侯成義

(西北工業(yè)大學(xué)國防科技研究院，710072西安，peggy.cao@163.com)

遺傳算法、粒子群算法等隨機(jī)優(yōu)化算法同基于梯度的優(yōu)化算法相比具有很強(qiáng)的全局性和魯棒性，然而這些隨機(jī)優(yōu)化算法進(jìn)行需要用CFD、FEM分析等耗時的目標(biāo)值評估的工程優(yōu)化時，存在著計算量大的問題，嚴(yán)重制約了在工程中的應(yīng)用.用代理模型代替費(fèi)時的精確模型計算進(jìn)行優(yōu)化的方法得到了發(fā)展［1-2］，常用的代理模型有多項式響應(yīng)面模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、Kriging模型等.首先由一定數(shù)量的樣本構(gòu)造代理模型，用優(yōu)化算法搜索代理模型的最優(yōu)解并進(jìn)行精確模型校驗，進(jìn)而更新校驗點到代理模型直至滿足收斂要求.由于代理模型的計算量比精確模型小得多，該方法可大幅度提高優(yōu)化效率，但是其優(yōu)化精度嚴(yán)重依賴于代理模型預(yù)測的能力，容易陷入局部最優(yōu)［3］.M.Schonlau［4］提出的EGO(Efficient Global Optimization)算法在選取校驗點時綜合考慮了代理模型的預(yù)測值和預(yù)測精度，有效避免了陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險，該方法在工程優(yōu)化中得到了應(yīng)用［5-6］.

本文采用拉丁超立方實驗設(shè)計方法產(chǎn)生樣本點，用EI(Expected Improvement)最優(yōu)策略綜合評價由Kriging代理模型獲取的預(yù)測適應(yīng)值及預(yù)測精度，并結(jié)合響應(yīng)最優(yōu)策略，用粒子群算法搜索最優(yōu)校驗點，結(jié)合Hicks-Henne型函數(shù)翼型參數(shù)化方法與雷諾平均N-S方程流場求解器進(jìn)行了翼型優(yōu)化設(shè)計.

1 優(yōu)化系統(tǒng)

1.1 試驗設(shè)計方法

選取合理分布的樣本點對構(gòu)造代理模型具有重要的影響，一般要求有限的樣本應(yīng)該盡可能全面的反映設(shè)計空間的特性.常用的實驗設(shè)計方法有全析因設(shè)計、正交設(shè)計、均勻設(shè)計等，本文采用了拉丁超立方設(shè)計方法產(chǎn)生樣本點.

1.2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization)［7］是一種模擬鳥群覓食行為的群體智能算法，該算法實現(xiàn)簡單，參數(shù)設(shè)置方便，收斂速度快，能有效解決復(fù)雜優(yōu)化問題.該算法以“粒子”作為個體，按照設(shè)定的規(guī)則進(jìn)行群體的協(xié)作從而進(jìn)行有效的搜索.首先隨機(jī)初始化粒子種群位置和初速度，每個粒子通過跟蹤自身所找的個體最優(yōu)粒子pbest以及整個種群找到的全局最優(yōu)粒子gbest，在粒子當(dāng)前速度、pbest和gbest的位置的共同引導(dǎo)下，粒子在下一個時刻將飛行到新的位置.粒子的速度和位置更新公式分別為

式中:d=1，2，…，n(n為搜索空間維數(shù));i=1，2，…，m(m為種群規(guī)模);t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù);分別為對應(yīng)粒子的歷史最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置;c1，c2分別為學(xué)習(xí)因子;R1，R2分別為(0，1)的隨機(jī)數(shù);ω為慣性權(quán)重因子，慣性權(quán)重因子決定了粒子先前速度對當(dāng)前速度的影響程度.Shi Y采用隨迭代進(jìn)行慣性權(quán)重因子減小的方法，在優(yōu)化初期提高全局搜索能力，而在后期加速收斂.

1.3 Kriging代理模型

Kriging代理模型［8］起源于地理空間統(tǒng)計學(xué)，是一種估計方差最小的無偏估計模型，通過相關(guān)函數(shù)的作用，具有局部估計的特點，它可以較好的預(yù)估未知點處函數(shù)值的分布情況.Kriging模型假設(shè)目標(biāo)函數(shù)值與設(shè)計變量之間的真實關(guān)系可以寫為

式中:f(x)為回歸模型，是對設(shè)計空間的全局近似，為確定性部分，可以一個常數(shù)β表示;Z(x)為均值為0，方差為σ2的統(tǒng)計過程，表示對全局近似的背離，2個插值點的協(xié)方差為

式中R為點x(i)和x(j)的相關(guān)函數(shù)，可用高斯函數(shù)表示為

未知點x0處的預(yù)測值^y(x0)和方差估計值^σ通過下列形式給出:

可以通過極大似然估計確定相關(guān)參數(shù)θk為

1.4 EGO算法

選擇代理模型預(yù)測值的最優(yōu)點作為校驗點的方法稱為響應(yīng)最優(yōu)策略.但是代理模型的預(yù)測精度總是有限的，如果代理模型在真實的最優(yōu)解處預(yù)測精度較差，就有可能在選擇校驗點時總是無法搜索到該區(qū)域，使得優(yōu)化陷入局部最優(yōu).因此在選擇校驗點時有必要綜合考慮Kriging模型獲取的預(yù)測適應(yīng)值及預(yù)測精度.本文采用了EI(Expected Improvement)方法，根據(jù)下式確定個體的EI值，EI值越大說明該個體越需要校正.

