羅 兵，常旭華，王晶晶，張瑞娟

（重慶大學(xué) 經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400030）

0 引言

庫存控制是運籌學(xué)和運營管理中的一個重要分支，庫存不足或占用量過多都會對企業(yè)造成巨大經(jīng)濟損失。當(dāng)銷售商缺貨時，一些顧客會轉(zhuǎn)向購買其它商家的產(chǎn)品，給銷售商帶來丟單損失；如存儲過多產(chǎn)品，又會占用大量流動資金，增加保管成本。因此，制定合理的訂貨和銷售策略，是企業(yè)管理的一項重要工作。經(jīng)典EOQ（Economic ordering quantity）模型假定短缺量完全拖后或丟失，但在實際經(jīng)濟生活中，短缺量經(jīng)常是部分拖后的。Wee[1]建立了一個短缺量滯后供給分數(shù)為常數(shù)的EOQ模型；Padmanabhan等[2]研究了短缺量水平對滯后供給的影響，發(fā)現(xiàn)企業(yè)缺貨數(shù)量較大時，顧客會對銷售商供貨能力產(chǎn)生懷疑，從而放棄等待供貨；H.J.Chang等[3]研究了瞬時補貨條件下顧客等待時間對滯后供給分數(shù)的影響，認為等待時間越長，短缺量滯后供給分數(shù)越小，建立了相應(yīng)的EOQ模型，根據(jù)不同需求形式對訂貨次數(shù)和總成本進行了數(shù)值仿真分析；L.A.San-Jose等[4]研究了滯后供給分數(shù)與顧客等待時間和訂貨周期均相關(guān)的庫存問題；羅兵等[5]認為倉庫出空期間供應(yīng)商是否開始供貨對滯后供給分數(shù)有較大影響，并用某電子公司的實例進行了驗證；Abad[6]假定顧客等待時間與銷售商開始補貨時刻點、缺貨水平以及補貨速度相關(guān)，以價格、現(xiàn)貨（缺貨）期長度作為決策變量，研究了價格影響市場需求下的經(jīng)濟訂購批量問題；Abad[7]建立了變質(zhì)率是時變函數(shù)且考慮丟單成本的EOQ模型，但上述研究中，要么沒有考慮價格因素，或者考慮了價格對理論市場需求率的影響，卻未考慮倉庫缺貨期間價格對短缺量滯后供給分數(shù)的影響，而實際中消費者在決策是否等待補貨時一般會考慮銷售價格的高低。一些學(xué)者如Pan等[8]研究了價格折扣對滯后供給的影響，但僅局限在提前期庫存模型方面。筆者認為，倉庫缺貨期間銷售價一方面通過理論需求率影響滯后供給量，即銷售價越高，理論需求率越低，滯后供給量越小；另一方面，銷售價與顧客等待時間共同影響短缺量滯后供給分數(shù)，即銷售價越高，顧客等待時間越長，滯后供給分數(shù)越小，導(dǎo)致滯后供給量越小。

本文將在Abad[7]基礎(chǔ)上，綜合考慮銷售價和顧客等待時間對短缺量滯后供給分數(shù)的影響，建立一種短缺量滯后供給與銷售價和顧客等待時間均相關(guān)的EOQ模型，采用仿真方法研究庫存系統(tǒng)主要參數(shù)對銷售商訂貨、銷售以及平均利潤的影響，以期為企業(yè)定價和訂購工作提供決策依據(jù)。

1 假設(shè)和符號定義

（1）庫存系統(tǒng)計劃期沒有限制，單周期問題，一個周期長度為T；

（2）一個周期t內(nèi)時刻庫存水平為I(t)；

（3）市場需求連續(xù)，產(chǎn)品理論需求率D(ps)是銷售價ps的函數(shù)，且滿足dD(ps)/dps＜0；

（4）t1時刻點開始缺貨，短缺量部分滯后供給，滯后供給分數(shù)ρ與銷售價ps和顧客等待時間△t負相關(guān)，即銷售價越高，等待時間越長，顧客越不愿意等待，ρ(ps,△t)=e-k1ps-k2△t，k1為價格滯后供給因子（與決策變量有關(guān)），k2為顧客等待時間滯后供給因子（與決策變量無關(guān)），t∈[t1,T]時刻的滯后供給量B= D(ps)ρ(ps,△t)=D(ps)e-k1ps-k2△t；

（5）存貨水平影響需求或銷售，存貨影響銷售率為β；

（6）產(chǎn)品會發(fā)生變質(zhì)，變質(zhì)率為θ；

（7）產(chǎn)品采購價為pb，一次訂購成本為A，單位保管、缺貨、丟單成本分別為h、cs、cl。

2 建立數(shù)學(xué)模型

一個周期內(nèi)存貨水平變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 一個周期存貨水平變化情況

t時刻點存貨水平I(t)需滿足以下等式：

由邊界條件I(t1)=0，可得：

由此可計算一個周期的銷售收入和各項成本如下：

銷售收入R

采購成本Cb

訂購成本A

保管成本Ch

缺貨成本Cs

丟單成本：Cl

一個周期內(nèi)庫存系統(tǒng)總利潤為

一個周期內(nèi)庫存系統(tǒng)平均利潤π為

3 算例和主要參數(shù)靈敏度分析

3.1 算例

參考Abad[7]中的數(shù)據(jù)，假定理論需求率為D(ps)=a-bps，初始需求a=45，價格影響需求因子b=1.75，A=250，h=0.5，cs=2，cl=2，pb=16，β=0.1，θ=0.05，k1=0.2，k2=0.2。運用Mathmatic5.0版數(shù)學(xué)軟件進行仿真尋優(yōu)，計算結(jié)果為：ps=23.0，t1=7.5，T= 9.9；最大平均利潤π=-15.54。

