豐建文 代安定 徐 晨 孫少輝

(深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,深圳 518060)

混沌現(xiàn)象是一種非常有趣且在現(xiàn)實世界中普遍存在的非線性現(xiàn)象,自1990年P(guān)ecora和Carro[1]證明兩個相同結(jié)構(gòu)的混沌系統(tǒng)能實現(xiàn)同步以來,混沌同步已受到科技工作者的廣泛關(guān)注,這是因為它不僅具有理論挑戰(zhàn)性而且在保密通信、生物醫(yī)學(xué)工程、化學(xué)以及信息科學(xué)等多個學(xué)科中有著重要的應(yīng)用[2-6].近30年來各種新的混沌同步方法相繼出現(xiàn):線性與非線性反饋同步法[2]、時滯反饋控制方法[3]及自適應(yīng)控制法[4]等.

在工程及其相關(guān)應(yīng)用學(xué)科中,滑模控制方法是一種常用來對非線性動力系統(tǒng)進(jìn)行控制的方法,其主要優(yōu)點為對系統(tǒng)參數(shù)變化的敏感性、抑制外部噪聲干擾性和系統(tǒng)的快速響應(yīng)性等.滑模控制方法在使用過程中一般分為兩步:第一步是為使所討論系統(tǒng)得到較好的滑模運動,需選擇一個適當(dāng)?shù)幕Ａ餍?第二步設(shè)計控制器,使系統(tǒng)從空間中任何一點出發(fā)的軌線都能在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模流形上,且使得今后的運動一直保持在該流形上,并具有較強的魯棒性.最近,許多研究者成功地將這種方法應(yīng)用到混沌控制和同步上[7-12].但在這些工作中大多數(shù)研究對象為低維混沌系統(tǒng)或無噪聲干擾情況下的同步問題,而對有噪聲干擾的超混沌系統(tǒng)研究較少.然而噪聲干擾在現(xiàn)實世界中幾乎是無處不在的,并且超混沌系統(tǒng)由于具有兩個或以上的正Lyapunov指數(shù),其較為復(fù)雜的動力學(xué)性態(tài)使得在提高混沌保密通信系統(tǒng)的安全性等方面能發(fā)揮更為積極的作用,討論受噪聲干擾超混沌系統(tǒng)的同步問題具有重要理論意義和應(yīng)用價值.

據(jù)我們所知到目前為止對超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)同步問題的研究工作幾乎沒有涉及.本文基于滑?？刂评碚?討論有噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的同步問題,首先設(shè)計了一種被稱為新型比例積分滑模流形,其次通過選擇只包含一個控制項的控制器,確保在噪聲干擾下滑模運動的快速收斂性和穩(wěn)定性,以此來實現(xiàn)其同步控制.最后為了消除抖動,在滑模控制器的設(shè)計中,用陡峭的連續(xù)飽和函數(shù)來代替不連續(xù)的符號函數(shù),提高滑?？刂菩阅?實現(xiàn)對各種噪聲干擾具有強的魯棒性.

1 系統(tǒng)描述

超混沌Lorenz-Stenflo(LS)系統(tǒng)是Stenflo[13]在研究低頻率短波長的重力波方程時提出來的.由下述四階非線性微分方程描述其動力學(xué)性態(tài)

式中,x1,x2,x3,x4為狀態(tài)變量,α,β,γ,r為系統(tǒng)參數(shù).系統(tǒng)(1)是在傳統(tǒng)的三維Lorenz混沌系統(tǒng)中引入了一個新的控制參數(shù)γ和一個新的狀態(tài)變量x4而得到的,因而被后人稱為超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng),且當(dāng)α=1.0,β=0.7,γ=1.5,r=26.0時,系統(tǒng)(1)出現(xiàn)超混沌現(xiàn)象.

有噪聲干擾的受控超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)為

式中,d1,d3,d4為不匹配的干擾,d2為匹配的干擾[14].假設(shè)它們在C1中均為有界的,即‖di‖≤δ≤1 (i=1,2,3,4),‖di‖=supt∈R(|di(t)|+|d′i(t)|),u為控制項.

記ei=yi-xi(i=1,2,3,4)為系統(tǒng)誤差,由(1), (2)得

2 受噪聲干擾超混沌 Lorenz-Stenflo系統(tǒng)同步設(shè)計

首先,選取下述形式的滑模流形s=0,其中

式中,k1,k2,k3為常數(shù).這種形式的滑模流形通常稱為比例積分切換面,這樣有:

定理1 若k是滿足k≥δ+1的常數(shù),控制器u定義為

則誤差系統(tǒng)(3)能在有限時間內(nèi)到達(dá)s=0上.

證明 選取Lyapunov函數(shù)為V=s2,注意到式(4)和式(5)有

定理1表明誤差系統(tǒng)(3)的所有軌跡在有限時間內(nèi)都將達(dá)到滑模流形s=0上,為了進(jìn)行同步分析只需分析誤差系統(tǒng)在滑模流形上的動力學(xué)性態(tài)即可.在滑模流形上系統(tǒng)(3)為

由式(6)中第1、第2和第4個方程構(gòu)成關(guān)于變量e1,e2,e4的線性方程組,根據(jù)線性方程組求解理論有

由Routh-hurwitz定理知,A的所有特征值有負(fù)實部當(dāng)且僅當(dāng)

顯然,使式(8)成立的k1,k2,k3存在.于是存在正常數(shù)a1和b1,成立

這樣由式(7)得

另一方面,由方程組(6)的第3個方程有

根據(jù)混沌吸引子在相空間內(nèi)整體有界性,即存在M＞0,使得|x1|≤M,|x2|≤M,故

綜合上面的分析可知:

