田紅亮 朱大林 秦紅玲

(三峽大學(xué)機械與材料學(xué)院,湖北宜昌 443002)

1 赫茲接觸理論的1個缺陷

在自然界中,從幾微米的粉粒和黏粒到幾米的巨石,顆粒大小跨越了106量級[1],顆粒間作用力發(fā)生了本質(zhì)變化.在微米量級,將出現(xiàn)很多傳統(tǒng)宏觀接觸理論無法解釋的現(xiàn)象,比如零外載時接觸面的塑性屈服,以及接觸過程中的突跳現(xiàn)象等,就是由于兩顆粒界面上原子、分子尺度范圍內(nèi)的表面力引起了表面黏連、接觸、變形等;在宏觀尺度米的量級上,顆粒間表面作用力與彈性力相比則非常微弱,通常不予考慮,如Hertz接觸理論把顆粒間接觸作用按照靜態(tài)彈性接觸進行處理,得到了顆粒間圓形接觸面積與彈性變形的關(guān)系,為顆粒曲面接觸問題提供了理論基礎(chǔ).

山田昭夫和角張毅[2]提出了接觸結(jié)合部的實驗、理論解析方法.金永輝[3]對兩組撓性梁結(jié)合部的動態(tài)特性進行了試驗,通過試驗,得到如下結(jié)論:在通常大小的預(yù)緊力下,具有結(jié)合部的梁的固有頻率比對應(yīng)無結(jié)合部梁的固有頻率明顯地小,并且隨著結(jié)合部預(yù)緊力的增大使固有頻率相應(yīng)增大至一穩(wěn)定值,但相對的增量并不大,尤其是對第二階固有頻率更是如此. Tian等[4]首次解釋虛擬材料假設(shè)的概念,對機械結(jié)構(gòu)固定結(jié)合部進行了動力學(xué)建模.國家制定了2006～2020年的國家中長期科學(xué)和技術(shù)發(fā)展規(guī)劃綱要[5].根據(jù)國家自然科學(xué)基金委員會(National Natural Science Foundation of China)工程與材料科學(xué)部的統(tǒng)計資料,摩擦學(xué)領(lǐng)域獲得資助的重大項目“先進電子制造中的重要科學(xué)技術(shù)問題研究”(第一負責(zé)人丁漢,承擔(dān)單位上海交通大學(xué),批準金額800萬元)中,相當(dāng)部分內(nèi)容屬于摩擦學(xué)研究[6];國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(National Basic Research Program of China)973項目“數(shù)字化制造基礎(chǔ)研究”(2005～2010年).值得注意的是,以上2個項目均涉及如何識別機床結(jié)合部動力學(xué)特性參數(shù)的問題.

接觸力學(xué)起源于1882年赫茲發(fā)表的經(jīng)典論文《論彈性固體的接觸》.赫茲接觸理論作了4個假設(shè): (1)表面連續(xù)光滑、非同曲;(2)應(yīng)變小;(3)接近接觸區(qū)時,每個固體都視為半空間彈性體;(4)表面無摩擦.根據(jù)赫茲接觸理論的第3個假設(shè),赫茲假設(shè)粗糙峰為橢圓體或球體.其中球體粗糙峰模型接觸區(qū)壓力分布為橢圓,如圖1(a)所示.根據(jù)圖1(a),赫茲應(yīng)力在中心區(qū)域為有限值(實際情況是近似于點接觸,應(yīng)力趨于無限),在邊緣為零(實際情況為應(yīng)力略微大于零).因此赫茲接觸理論的第1個缺陷是局限于橢圓體或球體半空間彈性體.圓錐體粗糙峰模型接觸區(qū)壓力分布如圖1(b)所示.根據(jù)圖1(b),應(yīng)力在中心區(qū)域趨于無限,在邊緣略微大于零.因此圓錐體模型比較接近實際,可用于摩擦磨損計算.

田紅亮[7]認為在偏潤滑帶內(nèi)(0≤d*≤3),粗糙峰開始相互作用,產(chǎn)生接觸,表高標準差發(fā)揮重要作用,但沒有考慮偏潤滑帶外的情形.本文考慮偏潤滑帶外的情形(3≤d*≤5),在任意粗糙峰的具體力學(xué)和幾何特性情形下,給出了兩粗糙表面的通用接觸關(guān)系式,對圓錐體兩表面的塑性接觸進行分析.

圖1 兩種粗糙峰模型的法向壓應(yīng)力與極半徑關(guān)系

2 兩表面的彈性接觸

位于r、r+dr之間且峰高在z2、z2+dz2范圍內(nèi)的接觸點數(shù)為

式中,η為微凸體面密度;r為兩微凸體的水平距離;φ (z2)為峰高z2的概率密度.

由式(1)可得每個接觸點承受的數(shù)學(xué)期望法向載荷為

由式(2)可得兩表面承受的數(shù)學(xué)期望總法向載荷為

或

式中,z=z1+z2;φ0(z)為峰高z的概率密度.

式(4)可改寫為

同理可得數(shù)學(xué)期望總實際接觸面積、數(shù)學(xué)期望總接觸點數(shù)分別為

由赫茲接觸理論可得單峰承受的彈性載荷、單峰的實際接觸面積、單峰的接觸點數(shù)分別為

式中,E′為兩接觸粗糙表面的復(fù)合彈性模量;w= wp-r2/(4R)為單峰的局部干涉量,wp=z-d為兩粗糙峰的垂直重疊量,下標p表示粗糙峰(peak);R為單個粗糙峰的曲率半徑;Re=R/2為兩表面的等效粗糙峰曲率半徑,下標e表示等效(equivalent);〈〉為Macauley尖角括號[8].