式中:fmin為樣本點中最小適應(yīng)值;^y為預(yù)測適應(yīng)值為預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差;Φ，Ψ分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù).當(dāng)個體預(yù)測值越小，預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差越大，則個體的EI值越大，個體越需要校正.

1.5 優(yōu)化流程

本文在選擇校驗點時，一部分校驗點用響應(yīng)最優(yōu)策略選擇，另一部分采用EI最優(yōu)策略，2種方法交替進(jìn)行.優(yōu)化流程為:

1)由拉丁超立方設(shè)計方法在設(shè)計空間內(nèi)生成一定數(shù)量的樣本.

2)由樣本點構(gòu)建Kriging代理模型.

3)確定是采用響應(yīng)最優(yōu)策略還是EI最優(yōu)策略，基于粒子群算法優(yōu)化選擇最優(yōu)響應(yīng)或最優(yōu)EI校驗點.

4)判斷是否滿足收斂條件，如果滿足則退出，不滿足則執(zhí)行步驟5).

5)將校驗點加入樣本，執(zhí)行步驟2).

2 翼型氣動優(yōu)化設(shè)計

翼型參數(shù)化方法采用的是Hicks-Henne型函數(shù)法［9］，新翼型由基本翼型的上表面或下表面加擾動構(gòu)成，表達(dá)為

式中n為控制上表面或下表面變量的個數(shù)，本文選取n為7，即共計14個設(shè)計變量.

本文以RAE2822翼型為初始翼型進(jìn)行翼型氣動優(yōu)化設(shè)計研究.采用雷諾平均N-S方程求解繞翼型流場，湍流模型為k-ω SST模型.設(shè)計狀態(tài)為巡航馬赫數(shù)0.73，雷諾數(shù)6.5E6，設(shè)計升力系數(shù)0.74，約束條件為最大相對厚度不減，低頭力矩特性不差于初始翼型，優(yōu)化目標(biāo)為降低阻力系數(shù).

由拉丁超立方設(shè)計方法產(chǎn)生120個翼型作為代理模型初始樣本點，校驗次數(shù)為240，EI最優(yōu)策略進(jìn)行2次后響應(yīng)最優(yōu)策略進(jìn)行1次，如此交替進(jìn)行，即分別進(jìn)行160次和80次，PSO的種群規(guī)模為30，迭代步數(shù)為60.為了比較本文優(yōu)化方法，還采用響應(yīng)最優(yōu)法和粒子群算法進(jìn)行翼型優(yōu)化，其中響應(yīng)最優(yōu)法初始樣本數(shù)為120，校驗次數(shù)為240，而粒子群算法種群規(guī)模為30，迭代步數(shù)為40，設(shè)計結(jié)果如表1所示.單純的響應(yīng)最優(yōu)法優(yōu)化陷入局部最優(yōu)，其他2種方法得到了相似的優(yōu)化結(jié)果，阻力降低了22.4%，粒子群算法用了1 200次流場計算，而本文方法僅用360次.圖1和圖2分別為本文方法優(yōu)化前后翼型形狀和壓力分布，與初始翼型相比，設(shè)計翼型翼型完全消除了激波，阻力系數(shù)降低了0.003 4，而翼型最大相對厚度沒有降低.設(shè)計翼型整體彎度降低，而通過增加后加載來保持升力系數(shù).同時設(shè)計翼型增加了前加載和頭部上表面吸力峰值，一方面增加了翼型升力，另一方面抵消了后加載所附加的低頭力矩，使設(shè)計翼型保持著良好的低頭力矩特性.

表1 不同優(yōu)化方法計算次數(shù)及優(yōu)化結(jié)果對比

圖1 設(shè)計翼型與初始翼型形狀

雖然構(gòu)造Kriging模型以及預(yù)測氣動力需要耗費(fèi)一定時間，但是與調(diào)用氣動力計算的耗時相比要小得多，上文算例優(yōu)化耗時約比粒子群算法減少68%.

圖2 設(shè)計翼型與初始翼型壓力分布

3 結(jié)論

1)本文構(gòu)建了將Kriging代理模型和粒子群算法相結(jié)合的高效優(yōu)化系統(tǒng)，采用粒子群算法搜索由EI最優(yōu)策略和響應(yīng)最優(yōu)策略交替選擇的最優(yōu)校驗點，前者綜合考慮代理模型的預(yù)測值及預(yù)測精度，可以有效避免陷入局部最優(yōu)，后者可以促使快速收斂.

2)翼型優(yōu)化設(shè)計算例表明本文方法克服了響應(yīng)最優(yōu)法容易陷入局部最優(yōu)的缺點，保證優(yōu)化精度，同時又有效地減少了計算量，大大提高了翼型氣動優(yōu)化設(shè)計的工程實用性.

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