定理2 若控制器u形如式(5),且k≥δ+1和k1,k2,k3滿足不等式(8),則存在一個常數(shù)c1,使受噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)(2)與超混沌系統(tǒng)(1)達(dá)到同步,其誤差上界為c1δ,即

定理2表明,在相應(yīng)的條件下受噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)(2)與超混沌系統(tǒng)(1)能達(dá)到同步.但是形如(5)的滑模控制器u中含有不連續(xù)符號函數(shù)sign(s),如在理論上所討論系統(tǒng)的解的存在唯一性以及Lyapunov有效性分析中對局部Lipschitz條件要求難以滿足;而在實際系統(tǒng)中由于開關(guān)器件等的非理想性,使得滑?？刂瞥霈F(xiàn)抖動,抖動會導(dǎo)致控制精度降低,電路中熱功率消耗過大和機械部件磨損過快,降低系統(tǒng)運轉(zhuǎn)性能,甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定,最終使得系統(tǒng)崩潰,為此必須對控制器加以改進(jìn).

用符號函數(shù)的連續(xù)逼近是消除抖動的一種常用方法.在此用一個陡峭的飽和函數(shù)來逼近符號函數(shù),其滑模控制器取為

對連續(xù)控制器(9)用Lyapunov函數(shù)V=s2檢驗其到達(dá)滑模流形階段的特性.由于

因此,在邊界外層|s|＞ε,由式(10)有

上式表明,對任意的|s(0)|＞ε,|s|是嚴(yán)格單調(diào)遞減,并會在有限時間內(nèi)到達(dá)集合{|s|≤ε},其后將會一直保持在其內(nèi).稱集合{|s|≤ε}為邊界層.

另一方面,在邊界層內(nèi)有

由式(11)有

在邊界層內(nèi),誤差系統(tǒng)可化為

結(jié)合式(12)和定理2的證明,有

定理3 若選取控制器形如式(9),k≥δ+1且k1,k2,k3滿足不等式(8),則存在一個常數(shù)c2,使受噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)(2)與超混沌系統(tǒng)(1)達(dá)到同步,其誤差上界為c1δ,即

3 數(shù)值模擬

為了驗證所提方法的有效性,將進(jìn)行2個數(shù)值模擬實驗.在實驗中,驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別取為(1,-1,3,-2)和(5,-3,2,4).選取參數(shù)k= 1.5,k1=20,k2=9.3,k3=-5.4及ε=0.001.響應(yīng)系統(tǒng)的噪聲干擾為d1=0.02cos(t),d2=0.5sin(2t),d3=0.01sin(2t),d4=0.03sin(t);數(shù)值模擬的結(jié)果如圖1～2所示.圖1為選用不連續(xù)控制器(5)的同步圖;圖2為選用連續(xù)飽和函數(shù)控制器(9)的同步圖.

4 結(jié) 語

一般說來,對于超混沌系統(tǒng)的同步而言,控制項越少在實際中越容易實現(xiàn).本文設(shè)計了只含一個控制項的控制器,實現(xiàn)了受噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的同步.更進(jìn)一步由于控制器中含有不連續(xù)的符號函數(shù),在實現(xiàn)控制過程中出現(xiàn)抖動.為了消除抖動,采用陡峭的連續(xù)飽和函數(shù)代替了不連續(xù)的符號函數(shù),并運用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計的滑?？刂破髂軐崿F(xiàn)受噪聲干擾的超混沌Lorenz-Stenflo系統(tǒng)的同步,數(shù)值模擬的結(jié)果也證實了該方法的有效性.

[1] Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990,64:821.

[2] Chen G,Dong X.On feedback control of chaotic continuous-systems[J].IEEE.Trans.Circuit Syst.I,1993, 40:591-601.

[3] Song X,Yu X,Chen G,et al.Time delayed repetitive learning controlfor chaotic systems[J].Int J Bifurcation Chaos,2002,12:1057.

[4] Feng J,Chen S,Wang C.Adaptive synchronization of uncertain hyperchaotic systems based on parameter identification[J].Chaos,Solition&Fractal,2005,26:1163.

[5] Itoh M,Yang T,Chua L O.Conditions for impulsive synchronization of chaotic and hyperchaotic systems[J]. Int J Bifurcation Chaos,2001,11:551.

[6] Huang J.Adaptive synchronization between different hyperchaotic system with fully uncertain parameters[J]. Phys.Lett.A,2008,372:4799-4804.

[7] Feng J W,Xu C,Zheng W Q.Adaptive synchronization of uncertain Genesio systems based on parameter identification[J].International Journal of Nonlinear Science and Numerical Simulation,2007,8(3):419-424.

[8] Tao Y,Hui H.Synchronization chaotic dynamics with uncertainties based on a sliding mode control design[J]. physical review E,2002,65:210-217.

[9] Ming-Jyi Jang,Chieh-Li Chen,Cha'o-Kuang Chen.Sliding mode control of hyperchaos in Rōssler systems[J]. Chaos,Solitons&Fractals,2002,14:1465-1476.

[10] Yan J J,Yang Y S,Chiang T Y,et al.Robust synchronization of unified chaotic systems via sliding mode control[J].Chaos,Solitons&Fractals,2007,34:947-954.

[11]Zhang Y,Chen S H,Zhou H.Synchronizing the noiseperturbed Lü chaotic system[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,40:2475-2482.

[12]Feng J W,He L,Xu C,et al.Synchronizing the noiseperturbed Genesio chaotic system by sliding mode control[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2010, 15:2546-2551.

[13] Stenflo L.Generalized Lorenz equations for acousticgravity waves in the atmosphere[J].Phys.Scr.,1996, 53:83-84.

[14]Hassan K K.Nonlinear System[M].Prentice-Hall,Englewood Cliffs,NJ,1996.