將式(11)代入式(5),得

將式(15)代入式(6),得

式中,β=η Rσ為量綱一的粗糙度參數(shù),0.02≤β≤0.08;σ為兩接觸表面峰高的復(fù)合標準差.

當(dāng)粗糙表面峰高z的概率密度為高斯分布時,式(18)可改寫為高斯分布積分[9].

根據(jù)表1可計算高斯分布積分(22),其51組共357個離散值見表2.

表1 韋伯拋物柱面函數(shù)的離散值

續(xù)表1 韋伯拋物柱面函數(shù)的離散值

表2 高斯分布積分的離散值

續(xù)表2 高斯分布積分的離散值

將式(12)代入式(7),得

將式(23)代入式(8),可得數(shù)學(xué)期望總實際接觸面積為

式中,下標r表示實際(real).

將式(13)代入式(9),得

將式(25)代入式(10),可得數(shù)學(xué)期望總接觸點數(shù)為

當(dāng)β=0.05,彈性接觸時量綱一的間距-量綱一的接觸點數(shù)n*=n/(η An)關(guān)系如圖2所示.根據(jù)圖2,本文解與GW模型[14]的預(yù)測情形較接近.

圖2 彈性接觸時量綱一的間距-量綱一的接觸點數(shù)關(guān)系

2.1 兩粗糙表面的接觸

由式(17)可得兩粗糙表面接觸的名義壓應(yīng)力為

2.2 一等效表面與一剛性表面的接觸

由式(11)得

將式(28)代入式(6),可得一等效表面與一剛性表面接觸的名義壓應(yīng)力為

式中,下標ne表示名義(nominal)等效(equivalent).

2.3 一粗糙表面與一剛性表面的接觸

由式(29)可得一粗糙表面與一剛性表面接觸的名義壓應(yīng)力為

當(dāng)β=0.05,K=1000kgf/cm2,彈性接觸時量綱一的間距-名義壓應(yīng)力關(guān)系如圖3所示.根據(jù)圖3,兩粗糙表面接觸和一等效表面與一剛性表面接觸相比,前者量綱一的間距較小.

圖3 彈性接觸時量綱一的間距-名義壓應(yīng)力關(guān)系

當(dāng)β=0.05,K=1000kgf/cm2,彈性接觸時量綱一的實際接觸面積(A*r=Ar-An)-名義壓應(yīng)力關(guān)系如圖4所示,其中第4條曲線表示當(dāng)實際接觸壓應(yīng)力pr=Pn/Ar=0.3E′σ/R時的情形.根據(jù)圖4,兩粗糙表面接觸、恒定實際接觸壓應(yīng)力皆與GW模型的預(yù)測情形很接近;除了第3種情形外,實際接觸面積與名義壓應(yīng)力近似成正比.

圖4 彈性接觸時量綱一的實際接觸面積-名義壓應(yīng)力關(guān)系

3 兩表面的塑性接觸

3.1 彈性球兩表面的塑性接觸

實際塑、彈性接觸面積之比隨塑性指數(shù)的變化如圖5所示.根據(jù)圖5,當(dāng)塑性指數(shù)ψ＜0.6,接觸表面發(fā)生彈性變形;當(dāng)塑性指數(shù)ψ＞1,接觸表面發(fā)生塑性變形.

圖5 實際塑、彈性接觸面積之比隨塑性指數(shù)的變化

當(dāng)塑性指數(shù)ψ＜0.6,可忽略實際塑性接觸面積,彈性球兩表面承受的數(shù)學(xué)期望總塑性載荷[15]為

由式(31)可得彈性球量綱一的名義壓應(yīng)力為

式中,下標nes表示名義(nominal)彈性(elastic)球(sphere).

3.2 塑性球兩表面的塑性接觸

由赫茲接觸理論可得單峰承受的塑性載荷為

式中,H為兩表面較軟材料的硬度.

將式(33)代入式(5),得

將式(34)代入式(6),得

由式(35)可得塑性球量綱一的名義壓應(yīng)力為

3.3 圓錐體兩表面的塑性接觸

圓錐體單峰的水平截面是橢圓[16],該橢圓的長半軸、短半軸[17]分別為

式中,α為圓錐體單峰邊的斜角度.

由式(37)、(38)可得圓錐體單峰承受的塑性載荷為

將式(40)代入式(5),得

將式(41)代入式(6),得

將式(39)代入式(42),可得圓錐體量綱一的名義壓應(yīng)力為

式中,下標nc表示名義(nominal)圓錐體(cone).

當(dāng)β=0.05,塑性接觸時量綱一的間距-名義壓應(yīng)力關(guān)系如圖6所示.根據(jù)圖6,當(dāng)量綱一的名義壓應(yīng)力較大時,塑性球兩表面的塑性接觸與圓錐體兩表面的塑性接觸的預(yù)測情形很接近.在這3種預(yù)測情形中,圓錐體兩表面的塑性接觸模型的間距最小,能實現(xiàn)金屬的氣密性.

圖6 塑性接觸時量綱一的間距-量綱一的名義壓應(yīng)力關(guān)系

4 結(jié) 語

通過分析,獲得了兩粗糙表面的通用接觸關(guān)系式.當(dāng)塑性指數(shù)ψ＜0.6,接觸表面發(fā)生彈性變形;當(dāng)塑性指數(shù)ψ＞1,接觸表面發(fā)生塑性變形.對于任意粗糙峰的具體力學(xué)和幾何特性,實際接觸面積與名義壓應(yīng)力近似成正比.兩粗糙表面接觸、一等效表面與一剛性表面接觸的預(yù)測情形很接近.圓錐體兩表面的塑性接觸模型的間距最小、接觸緊密,容易實現(xiàn)金屬的氣密性.參考文獻:

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