控制器，由于調(diào)節(jié)頻率和幅度相互影響，會使控制結(jié)果或趨于不穩(wěn)定，或者達不到抑制柔性振動的效果。

如果能夠?qū)⒅鲃蛹蛷膭蛹g的相互運動分解為低頻的剛性運動和高頻的柔性運動，那么分別使用兩個不同的PID控制器去分別控制慢變的剛體大范圍運動和快變的彈性小變形運動，這樣，兩個控制器的控制效果都將滿足各自要求，而在輸出端，我們只須將兩者的控制輸出信號疊加，即可得到需要的控制力矩。

將P點位置分解為

其中rP_R=（RO′+Au′O），不含與描述彈性變形的廣義坐標qf有關(guān)的向量，并且從數(shù)值上與多剛體動力學(xué)模型中的對應(yīng)項相同，所以被認為是柔性體運動中描述剛性運動的部分。rP_F=AΦqf，則是柔性體運動中除去剛性運動的部分，顯然，它與描述彈性變形的廣義坐標qf相關(guān)，所以被近似認為是描述柔性的部分。

在實際的應(yīng)用中，由rP_F=rP-rP_R，而rP_R可以由剛體運動學(xué)方程簡單的計算出，使得認為區(qū)分剛性和柔性成為可能。

當既可以獲得主動件的運動反饋，又可獲得從動件的運動反饋，基于簡單的多剛體的動力學(xué)模型，可以按照上面的分解方法分別得到兩個控制器的反饋輸出。

從另一個角度看，剛?cè)岱蛛x的實質(zhì)是建立在浮動坐標系的理論基礎(chǔ)上，剛性部分是描述目標點隨浮動坐標系的運動，而柔性部分描述的是目標點在浮動坐標系內(nèi)的變形運動。然而可以看到，柔性部分因為含有主動旋轉(zhuǎn)變換矩陣A，而A是θ的函數(shù)，所以這種分解并未達到剛?cè)岬耐耆怦?。但是從仿真結(jié)果可以看出，其控制精度已經(jīng)滿足要求。

針對曲柄滑塊機構(gòu)而言，由于滑塊和曲柄是由柔性體連桿連接的則可以將滑塊位移分為

使用兩個簡單的PID控制器來處理此問題。令控制器方程為：

RP_R控制器的誤差反饋，其中為理想軌跡。eF=－rP_F為柔性控制的誤差反饋?？刂屏鞒倘鐖D3所示。

圖3 控制流程圖Fig.3Flow chart of control

文獻[10]中，利用李亞普諾夫方法，對于機構(gòu)的PID控制穩(wěn)定性有系統(tǒng)詳細的論述。并得到穩(wěn)定性定理：

對于一個輸入的角位移θ，機構(gòu)的動能應(yīng)當是有界的正實數(shù)，動能對于廣義坐標的微分應(yīng)當是有界的，勢能也應(yīng)當是有界的，即滿足存在4個正常數(shù)a1，a2，a3，u，滿足：

假設(shè)理想速度和加速度是有界的，即存在兩個正常數(shù)

若kp和kd以及常數(shù)ε滿足以下條件：

則，軌跡跟蹤誤差可以被限制在：

所以，PID控制雖然不能達到漸近穩(wěn)定，但是在一定條件下可以將誤差控制在一定范圍內(nèi)。這對控制器的參數(shù)的選取提出了相應(yīng)要求。在這里使用優(yōu)化的方法，以PID控制器的3個參數(shù)kp，ki，kd為設(shè)計變量，跟蹤軌跡與理想軌跡的RMS為目標函數(shù)，上面定理中的各條件（10），（11），（12）為約束條件進行優(yōu)化，即可以得到最優(yōu)的控制參數(shù)值。

3 仿真

為了驗證這種控制方法的有效性，將曲柄滑塊機構(gòu)作為研究對象，通過MATLAB進行了數(shù)值仿真。

如圖1所示的曲柄滑塊機構(gòu)中r=0.5 m，L=1 m，m1=3.51 kg，m2=1.86 kg，m3=5.5 kg，I=6.75×10－8m4，g=9.8 m/s2，E=1 GPa。

機構(gòu)的初始條件為：

位置控制要求滑塊滿足勻速運動，即在4 s內(nèi)使滑塊從初始位置RB（0）=1.5勻速運動至RB（4）=0.7處。理想曲線如圖4中虛線表示。

控制器參數(shù)取為：

作為對比，應(yīng)用計算力矩法進行仿真，其外層控制器參數(shù)?。?/p>

圖4 控制效果Fig.4Control effect

圖4中，帶十字標記的為應(yīng)用計算力矩法得到的軌跡跟蹤曲線，粗實線表示應(yīng)用本文方法得到的軌跡曲線。可以看到，在仿真時間等于0.7 s時本文方法的控制輸出達到要求，并且有較好的穩(wěn)態(tài)效果。但相對于計算力矩法的穩(wěn)定時間（0.5 s）較長。

圖5是本文方法中涉及柔性部分的控制效果，可以看到，通過柔性控制器的作用，把柔性產(chǎn)生的誤差控制在了0.5×10-6m范圍內(nèi)，達到了很好的抑制振動的效果。

圖5 振動抑制效果Fig.5Vibration suppression effect

圖6，圖7為跟蹤正弦曲線的效果圖。

圖6 跟蹤正弦曲線Fig.6Sinusoidal tracking

圖7 振動抑制效果Fig.7Vibration suppression effect

4 結(jié)論

本文基于對柔性運動學(xué)和動力學(xué)模型的分析與分解，提出了一種針對柔性曲柄滑塊機構(gòu)的解耦控制方法，針對曲柄滑塊機構(gòu)進行位置跟蹤控制，獲得良好的效果。與同樣基于動力學(xué)模型的計算力矩法進行對比發(fā)現(xiàn)，在控制效果相近的情況下，本文方法避免了計算力矩法中計算柔性體逆動力學(xué)會遇到的各種問題，大大提高了效率。

雖然該方法獲得了較好的控制效果，但并未從完全對目標運動進行解耦，這也將是下一步我們將深入研究的問題。

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