3.2 主要參數(shù)靈敏度分析

以下對系統(tǒng)主要參數(shù)k1、pb、a、b進行靈敏度分析，系統(tǒng)其余參數(shù)仍采用數(shù)值算例的數(shù)據(jù)。表1～4分別是價格滯后供給因子、采購價、初始需求和價格影響需求因子對訂貨與銷售策略以及平均利潤的影響情況。

表2 采購價pb的靈敏度分析

表3 初始需求a的靈敏度分析

由表1可知，隨著價格滯后供給因子增大，銷售商服務(wù)水平增大，銷售價變高，平均利潤逐漸減少。這意味著，在一定價格水平下，價格滯后供給因子越大，滯后供給分數(shù)越小，即愿意繼續(xù)等待供貨的顧客越少，對銷售商而言，滯后供給量的減少會導(dǎo)致丟單成本增大，從而使周期內(nèi)平均利潤減少。因此，銷售商在制定采購和銷售策略時，應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，盡量降低缺貨數(shù)量，適當(dāng)提高銷售價，以彌補部分丟單損失；另外，銷售商應(yīng)當(dāng)注意提升自己的品牌形象，不斷提高服務(wù)質(zhì)量，大力培養(yǎng)忠誠顧客，以降低顧客對產(chǎn)品價格的敏感性。

由表2可知，隨著采購價提高，銷售商服務(wù)水平和平均利潤逐漸減小，銷售價則逐漸提高。適當(dāng)降低服務(wù)水平可以使平均利潤趨于最大化。這是因為缺貨期和訂貨期增加，使得缺貨和丟單成本增加，但保管和變質(zhì)成本卻下降了，同時銷售收入有所增加，后兩者對利潤的影響程度小于前面兩者。因此，銷售商應(yīng)當(dāng)做好系統(tǒng)深入的調(diào)查工作，使得服務(wù)水平與采購價相匹配，并適當(dāng)提高銷售價格，以保持平均利潤最大化。

由表3可知，隨著產(chǎn)品初始需求的提高，銷售商服務(wù)水平、銷售價格和平均利潤均逐步提高。這說明初始需求越大，理論需求率也越大，在采購價一定的條件下，平均利潤增加。因此，當(dāng)產(chǎn)品銷路較好（暢銷）時，銷售商應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，減少缺貨時間和缺貨數(shù)量，縮短訂貨周期，分階段提高銷售價格，以保持平均利潤取得最大值。

由表4可知，隨著價格影響需求因子的提高，服務(wù)水平和銷售價逐漸降低，平均利潤減少。價格影響需求因子較高的產(chǎn)品一般屬于高檔或奢侈品，顧客對此類產(chǎn)品的價格比較敏感，價格影響需求因子越大，需求遞減速度越快，這是造成平均利潤減少的主要因素。因此，對于價格影響需求因子較高的產(chǎn)品，銷售商應(yīng)適當(dāng)降低服務(wù)水平，提高資金使用率；也可適當(dāng)降低銷售價格，以增加理論需求，保持平均利潤最高。

表4 價格影響需求因子b的靈敏度分析

4 結(jié)論

本文考慮銷售價格通過理論需求率和滯后供給分數(shù)共同影響短缺滯后供給量，建立了一種需求率和滯后供給分數(shù)均與銷售價相關(guān)的EOQ模型。研究結(jié)果表明，價格滯后供給因子、采購價對銷售商訂貨策略有較大影響，產(chǎn)品初始需求和價格影響需求因子對銷售策略有較大影響；當(dāng)銷售價對滯后供給分數(shù)影響較大時，銷售商應(yīng)當(dāng)提高顧客服務(wù)水平，減少缺貨時間和缺貨數(shù)量；當(dāng)采購價較高時，銷售商應(yīng)適當(dāng)降低服務(wù)水平，采取缺貨策略；當(dāng)初始需求增加或價格影響需求因子減小時，銷售商應(yīng)適當(dāng)提高銷售價格。

[1]Hui-Ming Wee.Economic Production Lot Size Model for Deteriorating Items with Partial Back-Ordering[J].Computers and Industrial Engineering,1993,24(3).

[2]Padmanabhan.G,Vrat.P.Inventory Model with a Mixture of Back Orders and Lost Sales[J].International Journal of Systems Science, 1990,21(8).

[3]H-J Chang,C-Y Dye.An EOQ Model for Deteriorating Items with Time Varying Demand and Partial Backlogging[J].Journal of the Operational Research Society,1999,(50).

[4]L.A.San-Jose',J.Sicilia,J.GarccI'a-Laguna.An Economic Lot-size Model with Partial Backlogging Hinging on Waiting Time and Shortage Period[J].Applied Mathematical Modelling,2007,(31).

[5]羅兵，盧娜，楊帥，李宇雨.短缺量拖后率不相同時的邊生產(chǎn)邊需求EOQ模型[J].系統(tǒng)工程，2005，23（3）.

[6]P.L.Abad.Optimal Pricing and Lot-sizing under Conditions of Perishability,Finite Production and Partial Backordering and Lost Sale[J].European Journal of Operational Research,2003,(144).

[7]Prakash L.Abad.Optimal Price and Order Size under Partial Backordering Incorporating Shortage,Backorder and Lost Sale Costs[J].International Journal of Production Economics,2008,(114).

[8]Pan JCH,Hsiao YC.Inventory Models with Back-Order Discounts and Variable Lead Time[J].International Journal of Systems Science,2001,32(7).